1、小波閾值處理基本理論

所謂閾值去噪簡而言之就是對信號進行分解，然后對分解后的系數進行閾值處理，最后重構得到去噪信號。該算法其主要理論依據是：小波變換具有很強的去數據相關性，它能夠使信號的能量在小波域集中在一些大的小波系數中;而噪聲的能量卻分布于整個小波域內。因此，經小波分解后，信號的小波系數幅值要大于噪聲的系數幅值。可以認為，幅值比較大的小波系數一般以信號為主，而幅值比較小的系數在很大程度上是噪聲。于是，采用閾值的辦法可以把信號系數保留，而使大部分噪聲系數減小至零。小波閾值收縮法去噪的具體處理過程為：將含噪信號在各尺度上進行小波分解，設定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數置為0，高于該閾值的小波系數或者完全保留，或者做相應的“收縮（shrinkage）”處理。最后將處理后獲得的小波系數用逆小波變換進行重構，得到去噪后的信號。

2、閾值函數的選取

小波分解閾值去噪中，閾值函數體現了對超過和低于閾值的小波系數不同處理策略，是閾值去噪中關鍵的一步。設w表示小波系數，T為給定閾值，sign（*）為符號函數，常見的閾值函數有：

硬閾值函數：（小波系數的絕對值低于閾值的置零，高于的保留不變）

軟閾值函數：（小波系數的絕對值低于閾值的置零，高于的系數shrinkage處理）

式（3-8）和式（3-9）用圖像表示即為：

值得注意的是：

1）硬閾值函數在閾值點是不連續的，在下圖中已經用黑線標出。不連續會帶來振鈴，偽吉布斯效應等。

2）軟閾值函數，原系數和分解得到的小波系數總存在著恒定的偏差，這將影響重構的精度

同時這兩種函數不能表達出分解后系數的能量分布，半閾值函數是一種簡單而經典的改進方案。見下圖：

3、閾值的確定

選取的閾值最好剛好大于噪聲的最大水平，可以證明的是噪聲的最大限度以非常高的概率低于（此閾值是Donoho提出的），其中根號右邊的這個參數（叫做sigma）就是估計出來的噪聲標準偏差（根據第一級分解出的小波細節系數，即整個det1絕對值系數中間位置的值），本文將用此閾值去處理各尺度上的細節系數，注意所謂全局閾值就是近似系數不做任何閾值處理外，其他均閾值處理。

4、閾值策略

5、一維信號的多級分解與重構

以下算法如果用簡單的文字描述，可是：先將信號對稱拓延（matlab的默認方式），然后再分別與低通分解濾波器和高通分解濾波器卷積，最后下采樣，最后可以看出最終卷積采樣的長度為floor（n-1）/2+n，如果想繼續分解下去則繼續對低頻系數CA采取同樣的方式進行分解。

6、matlab實現一維小波閾值去噪

1，核心庫函數說明

1）wnoisest函數

作用：估計一維小波高頻系數中的噪聲偏差

這個估計值使用的是絕對值中間位置的值（估計的噪聲偏差值）除以0.6745（MedianAbsoluteDeviation/0.6745），適合0均值的高斯白噪聲

2）wavedec函數

一維信號的多尺度分解，將返回諸多細節系數和每個系數的長度，在matlab中鍵入“docwavedec”具體功能一目了然

3）waverec函數

一維信號小波分解系數的重構，將返回重構后的信號在matlab中鍵入“docwaverec”具體功能一目了然，也可以鍵入“openwaverec”查看matlab具體是怎么做的。

4）wdencmp函數

這個函數用于對一維或二維信號的壓縮或者去噪，使用方法：

1［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘gbl’，X，‘wname’，N，THR，SORH，KEEPAPP）

2［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，X，‘wname’，N，THR，SORH）

3［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，C，L，‘wname’，N，THR，SORH）

wname是所用的小波函數，gbl（global的縮寫）表示每層都采用同一個閾值進行處理，lvd表示每層用不同的閾值進行處理，N表示小波分解的層數，THR為閾值向量，對于格式（2）（3）每層都要求有一個閾值，因此閾值向量THR的長度為N，SORH表示選擇軟閾值還是硬閾值（分別取為’s’和’h’），參數KEEPAPP取值為1時，則低頻系數不進行閾值量化處理，反之，則低頻系數進行閾值量化。XC是消噪或壓縮后的信號，［CXC，LXC］是XC的小波分解結構，PERF0和PERFL2是恢復和壓縮L^2的范數百分比，是用百分制表明降噪或壓縮所保留的能量成分。

3.代碼實現

clear;

%獲取噪聲信號

loadleleccum;

indx=1:3450;

noisez=leleccum（indx）;

%信號的分解

wname=‘db3’;

lev=3;

［c，l］=wavedec（noisez，lev，wname）;

%求取閾值

sigma=wnoisest（c，l，1）;%使用庫函數wnoisest提取第一層的細節系數來估算噪聲的標準偏差

N=numel（noisez）;%整個信號的長度

thr=sigma*sqrt（2*log（N））;%最終閾值

%全局閾值處理

keepapp=1;%近似系數不作處理

denoisexs=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘s’，keepapp）;

denoisexh=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘h’，keepapp）;

%作圖

subplot（311），

plot（noisez），title（‘原始噪聲信號’）;

subplot（312），

plot（denoisexs），title（‘matlab軟閾值去噪信號’）;

subplot（313），

plot（denoisexh），title（‘matlab硬閾值去噪信號’）;