卓大大 您能發篇推文講解一下舵機控制的傳遞函數如何求解嗎 在做智能車仿真時卡在這里了。

的確，宅在家里手里沒有實際的智能車模，也無法實際調試。利用所學習的理論知識來對智能車建模仿真也不失為一種鍛煉的方法，這更能夠將課內課外結合起來。

在仿真智能車控制中，有很多環節需要建模，其中的舵機環節是影響車模運行性能的重要環節。你提到如何對舵機進行建模的問題非常重要，回答這個問題需要從以下這幾個方面來討論。

什么是傳遞函數？

在分析和設計任何系統的時候，最重要的一個環節就是對系統進行建模。有很多數學模型可以用于控制系統的描述。比如：微分方程、傳遞函數、狀態方程等。

▲ 線性時不變系統的輸入輸出信號

傳遞函數是用來刻畫線性時不變（LTI：Linear Time Invariant）系統零狀態下輸入輸出信號之間的關系。針對控制問題來說，系統函數可以定義為系統輸出信號的拉普拉斯變換與輸入信號拉普拉斯變換的比值。

下面微分方程描述了線性時不變系統輸入輸出時域關系：

如果系統是零狀態，那么對方程兩邊做 Laplace 變換，可得：

系統函數定義為：

講到這兒，只是定義了什么是可以用于控制研究的傳導函數。在具體建立舵機的系統函數之前，需要判斷一下舵機是否滿足建立傳遞函數的條件：線性時不變特性。

▲ 舵機輸出與控制之間之間的關系

舵機是線性時不變系統嗎？

線性時不變特性是描述了系統的輸入輸出之間的兩個特性，線性性和時不變特性。

時不變特性描述了系統的由系統輸入信號所引起的系統輸出，是否隨著輸入信號的時間變化而產生相同的時間變化。舵機的輸入輸出之間的關系基本上滿足時不變特性。

線性特性是指系統輸入輸出之間滿足齊次性和疊加性，如果限定系統是實數系統，那么滿足疊加性也就滿足齊次性了。

下圖顯示了舵機在給定的指令之后，實際測量輸出角度變化的情況。基本上是按照一個恒定的轉速轉動到指定角度便停止了。

▲ 舵機的單位階躍相應

那么，如果將指令放大兩倍,變成，舵機大約經過兩倍的時間，到達兩倍的角度，角度信號為。如果僅僅是從最終輸出角度數值來看，它與輸入信號之間是線性（比例）關系。但從動態過程來看，輸出信號并不是放大兩倍：

所以，舵機不是一個線性系統。

▲ 舵機輸出信號示意圖

由于實際舵機不滿足線性時不變特性，所以本質上講，它無法使用傳遞函數了描述。

實際系統的線性近似

的確，很多實際系統不滿足線性時不變特性。這就使得應用系統函數進行描述遇到困難。在一定條件下，可以將系統進行線性近似。

比如，只研究系統輸入輸出之間變化量的關系，可以引入增量線性系統的概念。如果系統是分段線性的，可以在每一階段內建立對應的傳遞函數。

▲ 分段線性化

如果系統輸入輸出之間的關系足夠平滑，而系統運行時變化范圍小，這樣可以使用局部線性化來近似該系統。

▲ 小型號線性化

那么對于舵機來講，它是否滿足上面的線性近似呢？很遺憾，至少對控制車模轉向的小型舵機來講，在它的工作范圍內很難獲得比較好用的線性化后的模型了，主要的原因是舵機工作在大的動態范圍內。

▲ 舵機控制前輪轉向

為什么舵機不是線性的？

舵機內部包括有小型直流電機、減速齒輪、驅動電路以及位置傳感器等，是一個機電一體化的位置閉環負反饋系統。其中的小型電機、位置傳感器以及直流電機都可以近似看成線性系統，非線性主要來自于驅動電路。

由于受到工作電壓以及功率的限制，驅動電路輸出具有飽和特性。這樣就決定了電機轉速被限制在一定的范圍之內。當電路輸出進行飽和之后，電機的轉速就是恒定值，驅動輸出角度按照恒定角速度轉動，從而與輸入信號之間就不再保持線性關系了。

▲ 舵機內部結構示意圖

所以，你可能看到網絡上很多對舵機進行建模分析的，大部分都是針對于大型的伺服舵機，它的輸出能力大于實際負載，或者說特別關注于小范圍的動態過程，此時可以使用傳遞函數建立相對精確的模型。

如何近似建立舵機數學模型？

根據上面分析，如何來對舵機建立可以用于仿真的數學模型呢？

1. 修改舵級的驅動

前面分析了小型舵機的非線性主要來自于內部驅動電路板輸出飽和造成的，因此如果更換外部強勁的驅動電路，就可以減少這方面的限制了。

在推文五線接口舵機[1]中給出了是所有 A4950 作為舵機功率驅動的設計方法，在一定程度上可以擴大舵機工作的線性范圍。

由于舵機的特性關系到車模運行的速度，所以在比賽規則中除了特殊的組別（節能組、大型 L 型車模）之外，是不允許修改舵機內部電路的。

2. 使用純延時環節替代舵機

由于舵機基本上工作在飽和恒速狀態，在實際建模分析的時候，可以將它的傳遞函數近似以下的方式：

（1）比例環節： 就是輸入輸出之間就是一個比例放大環節。傳遞函數為：。

（2）純延時環節： 根據舵機的工作參數，將舵機近似成一個純延時環節：。其中可以根據舵機參數來確定。（3）一階慣性關節：

下面是使用純延遲環節仿真車模在轉彎時的運行情況：

▲ 車模實際運行情況

▲ 使用純延時環節仿真車模轉向控制

3. 建立舵機的非線性模型

不再使用傳遞函數來描述舵機的輸入輸出關系，而是直接建立它的輸入輸出之間的非線性動態關系。這一點可以通過普通的狀態機、查表方法、人工神經網絡建立，或者通過測量舵機的輸入輸出關系來進行數值描述等。

4. 硬件在環

如論數學描述多么精確，實際上都很難對舵機在實際上工作狀態下完整的描述。因此，將來在做仿真的時候，也可以建立起硬件在環的仿真機制。將整個的仿真環節回歸到時間域來進行。舵機模型則利用它的非線性時間模型來給出動態特性。

▲ 硬件在環仿真示意圖

小結

對于智能車仿真來講，建議你可以使用簡單的比例、純延時、一階慣性環節來對車模上的舵機進行建模。雖然這只是近似，但在給出車模控制基本參數之后，在實際的車模運行中再進行參數調整。

你想想，如果一切都能夠通過仿真搞定，那么還需要現場比賽干什么呢？

參考資料

[1]五線接口舵機: https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5NjQyNjc2NQ&mid=2452221100&idx=1&sn=508232e296b36cb03b8140c1d992e878&chksm=876d02ceb01a8bd8f1c9a19295ef53c1bcc3afa5ddd81484c6b90f50b0692a0f331547317d54&token=458500273&lang=zh_CN#rd*

編輯：hfy