目錄

梯度下降法

牛頓法和擬牛頓法

共軛梯度法

啟發(fā)式優(yōu)化方法

解決約束優(yōu)化問題——拉格朗日乘數(shù)法

我們每個(gè)人都會(huì)在我們的生活或者工作中遇到各種各樣的最優(yōu)化問題，比如每個(gè)企業(yè)和個(gè)人都要考慮的一個(gè)問題“在一定成本下，如何使利潤(rùn)最大化”等。最優(yōu)化方法是一種數(shù)學(xué)方法，它是研究在給定約束之下如何尋求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的一些學(xué)科的總稱。隨著學(xué)習(xí)的深入，博主越來越發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化方法的重要性，學(xué)習(xí)和工作中遇到的大多問題都可以建模成一種最優(yōu)化模型進(jìn)行求解，比如我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，大部分的機(jī)器學(xué)習(xí)算法的本質(zhì)都是建立優(yōu)化模型，通過最優(yōu)化方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)（或損失函數(shù)）進(jìn)行優(yōu)化，從而訓(xùn)練出最好的模型。常見的最優(yōu)化方法有梯度下降法、牛頓法和擬牛頓法、共軛梯度法等等。

1. 梯度下降法（Gradient Descent）

梯度下降法是最早最簡(jiǎn)單，也是最為常用的最優(yōu)化方法。梯度下降法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)時(shí)，梯度下降法的解是全局解。一般情況下，其解不保證是全局最優(yōu)解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的優(yōu)化思想是用當(dāng)前位置負(fù)梯度方向作為搜索方向，因?yàn)樵摲较驗(yàn)楫?dāng)前位置的最快下降方向，所以也被稱為是”最速下降法“。最速下降法越接近目標(biāo)值，步長(zhǎng)越小，前進(jìn)越慢。梯度下降法的搜索迭代示意圖如下圖所示：

梯度下降法的缺點(diǎn)：

（1）靠近極小值時(shí)收斂速度減慢，如下圖所示；

（2）直線搜索時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生一些問題；

（3）可能會(huì)“之字形”地下降。

從上圖可以看出，梯度下降法在接近最優(yōu)解的區(qū)域收斂速度明顯變慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，基于基本的梯度下降法發(fā)展了兩種梯度下降方法，分別為隨機(jī)梯度下降法和批量梯度下降法。

比如對(duì)一個(gè)線性回歸（Linear Logistics）模型，假設(shè)下面的h(x)是要擬合的函數(shù)，J(theta)為損失函數(shù)，theta是參數(shù)，要迭代求解的值，theta求解出來了，那最終要擬合的函數(shù)h(theta)就出來了。其中m是訓(xùn)練集的樣本個(gè)數(shù)，n是特征的個(gè)數(shù)。

1）批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）

（1）將J(theta)對(duì)theta求偏導(dǎo)，得到每個(gè)theta對(duì)應(yīng)的的梯度：

（2）由于是要最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，所以按每個(gè)參數(shù)theta的梯度負(fù)方向，來更新每個(gè)theta：

（3）從上面公式可以注意到，它得到的是一個(gè)全局最優(yōu)解，但是每迭代一步，都要用到訓(xùn)練集所有的數(shù)據(jù)，如果m很大，那么可想而知這種方法的迭代速度會(huì)相當(dāng)?shù)穆Ｋ裕@就引入了另外一種方法——隨機(jī)梯度下降。

對(duì)于批量梯度下降法，樣本個(gè)數(shù)m，x為n維向量，一次迭代需要把m個(gè)樣本全部帶入計(jì)算，迭代一次計(jì)算量為m*n2。

2）隨機(jī)梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）

（1）上面的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)可以寫成如下這種形式，損失函數(shù)對(duì)應(yīng)的是訓(xùn)練集中每個(gè)樣本的梯度，而上面批量梯度下降對(duì)應(yīng)的是所有的訓(xùn)練樣本：

（2）每個(gè)樣本的損失函數(shù)，對(duì)theta求偏導(dǎo)得到對(duì)應(yīng)梯度，來更新theta：

（3）隨機(jī)梯度下降是通過每個(gè)樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬(wàn)），那么可能只用其中幾萬(wàn)條或者幾千條的樣本，就已經(jīng)將theta迭代到最優(yōu)解了，對(duì)比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬(wàn)訓(xùn)練樣本，一次迭代不可能最優(yōu)，如果迭代10次的話就需要遍歷訓(xùn)練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個(gè)問題是噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優(yōu)化方向。

隨機(jī)梯度下降每次迭代只使用一個(gè)樣本，迭代一次計(jì)算量為n2，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)m很大的時(shí)候，隨機(jī)梯度下降迭代一次的速度要遠(yuǎn)高于批量梯度下降方法。兩者的關(guān)系可以這樣理解：隨機(jī)梯度下降方法以損失很小的一部分精確度和增加一定數(shù)量的迭代次數(shù)為代價(jià)，換取了總體的優(yōu)化效率的提升。增加的迭代次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于樣本的數(shù)量。

對(duì)批量梯度下降法和隨機(jī)梯度下降法的總結(jié)：

批量梯度下降---最小化所有訓(xùn)練樣本的損失函數(shù)，使得最終求解的是全局的最優(yōu)解，即求解的參數(shù)是使得風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最小，但是對(duì)于大規(guī)模樣本問題效率低下。

隨機(jī)梯度下降---最小化每條樣本的損失函數(shù)，雖然不是每次迭代得到的損失函數(shù)都向著全局最優(yōu)方向， 但是大的整體的方向是向全局最優(yōu)解的，最終的結(jié)果往往是在全局最優(yōu)解附近，適用于大規(guī)模訓(xùn)練樣本情況。

2. 牛頓法和擬牛頓法（Newton's method &Quasi-Newton Methods）

1）牛頓法（Newton's method）

牛頓法是一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。方法使用函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓法最大的特點(diǎn)就在于它的收斂速度很快。

具體步驟：

首先，選擇一個(gè)接近函數(shù)f(x)零點(diǎn)的x0，計(jì)算相應(yīng)的f(x0)和切線斜率f '(x0)（這里f '表示函數(shù)f 的導(dǎo)數(shù)）。然后我們計(jì)算穿過點(diǎn)(x0, f (x0))并且斜率為f'(x0)的直線和x軸的交點(diǎn)的x坐標(biāo)，也就是求如下方程的解：

我們將新求得的點(diǎn)的x坐標(biāo)命名為x1，通常x1會(huì)比x0更接近方程f (x) = 0的解。因此我們現(xiàn)在可以利用x1開始下一輪迭代。迭代公式可化簡(jiǎn)為如下所示：

已經(jīng)證明，如果f '是連續(xù)的，并且待求的零點(diǎn)x是孤立的，那么在零點(diǎn)x周圍存在一個(gè)區(qū)域，只要初始值x0位于這個(gè)鄰近區(qū)域內(nèi)，那么牛頓法必定收斂。并且，如果f ' (x)不為0, 那么牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結(jié)果的有效數(shù)字將增加一倍。

由于牛頓法是基于當(dāng)前位置的切線來確定下一次的位置，所以牛頓法又被很形象地稱為是"切線法"。牛頓法的搜索路徑（二維情況）如下圖所示：

牛頓法搜索動(dòng)態(tài)示例圖：

關(guān)于牛頓法和梯度下降法的效率對(duì)比：

從本質(zhì)上去看，牛頓法是二階收斂，梯度下降是一階收斂，所以牛頓法就更快。如果更通俗地說的話，比如你想找一條最短的路徑走到一個(gè)盆地的最底部，梯度下降法每次只從你當(dāng)前所處位置選一個(gè)坡度最大的方向走一步，牛頓法在選擇方向時(shí)，不僅會(huì)考慮坡度是否夠大，還會(huì)考慮你走了一步之后，坡度是否會(huì)變得更大。所以，可以說牛頓法比梯度下降法看得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，能更快地走到最底部。（牛頓法目光更加長(zhǎng)遠(yuǎn)，所以少走彎路；相對(duì)而言，梯度下降法只考慮了局部的最優(yōu)，沒有全局思想。）

根據(jù)wiki上的解釋，從幾何上說，牛頓法就是用一個(gè)二次曲面去擬合你當(dāng)前所處位置的局部曲面，而梯度下降法是用一個(gè)平面去擬合當(dāng)前的局部曲面，通常情況下，二次曲面的擬合會(huì)比平面更好，所以牛頓法選擇的下降路徑會(huì)更符合真實(shí)的最優(yōu)下降路徑。

注：紅色的牛頓法的迭代路徑，綠色的是梯度下降法的迭代路徑。

牛頓法的優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)：

優(yōu)點(diǎn)：二階收斂，收斂速度快；

缺點(diǎn)：牛頓法是一種迭代算法，每一步都需要求解目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣的逆矩陣，計(jì)算比較復(fù)雜。

2）擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）

擬牛頓法是求解非線性優(yōu)化問題最有效的方法之一，于20世紀(jì)50年代由美國(guó)Argonne國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的物理學(xué)家W.C.Davidon所提出來。Davidon設(shè)計(jì)的這種算法在當(dāng)時(shí)看來是非線性優(yōu)化領(lǐng)域最具創(chuàng)造性的發(fā)明之一。不久R. Fletcher和M. J. D. Powell證實(shí)了這種新的算法遠(yuǎn)比其他方法快速和可靠，使得非線性優(yōu)化這門學(xué)科在一夜之間突飛猛進(jìn)。

擬牛頓法的本質(zhì)思想是改善牛頓法每次需要求解復(fù)雜的Hessian矩陣的逆矩陣的缺陷，它使用正定矩陣來近似Hessian矩陣的逆，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算的復(fù)雜度。擬牛頓法和最速下降法一樣只要求每一步迭代時(shí)知道目標(biāo)函數(shù)的梯度。通過測(cè)量梯度的變化，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的模型使之足以產(chǎn)生超線性收斂性。這類方法大大優(yōu)于最速下降法，尤其對(duì)于困難的問題。另外，因?yàn)閿M牛頓法不需要二階導(dǎo)數(shù)的信息，所以有時(shí)比牛頓法更為有效。如今，優(yōu)化軟件中包含了大量的擬牛頓算法用來解決無約束，約束，和大規(guī)模的優(yōu)化問題。

具體步驟：

擬牛頓法的基本思想如下。首先構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前迭代xk的二次模型：

這里Bk是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，于是我們?nèi)∵@個(gè)二次模型的最優(yōu)解作為搜索方向，并且得到新的迭代點(diǎn)：

其中我們要求步長(zhǎng)ak滿足Wolfe條件。這樣的迭代與牛頓法類似，區(qū)別就在于用近似的Hesse矩陣Bk代替真實(shí)的Hesse矩陣。所以擬牛頓法最關(guān)鍵的地方就是每一步迭代中矩陣Bk

的更新。現(xiàn)在假設(shè)得到一個(gè)新的迭代xk+1，并得到一個(gè)新的二次模型：

我們盡可能地利用上一步的信息來選取Bk。具體地，我們要求

從而得到

這個(gè)公式被稱為割線方程。常用的擬牛頓法有DFP算法和BFGS算法。

3. 共軛梯度法（Conjugate Gradient）

共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個(gè)方法，它僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn)，又避免了牛頓法需要存儲(chǔ)和計(jì)算Hesse矩陣并求逆的缺點(diǎn)，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優(yōu)化最有效的算法之一。在各種優(yōu)化算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優(yōu)點(diǎn)是所需存儲(chǔ)量小，具有步收斂性，穩(wěn)定性高，而且不需要任何外來參數(shù)。

具體的實(shí)現(xiàn)步驟請(qǐng)參加wiki百科共軛梯度法。

下圖為共軛梯度法和梯度下降法搜索最優(yōu)解的路徑對(duì)比示意圖：

注：綠色為梯度下降法，紅色代表共軛梯度法

MATLAB代碼：

function [x] = conjgrad(A,b,x) r=b-A*x; p=r; rsold=r'*r; for i=1:length(b) Ap=A*p; alpha=rsold/(p'*Ap); x=x+alpha*p; r=r-alpha*Ap; rsnew=r'*r; if sqrt(rsnew)<1e-10 ? ? ? ? ? ? ?break; ? ? ? ?end ? ? ? ?p=r+(rsnew/rsold)*p; ? ? ? ?rsold=rsnew; ? ?endend

4. 啟發(fā)式優(yōu)化方法

啟發(fā)式方法指人在解決問題時(shí)所采取的一種根據(jù)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則進(jìn)行發(fā)現(xiàn)的方法。其特點(diǎn)是在解決問題時(shí),利用過去的經(jīng)驗(yàn),選擇已經(jīng)行之有效的方法，而不是系統(tǒng)地、以確定的步驟去尋求答案。啟發(fā)式優(yōu)化方法種類繁多，包括經(jīng)典的模擬退火方法、遺傳算法、蟻群算法以及粒子群算法等等。

還有一種特殊的優(yōu)化算法被稱之多目標(biāo)優(yōu)化算法，它主要針對(duì)同時(shí)優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)（兩個(gè)及兩個(gè)以上）的優(yōu)化問題，這方面比較經(jīng)典的算法有NSGAII算法、MOEA/D算法以及人工免疫算法等。

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