探討了關于電機PWM的諧波對于電磁傳感器的干擾問題。由于PWM的高次諧波會落在20kHz的傳感器的通帶內，所以需要避免PWM的頻率為20kHz的整數分數值。

看到同學的一個留言，提到了關于周期信號的分數次諧波的問題。

從這個留言中，似乎認為對于一個周期方波信號，會產生一個與占空比成比例的分數諧波。這個觀點在信號分析中應該是不正確的。

一般情況下，習慣于教授理論的老師就可以直接寫出對應的公式來進行分析和說明了，或者將公式繪制成曲線說明信號頻譜的分布。考慮到很多同學現在尚未學習信號與系統相關的內容，為了提高大家對于這個問題的興趣，下面直接利用昨天實驗環境，分別測試一下不同的PWM的占空比所產生的干擾頻率點的變化。

圖1 測量實驗環境

昨天的實驗結果顯示，在20kHz的整數分數（1/2,1/3,1/4,1/5,1/6…）頻率處，PWM電機信號都會對傳感器噪聲干擾。這是由于這些頻率的某些整數倍數的諧波會恰好落在20kHz通帶范圍，當時的PWM波形的占空比為10%.

下面分別取占空比為20%，25%，33%，50%重新測量PWM的頻率與干擾信號強度之間的關系。可以保證，下面的所有曲線都是自動采集的實際信號繪制的，絕沒有通過公式計算出來的，所以它們反映了真是物理世界中信號的可以測量到的頻譜分布。

通過觀察會發現，不同的占空比下的PWM信號，并沒有產生新的干擾頻率點。相反，原來的一些干擾頻率點反而消失了。具體的規律看大家是否能夠通過測量總結出來？

圖2 占空比為20%時，PWM信號對傳感器的干擾頻率點

圖3 占空比為25%時，PWM信號對傳感器的干擾頻率點

圖4 占空比為33%時，PWM信號對傳感器的干擾頻率點

圖5 占空比為50%時，PWM信號對傳感器的干擾頻率點

通過上面的測量的數據可以看出，改變PWM波形的占空比并不會帶來新的干擾頻率點。相反，原來存在著的頻率點會在不同的占空比下消失了。例如，使用1/n的占空比，那么在所有的1/n,1/(2n),1/(3n)等處的干擾頻率點都消失了。特別對于占空比為50%（1/2）時，所有的1/2n的干擾頻率點都不存在了。

為什么會出現這種情況呢。此處省去3000字的理論推導，直接拿出頻譜分析公式就可以說明了。對于一個周期為T，高電平為tao的方波脈沖信號，它的各次諧波的幅度如下圖中的公式給出。

圖6 方波脈沖信號頻譜分解公式及其幅度譜

可以看出，各次諧波的幅值是由sinc函數決定的。當T是tao的整數倍數的時候，那么位于這些倍數處的諧波幅值都恰好為0。特別是，當tao等于T一半的時候，所有n等于偶數時，對應的諧波幅值都為0。

根據上面的結論，反過來，當PWM的占空比為整數n分之一的時候，對應的20kHz在 1/n, 1/2n, 1/3n等處的PWM信號，它們所對應在20kHz的諧波恰好為零，所以這些頻率處的干擾點就消失了。

離開圖6中的頻譜分解公式，也可以利用信號對稱性的關系說明占空比為50%的方波信號中，不存在偶次諧波分量。

信號分解成多個分量的疊加，信號的某種對稱性會在分量中加以保持。比如，信號如果是偶對稱（或者奇對稱），那么它的所有分量也必須是偶函數（或者奇函數）。對稱性有很多種，有一種對稱性稱之為“奇諧對稱”。它是指信號的平移半個周期之后，正好與原來信號相反。

圖7 奇諧對稱信號

對于正弦信號分析，可以看出上述的奇諧對稱關系在正弦波1,3,5…等奇數個周期上也存在。同理，對于余弦波形也是如此。

圖8 奇次正弦波的奇諧對稱

那么，以此就可以得到如下的結論：對于一個奇諧對稱的周期信號，它的所有奇次諧波也滿足奇諧對稱，所以存在。相反，偶次諧波不滿足上述的奇諧對稱關系，因此就不存在。這也是“奇諧”周期信號的名稱的由來。

對于普通的占空比為50%的方波信號，它的交流分量也是一個奇諧信號。除此之外，你們還能夠舉出那些常見到的信號是“奇諧信號”嗎？

對于一個周期信號，它的諧波難道就只能是它的基波頻率的整數倍數嗎？

在數學上是的確如此。無論這個周期信號長成什么樣，它的各個分量就只能是基波頻率的整數倍數的離散頻譜，絕對不會產生基波頻率的分數諧波的。

在實際世界中，嚴格周期信號是不存在的，特別是對于只存在一定時間的震蕩信號，實際上已經不是嚴格意義上的周期信號了。比如，對于一個周期信號截取其中一段時間的信號，此時，它的頻譜就會產生很多新的分量。實際上，此時信號的頻譜就會形成一個連續的頻譜密度函數。再往下，就會從傅里葉級數分解推導出傅里葉變換的數學分析工具了。

除了對于信號截取會產生新的頻率之外，如果周期信號經過一個非線性系統，

往往也會產生新的頻率，甚至是分數頻率。在鋼琴樂器中，由于其中存在著大量的諧振單元，相互之間有著相互的耦合以及一些非線性的作用，因此，對于鋼琴的發出的單個樂音中，不僅包含著豐富的諧波分量，同時還存在著一一些非整數諧波（分數諧波），這就使得鋼琴的聲音變得非常豐富多彩。

同樣，如果周期信號經過一個時變系統，也會有新的頻率信號產生。激光干涉引力波天文臺（LIGO）中的激光干涉信號，在平時，除了它本身激光穩定的頻率之外，是不會有新的頻率信號的。但是當引力波掃過地球時，整個空間的所有參數都會隨著時間發生相應的變化，此時激光的頻率也同樣出現了漂移，從而使得系統輸出發生變化了的干涉信號，表明了當前時空由于引力波所產生的變化。

圖10 時變的時空也會引起新的頻率分量的產生
編輯：hfy