考量運算放大器在Type-2補償器中的動態響應（第一篇）

補償器是使控制系統在動態運行中快速穩定的電子濾波器。在絕大多數研究中，補償器是置于運算放大器(運放)周圍的一個有源電路，其特性鑒定為完美。如果這種方法適用于低帶寬系統，如今的轉換器即使輸出電容小，只要交越頻率超過100千赫就能確保足夠快的瞬態響應以限制輸出壓降。 在這些應用中，若一個完美運放不行的話，最終會導致嚴重的增益和相位失真。如果展示開環增益和所選運放的低、高頻兩個極點如何影響整體動態響應，您就可選擇恰當的元件，免除影響交越所需的增益和相位性能表征。文本共有兩部分，這第一部分主要介紹開環增益的影響，特意先不談低頻和高頻兩極點。

01

不同補償器的類別

補償器的作用是形成一個給定電路的頻率響應，以便一旦閉環，控制系統表現出所需的交越頻率fc和適當的相位/增益裕度。補償器通過在fc的一些中期波段的增益或衰減強行形成0 dB交越點。相位裕度jm由補償器在fc表現出的相位提升(phase boost)量調節。增益裕度取決于交越后補償器調降增益的能力。 補償器有不同的類型，其在開關轉換器中通常稱為type 1、type 2和type 3。所有三個型號在原點都有一個極點以提供最大可用準靜態增益（S=0），從而提供一個精確的輸出變量。type-1補償器是個簡單的積分電路，完全不提供相位提升。type 2基于type 1，增加了一個極/零對，最多有90°的相位提升，常見于電流模式電源，可提供大量補償。type-3電路提供另一個極零對，可提升相位達180°。更多信息請查閱[1]。

圖1：您選擇的補償器與您想要的相位提升量有關

Type 1 – 無提升

Type 2 – 提升達90°

Type 3 – 提升達180°

02

簡介快速分析技術（FACTs）

快速分析技術（Fast Analytical Techniques ，簡稱FACT）的基本原理是確定在兩個不同條件下的電路時間常數：激勵信號消失（Vout降至0V）時和響應清零（VFB=0）時。 一個具有非零準靜態增益的第一階系統的傳遞函數可表示為：

（1）

首項G0是S=0時系統表現出的增益。分子的N(s)控制傳遞函數的零點。在數學上，零點是個特定的點sz，無信號響應。從理論上講，考慮到激勵信號覆蓋整個s面（諧波模式下不僅在垂直軸），當輸入信號調到零角頻率sz，零點表現為無信號的輸出響應。電路中一些特定阻抗組合阻擋了信號傳播，響應為0V，盡管存在激勵源。零點是分子的根。 分母D(s)由電路自然時間常數構成。通過設置激勵信號為0和確定這種結構中所考慮的電容或電感“所示”的阻抗而得出這些時間常數t= RC或t= L/R。如您想象把歐姆表置于暫時移除的電容或電感器，并讀取它顯示的電阻。您看圖2的無源電路，可看到一個注入源（換言之，一個激勵源）正加偏壓于左邊網絡。輸入信號通過網格和節點傳輸，形成您看到的電阻R3上的響應。

圖2：確定電路的時間常數需要將激勵源設為0，并看看從電路中暫時移除的能量存儲元件所提供的電阻。

The response：響應

The excitation：激勵源

本例我們將激勵源設為0（由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源），拆下電容器。然后我們想象連接一個歐姆表，以確定由電容器端提供的電阻(如圖3)。

圖3：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。

The excitation is set to 0：激勵源設為0

For example：例如

您“想象” R1與R2并聯后與R4串聯，所有這些與R3并聯后與rC串聯。該電路的時間常數只通過R和C1即可計算得出：

（2）

我們可證明，第一階系統的極點是其時間常數的倒數。因此：

（3）

s = 0時這個電路的準靜態增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應用于圖2的電路，繪制成如圖4所示。想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

（4）

輸出電阻Rth是R1與R2并聯的值。因此完整的傳遞函數涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯的R4和加載的R3所構成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

（5）

圖4：您斷開直流電路中的電容器，計算這簡單的電阻配置的傳遞函數。

我們如何知道是否有零點？技巧是：您想象圖2的電路，使電容C1短路。現在假設您為具有短路電容器的電路提供激勵信號。您能夠基于示波器觀察Vout的響應嗎？當然rC使R3短路，盡管振幅可能低，輸入信號仍會傳輸并有響應。若“盡管C1短路但仍有響應”，那么有與C1有關的零點。處理含電感L1的電路亦然(但采用電感開路)。 零點通過阻斷激勵信號的傳輸而在電路中表現出來，輸出響應為0。若我們考慮一個變形電路–其中C1由代替–如圖5，當激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應？無信號響應只意味流過R3的電流為0。若電阻沒有電流，沒有電壓施加和Vout是0 V，這不是短路，而是虛擬的接地。

圖5：在這變形電路中，當串聯的rC和C1轉化為短路，響應消失。

若R3沒有電流，那么串聯的rC和轉化為短路：

（6）

根sz是我們想要的零點位置：

（7）

從而有：

（8）

現在，我們可組合所有這些結果，形成以圖2電路為特征的最終的傳遞函數：

（9）

這就是所謂的低熵表達式，您可立即識別增益、極點和零點。高熵表達式將在考慮阻抗分壓器時通過施加大規模外力到原來的電路來獲得，如：

（10）

請注意（9）沒有一行代數。這易于發現錯誤時單獨修復。（9）的校正很容易。現嘗試對（10）進行相同的修正，無需從頭開始。您比對一下，采用Mathcad表繪制的表達式（9）和（10）的頻率響應相同（圖6）。

圖6：快速Mathcad顯示用FACT推導出的表達式是否與由原表達式返回的響應相匹配。