本文主要介紹小波分解與重構(gòu)法、非線性小波變換閾值法、平移不變量小波法以及小波變換模極大值法這4種常用的小波去噪方法。將它們分別用于仿真算例的去噪處理,并對(duì)這幾種方法的應(yīng)用場合、去噪性能、計(jì)算速度和影響因素等方面進(jìn)行比較。
選擇了Matlab軟件中的仿真信號(hào)Blocks作為原始信號(hào),信號(hào)長度(即采樣點(diǎn)數(shù))N=2048,如圖1a所示。由于該信號(hào)中含有若干不連續(xù)點(diǎn)和奇異點(diǎn),因此用以下幾種方法對(duì)圖1b中疊加了高斯白噪聲的Blocks信號(hào)(信噪比為7)進(jìn)行去噪處理,能夠很清楚地比較出這幾種方法的去噪性能。
圖1 ?原始信號(hào)和含噪信號(hào)的時(shí)域波形
一、小波去噪方法
1、小波分解與重構(gòu)法去噪
小波分解與重構(gòu)的快速算法,即Mallet算法。據(jù)這一算法,若fk為信號(hào)f(t)的離散采樣數(shù)據(jù),fk=c0,k,則信號(hào)f(t)的正交小波變換分解公式為:
其中,cj,k為尺度系數(shù);dj,k為小波系數(shù);h、g為一對(duì)正交鏡像濾波器組(QMF);j為分解層數(shù);N為離散采樣點(diǎn)數(shù)。
小波重構(gòu)過程是分解過程的逆運(yùn)算,相應(yīng)的重構(gòu)公式為:
小波的多分辨分析特性能將信號(hào)在不同尺度下進(jìn)行多分辨率的分解,并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻段的子信號(hào),因而對(duì)信號(hào)具有按頻帶處理的能力。應(yīng)用小波分解與重構(gòu)的方法去噪具體步驟是:根據(jù)需要,將含有噪聲信號(hào)在某一尺度下分解到不同的頻帶內(nèi),然后再將噪聲所處的頻帶置零(或直接提取有用信號(hào)所在的頻帶),進(jìn)行小波重構(gòu),從而達(dá)到去噪的目的。
圖2是用小波分解與重構(gòu)法進(jìn)行去噪的結(jié)果。采用的小波是近似對(duì)稱的Symmlet8小波,小波分解層數(shù)是4,其中圖2a是將圖1b中的含噪信號(hào)進(jìn)行4層小波分解的結(jié)果。從中可以看出,信號(hào)的能量主要集中于低頻的少數(shù)小波系數(shù)上,而噪聲的能量則分散于整個(gè)小波變換域。圖2b是提取圖2a中的前256個(gè)小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),也就是提取尺度4上的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)的結(jié)果。
圖2 ?小波分解與重構(gòu)法去噪
2、非線性小波變換閾值法去噪
非線性小波變換閾值法也稱為“小波收縮”(waveletshrinkage),其去噪方法如下:
假設(shè)一個(gè)疊加了高斯白噪聲的有限長信號(hào)可以表示為
其中,zi是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的高斯白噪聲,即z~N(0,1),R是噪聲級(jí)。若要從被噪聲污染的信號(hào)yi中恢復(fù)出原始信號(hào)xi,則Donoho的去噪方法分為以下3個(gè)步驟:
(1)計(jì)算含噪聲信號(hào)的正交小波變換。選擇合適的小波和小波分解層數(shù)j,將含噪信號(hào)運(yùn)用(1)式進(jìn)行小波分解至j層,得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)。
(2)對(duì)分解得到的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理,其閾值的處理方法有2種:
(3)進(jìn)行小波逆變換。將經(jīng)閾值處理過的小波系數(shù)用(2)式重構(gòu),得到恢復(fù)的原始信號(hào)估計(jì)值xd。
小波變換具有一種“集中”的能力,它能將信號(hào)的能量集中到少數(shù)小波系數(shù)上;而白噪聲在任何正交
基上的變換仍然是白噪聲,并且有著相同的幅度。相對(duì)來說,信號(hào)的小波系數(shù)值必然大于那些能量分散且幅值較小的噪聲的小波系數(shù)值。選擇一個(gè)合適的閾值,對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理,就可以達(dá)到去除噪聲而保留有用信號(hào)的目的。該方法能得到原始信號(hào)的近似最優(yōu)估計(jì),并且具有非常廣泛的適應(yīng)性。
圖3和圖4分別是采用Donoho的非線性小波變換閾值法以及平移不變量小波法去噪得到的結(jié)果。這2種方法均選用Haar小波,小波分解層數(shù)是5。二者均采用軟閾值,閾值大小t=2log(N),其中N為信號(hào)長度。
圖3 ?軟閾值法去噪
圖4 ?平移不變量小波法去噪
3、平移不變量小波去噪
平移不變量小波去噪法是在閾值法基礎(chǔ)上的改進(jìn)。雖然用閾值法能取得很好的去噪效果,但在有些情況下,如在信號(hào)的不連續(xù)鄰域,閾值法去噪會(huì)表現(xiàn)出視覺上的非自然信號(hào),如偽吉布斯現(xiàn)象,即不連續(xù)點(diǎn)附近的信號(hào)會(huì)在一個(gè)特定的目標(biāo)水平上下跳變。利用平移不變量法去噪,則可有效地抑制這種現(xiàn)象。其方法是:對(duì)含噪聲信號(hào)進(jìn)行n次循環(huán)平移,對(duì)平移后的信號(hào)進(jìn)行的閾值法去噪處理,然后再對(duì)去噪的結(jié)果進(jìn)行平均,這就是所謂的“平移-去噪-平均”的平移不變量小波去噪法。
對(duì)于一個(gè)信號(hào)xt(0≤t≤n),Hn={h∶0≤h《n},用Sh表示對(duì)信號(hào)xt進(jìn)行h的時(shí)域平移,h是正整數(shù),T表示對(duì)信號(hào)用Donoho的閾值法進(jìn)行去噪處理,Ave表示“平均”,S-h=(Sh)-1,則n次循環(huán)平移的平移不變量小波去噪方法可以表示為:
該方法在去除偽吉布斯現(xiàn)象,表現(xiàn)出更好的視覺效果的同時(shí),還能夠得到比閾值法去噪更小的均方根誤差(RMSE),并且提高了信噪比(SRN)。
4、小波變換模極大值法去噪
信號(hào)的奇異點(diǎn)就是指信號(hào)中的突變點(diǎn),Lip指數(shù)是表征信號(hào)局部奇異點(diǎn)特征的一種量度,它的定義如下:設(shè)有正整數(shù)n,n≤A≤n+1,如果存在正整數(shù)A》0及n次多項(xiàng)式pn(x),使得:
由(8)式可知,對(duì)于一般信號(hào),由于A≥0,小波變換的模極大值將隨著j的增大而增大;而對(duì)于白噪聲,由于A《0,其模極大值隨著j的增大而減小。因此,觀察不同尺度間小波變換模極大值變化的規(guī)律,去除幅度隨尺度的增加而減小的點(diǎn)(對(duì)應(yīng)噪聲的極值點(diǎn)),保留幅度隨尺度增加而增大的點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于有用信號(hào)的極值點(diǎn)),然后再由保留的模極大值點(diǎn)用交替投影法進(jìn)行重建,即可以達(dá)到去噪的目的。
圖5是用小波變換模極大值法去噪的結(jié)果。所采用的是雙正交樣條小波,小波分解層數(shù)是2。
圖5 ?小波變換模極大值法去噪
表1中列出了用這4種方法去噪,信號(hào)的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)的比較。從信噪比和均方根誤差的角度看,模極大值法的去噪性能最好,小波分解與重構(gòu)法最差,閾值法和平移不變量法居中。
表1 ?幾種方法去噪后SNR和RMSE的比較
二、小波去噪方法的比較
1、小波分解與重構(gòu)法去噪
本質(zhì)上相當(dāng)于一個(gè)具有多個(gè)通道的帶通濾波器,主要適用于有用信號(hào)和噪聲的頻帶相互分離時(shí)的確定性噪聲的情況。在這種情況下,該方法能基本去除噪聲,去噪效果很好。但對(duì)于有用信號(hào)和噪聲的頻帶相互重疊的情況(如信號(hào)混有白噪聲),效果就不甚理想。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單明了,計(jì)算速度快。若N為信號(hào)的長度,則它的計(jì)算速度是O(N)。其缺點(diǎn)是適用范圍不是很廣泛。它對(duì)于特定情況下已知道噪聲的頻率范圍且信號(hào)和噪聲的頻帶相互分離時(shí)非常有效。對(duì)實(shí)際應(yīng)用中廣泛存在的白噪聲,其去噪效果則較差。
2、非線性小波變換閾值法去噪
主要適用于信號(hào)中混有白噪聲的情況。用閾值法去噪的優(yōu)點(diǎn)是噪聲幾乎完全得到抑制,且反映原始信號(hào)的特征尖峰點(diǎn)得到很好的保留。用軟閾值的方法去噪能夠使估計(jì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化,即去噪后的估計(jì)信號(hào)是原始信號(hào)的近似最優(yōu)估計(jì);且估計(jì)信號(hào)至少和原始信號(hào)同樣光滑而不會(huì)產(chǎn)生附加振蕩。該方法還具有廣泛的適應(yīng)性,因而是眾多小波去噪方法中應(yīng)用最為廣泛的一種。閾值法的計(jì)算速度很快,為O(N),其中N為信號(hào)長度。其缺點(diǎn)是在有些情況下,如在信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)處,去噪后會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。且用該方法去噪時(shí),閾值的選擇對(duì)去噪效果有著很重要的影響。閾值的選擇方法有多種,實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體的情況來選擇合適的閾值。
3、平移不變量小波法去噪
主要適用于信號(hào)中混有白噪聲且含有若干不連續(xù)點(diǎn)的情況,是在閾值法基礎(chǔ)上的改進(jìn)。其優(yōu)點(diǎn)可以有效地去除閾值法去噪中,在信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)處所產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象,表現(xiàn)出比閾值法更好的視覺效果。從L2范數(shù)誤差的觀點(diǎn)看,經(jīng)該方法去噪能夠得到比閾值法更小的均方根誤差,信噪比也得到一定地提高;缺點(diǎn)是計(jì)算速度沒有閾值法快。當(dāng)信號(hào)長度是N時(shí),計(jì)算速度是O(NlogN)。
4、模極大值法去噪
主要適用于信號(hào)中混有白噪聲,且信號(hào)中含有較多奇異點(diǎn)的情況。該方法在去噪的同時(shí),有效地保留信號(hào)的奇異點(diǎn)信息,去噪后的信號(hào)沒有多余振蕩,是原始信號(hào)的一個(gè)非常好的估計(jì),具有較好的圖面質(zhì)量。用模極大值進(jìn)行重構(gòu)時(shí)采用的是交替投影法,為保證重構(gòu)信號(hào)的精度,提高信噪比,通常要進(jìn)行幾十次的迭代,每迭代一次的速度是O(NlogN)。因此,計(jì)算速度非常慢,通常要比前幾種方法慢數(shù)十倍。
評(píng)論