本文主要介紹小波分解與重構(gòu)法、非線性小波變換閾值法、平移不變量小波法以及小波變換模極大值法這4種常用的小波去噪方法。將它們分別用于仿真算例的去噪處理，并對(duì)這幾種方法的應(yīng)用場合、去噪性能、計(jì)算速度和影響因素等方面進(jìn)行比較。

選擇了Matlab軟件中的仿真信號(hào)Blocks作為原始信號(hào)，信號(hào)長度（即采樣點(diǎn)數(shù)）N=2048，如圖1a所示。由于該信號(hào)中含有若干不連續(xù)點(diǎn)和奇異點(diǎn)，因此用以下幾種方法對(duì)圖1b中疊加了高斯白噪聲的Blocks信號(hào)（信噪比為7）進(jìn)行去噪處理，能夠很清楚地比較出這幾種方法的去噪性能。

圖1 ?原始信號(hào)和含噪信號(hào)的時(shí)域波形

一、小波去噪方法

1、小波分解與重構(gòu)法去噪

小波分解與重構(gòu)的快速算法，即Mallet算法。據(jù)這一算法，若fk為信號(hào)f（t）的離散采樣數(shù)據(jù)，fk=c0，k，則信號(hào)f（t）的正交小波變換分解公式為：

其中，cj，k為尺度系數(shù);dj，k為小波系數(shù);h、g為一對(duì)正交鏡像濾波器組（QMF）;j為分解層數(shù);N為離散采樣點(diǎn)數(shù)。

小波重構(gòu)過程是分解過程的逆運(yùn)算，相應(yīng)的重構(gòu)公式為：

小波的多分辨分析特性能將信號(hào)在不同尺度下進(jìn)行多分辨率的分解，并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻段的子信號(hào)，因而對(duì)信號(hào)具有按頻帶處理的能力。應(yīng)用小波分解與重構(gòu)的方法去噪具體步驟是：根據(jù)需要，將含有噪聲信號(hào)在某一尺度下分解到不同的頻帶內(nèi)，然后再將噪聲所處的頻帶置零（或直接提取有用信號(hào)所在的頻帶），進(jìn)行小波重構(gòu)，從而達(dá)到去噪的目的。

圖2是用小波分解與重構(gòu)法進(jìn)行去噪的結(jié)果。采用的小波是近似對(duì)稱的Symmlet8小波，小波分解層數(shù)是4，其中圖2a是將圖1b中的含噪信號(hào)進(jìn)行4層小波分解的結(jié)果。從中可以看出，信號(hào)的能量主要集中于低頻的少數(shù)小波系數(shù)上，而噪聲的能量則分散于整個(gè)小波變換域。圖2b是提取圖2a中的前256個(gè)小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，也就是提取尺度4上的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)的結(jié)果。

圖2 ?小波分解與重構(gòu)法去噪

2、非線性小波變換閾值法去噪

非線性小波變換閾值法也稱為“小波收縮”（waveletshrinkage），其去噪方法如下：

假設(shè)一個(gè)疊加了高斯白噪聲的有限長信號(hào)可以表示為

其中，zi是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的高斯白噪聲，即z～N（0，1），R是噪聲級(jí)。若要從被噪聲污染的信號(hào)yi中恢復(fù)出原始信號(hào)xi，則Donoho的去噪方法分為以下3個(gè)步驟：

（1）計(jì)算含噪聲信號(hào)的正交小波變換。選擇合適的小波和小波分解層數(shù)j，將含噪信號(hào)運(yùn)用（1）式進(jìn)行小波分解至j層，得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)。

（2）對(duì)分解得到的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，其閾值的處理方法有2種：

（3）進(jìn)行小波逆變換。將經(jīng)閾值處理過的小波系數(shù)用（2）式重構(gòu)，得到恢復(fù)的原始信號(hào)估計(jì)值xd。

小波變換具有一種“集中”的能力，它能將信號(hào)的能量集中到少數(shù)小波系數(shù)上;而白噪聲在任何正交

基上的變換仍然是白噪聲，并且有著相同的幅度。相對(duì)來說，信號(hào)的小波系數(shù)值必然大于那些能量分散且幅值較小的噪聲的小波系數(shù)值。選擇一個(gè)合適的閾值，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，就可以達(dá)到去除噪聲而保留有用信號(hào)的目的。該方法能得到原始信號(hào)的近似最優(yōu)估計(jì)，并且具有非常廣泛的適應(yīng)性。

圖3和圖4分別是采用Donoho的非線性小波變換閾值法以及平移不變量小波法去噪得到的結(jié)果。這2種方法均選用Haar小波，小波分解層數(shù)是5。二者均采用軟閾值，閾值大小t=2log（N），其中N為信號(hào)長度。

圖3 ?軟閾值法去噪

圖4 ?平移不變量小波法去噪

3、平移不變量小波去噪

平移不變量小波去噪法是在閾值法基礎(chǔ)上的改進(jìn)。雖然用閾值法能取得很好的去噪效果，但在有些情況下，如在信號(hào)的不連續(xù)鄰域，閾值法去噪會(huì)表現(xiàn)出視覺上的非自然信號(hào)，如偽吉布斯現(xiàn)象，即不連續(xù)點(diǎn)附近的信號(hào)會(huì)在一個(gè)特定的目標(biāo)水平上下跳變。利用平移不變量法去噪，則可有效地抑制這種現(xiàn)象。其方法是：對(duì)含噪聲信號(hào)進(jìn)行n次循環(huán)平移，對(duì)平移后的信號(hào)進(jìn)行的閾值法去噪處理，然后再對(duì)去噪的結(jié)果進(jìn)行平均，這就是所謂的“平移-去噪-平均”的平移不變量小波去噪法。

對(duì)于一個(gè)信號(hào)xt（0≤t≤n），Hn={h∶0≤h《n}，用Sh表示對(duì)信號(hào)xt進(jìn)行h的時(shí)域平移，h是正整數(shù)，T表示對(duì)信號(hào)用Donoho的閾值法進(jìn)行去噪處理，Ave表示“平均”，S-h=（Sh）-1，則n次循環(huán)平移的平移不變量小波去噪方法可以表示為：

該方法在去除偽吉布斯現(xiàn)象，表現(xiàn)出更好的視覺效果的同時(shí)，還能夠得到比閾值法去噪更小的均方根誤差（RMSE），并且提高了信噪比（SRN）。

4、小波變換模極大值法去噪

信號(hào)的奇異點(diǎn)就是指信號(hào)中的突變點(diǎn)，Lip指數(shù)是表征信號(hào)局部奇異點(diǎn)特征的一種量度，它的定義如下：設(shè)有正整數(shù)n，n≤A≤n+1，如果存在正整數(shù)A》0及n次多項(xiàng)式pn（x），使得：

由（8）式可知，對(duì)于一般信號(hào)，由于A≥0，小波變換的模極大值將隨著j的增大而增大;而對(duì)于白噪聲，由于A《0，其模極大值隨著j的增大而減小。因此，觀察不同尺度間小波變換模極大值變化的規(guī)律，去除幅度隨尺度的增加而減小的點(diǎn)（對(duì)應(yīng)噪聲的極值點(diǎn)），保留幅度隨尺度增加而增大的點(diǎn)（對(duì)應(yīng)于有用信號(hào)的極值點(diǎn)），然后再由保留的模極大值點(diǎn)用交替投影法進(jìn)行重建，即可以達(dá)到去噪的目的。

圖5是用小波變換模極大值法去噪的結(jié)果。所采用的是雙正交樣條小波，小波分解層數(shù)是2。

圖5 ?小波變換模極大值法去噪

表1中列出了用這4種方法去噪，信號(hào)的信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）的比較。從信噪比和均方根誤差的角度看，模極大值法的去噪性能最好，小波分解與重構(gòu)法最差，閾值法和平移不變量法居中。

表1 ?幾種方法去噪后SNR和RMSE的比較

二、小波去噪方法的比較

1、小波分解與重構(gòu)法去噪

本質(zhì)上相當(dāng)于一個(gè)具有多個(gè)通道的帶通濾波器，主要適用于有用信號(hào)和噪聲的頻帶相互分離時(shí)的確定性噪聲的情況。在這種情況下，該方法能基本去除噪聲，去噪效果很好。但對(duì)于有用信號(hào)和噪聲的頻帶相互重疊的情況（如信號(hào)混有白噪聲），效果就不甚理想。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單明了，計(jì)算速度快。若N為信號(hào)的長度，則它的計(jì)算速度是O（N）。其缺點(diǎn)是適用范圍不是很廣泛。它對(duì)于特定情況下已知道噪聲的頻率范圍且信號(hào)和噪聲的頻帶相互分離時(shí)非常有效。對(duì)實(shí)際應(yīng)用中廣泛存在的白噪聲，其去噪效果則較差。

2、非線性小波變換閾值法去噪

主要適用于信號(hào)中混有白噪聲的情況。用閾值法去噪的優(yōu)點(diǎn)是噪聲幾乎完全得到抑制，且反映原始信號(hào)的特征尖峰點(diǎn)得到很好的保留。用軟閾值的方法去噪能夠使估計(jì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化，即去噪后的估計(jì)信號(hào)是原始信號(hào)的近似最優(yōu)估計(jì);且估計(jì)信號(hào)至少和原始信號(hào)同樣光滑而不會(huì)產(chǎn)生附加振蕩。該方法還具有廣泛的適應(yīng)性，因而是眾多小波去噪方法中應(yīng)用最為廣泛的一種。閾值法的計(jì)算速度很快，為O（N），其中N為信號(hào)長度。其缺點(diǎn)是在有些情況下，如在信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)處，去噪后會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。且用該方法去噪時(shí)，閾值的選擇對(duì)去噪效果有著很重要的影響。閾值的選擇方法有多種，實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體的情況來選擇合適的閾值。

3、平移不變量小波法去噪

主要適用于信號(hào)中混有白噪聲且含有若干不連續(xù)點(diǎn)的情況，是在閾值法基礎(chǔ)上的改進(jìn)。其優(yōu)點(diǎn)可以有效地去除閾值法去噪中，在信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)處所產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象，表現(xiàn)出比閾值法更好的視覺效果。從L2范數(shù)誤差的觀點(diǎn)看，經(jīng)該方法去噪能夠得到比閾值法更小的均方根誤差，信噪比也得到一定地提高;缺點(diǎn)是計(jì)算速度沒有閾值法快。當(dāng)信號(hào)長度是N時(shí)，計(jì)算速度是O（NlogN）。

4、模極大值法去噪

主要適用于信號(hào)中混有白噪聲，且信號(hào)中含有較多奇異點(diǎn)的情況。該方法在去噪的同時(shí)，有效地保留信號(hào)的奇異點(diǎn)信息，去噪后的信號(hào)沒有多余振蕩，是原始信號(hào)的一個(gè)非常好的估計(jì)，具有較好的圖面質(zhì)量。用模極大值進(jìn)行重構(gòu)時(shí)采用的是交替投影法，為保證重構(gòu)信號(hào)的精度，提高信噪比，通常要進(jìn)行幾十次的迭代，每迭代一次的速度是O（NlogN）。因此，計(jì)算速度非常慢，通常要比前幾種方法慢數(shù)十倍。