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從本文開始，之后的三四篇我們都將沐浴在數(shù)學的海洋里，拼命地撲騰，這個系列我會盡力以通俗易懂的方式來講述這些數(shù)學知識。

1 函數(shù)

1.1 一次函數(shù)

在數(shù)學函數(shù)中最基本、最重要的就是一次函數(shù)。也就是函數(shù)之基礎(chǔ)、根本。它在神經(jīng)網(wǎng)絡的世界里也同樣重要。

1.1.1 一元一次函數(shù)

這個函數(shù)可以用下面的式表示。$a$被稱為斜率(用來控制直線的方向)，$b$被稱為截距（用來控制直線和原點的偏移）
$$y=ax+b（a、b為常數(shù)，a/neq 0）$$

當x、y兩個變量滿足上述公式時，就稱為變量y和變量x是一次函數(shù)關(guān)系。

有兩個變量$x$和$y$，如果對每個$x$都有唯一確定的$y$與它對應，則稱$y$是$x$的函數(shù)，用 $y=f(x)$ 表示。此時，稱$x$為自變量，$y$為因變量。

一次函數(shù)的圖像是直線，如下圖的直線所示。

示例：一次函數(shù)$y=2x+1$的圖像如下圖所示，截距為 1，斜率為 2。

1.1.2 多元一次函數(shù)

上面我們說的$y=ax+b$中有一個變量x，我們稱為一元，如果有多個變量，我們就稱為是多元的，比如下面的式子。（有幾個變量就是幾元的，也可以理解為維度）
$$y=ax_1+bx_2+...+c（a、b、c為常數(shù)，a/neq 0，b/neq 0）$$

當多個變量滿足上述公式時，也稱為變量y與變量是一次函數(shù)關(guān)系。

就像我們之前說的神經(jīng)元的加權(quán)輸入$z$就可以表示為一次函數(shù)關(guān)系。如果把作為參數(shù)的權(quán)重$w_1、w_2、...、w_n$與偏置$b$看作常數(shù)，那么加權(quán)輸入$z$h和$w_1、w_2、...、w_n$就是一次函數(shù)關(guān)系。
$$z=w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n+b$$

1.2 二次函數(shù)

1.2.1 一元二次函數(shù)

剛剛我們接觸了一次函數(shù)，下面說說二次函數(shù)。二次函數(shù)很重要，像我們經(jīng)常使用的代價函數(shù)平方誤差就是二次函數(shù)。二次函數(shù)由下面的式表示。
$$y=ax^2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a/neq 0）$$

二次函數(shù)的圖像是拋物線，如下圖所示。我們會發(fā)現(xiàn)拋物線的凹凸（開口朝向）是通過上方式子中$a$的正負來決定的。

1. 當$a>0$時，拋物線向上開口，向下凸起
2. 當$a<0$時，拋物線向下開口，向上凸起。

所以當$a>0$時該函數(shù)的$y$存在最小值。（該性質(zhì)是后面講的最小二乘法的基礎(chǔ)）

示例：二次函數(shù)$y=(x-1)^2+2$的圖像如右圖所示。從圖像中可以看到，當$x=1$時，函數(shù)取得最小值$y=2$。

1.2.2 多元二次函數(shù)

在我們實際的神經(jīng)網(wǎng)絡中需要處理更多變量的二次函數(shù)，這些二次函數(shù)統(tǒng)稱多元二次函數(shù)，學會了一元二次函數(shù)，那么多元二次函數(shù)就不會太難了，下面我們以一個二元二次函數(shù)進行舉例。

就像我們使用的代價函數(shù)平方誤差c就是多元二次函數(shù):
$$C=(x_1-t_1)^2$$

1.3 單位階躍函數(shù)

之前，我們已經(jīng)接觸過它了，還記得嗎，作為生物界神經(jīng)元的激活函數(shù)。下面我們再說一遍吧。

單位階躍函數(shù)，在原點處不連續(xù)，也就是在原點處不可導，由于這兩個性質(zhì)，所以單位階躍函數(shù)不能成為主要的激活函數(shù)。

$$u(x)=/left//{ /begin{matrix} 0/quad (x<0) //// 1/quad (x/ge 0) /end{matrix} /right//} $$

單位階躍函數(shù)的圖像如下：

1.4 指數(shù)函數(shù)

什么是指數(shù)函數(shù)呢？我們之前講了一次函數(shù)和二次函數(shù)，其實只要把變量放到冪的位置，其實就是指數(shù)函數(shù)了，具有以下形狀的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，常數(shù)$a$被稱為函數(shù)的底數(shù)。
$$y=a^x（a為正的常數(shù)，a/neq 1）$$

指數(shù)函數(shù)的圖像是類似于撇的一種樣式，如下所示

上面說到底數(shù)，就不得不說自然常數(shù)$e$,又叫納皮爾數(shù)或歐拉數(shù)，它和派$/pi$類似，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，它的值如下
$$e/approx 2.71828...$$

1.4.1 sigmoid函數(shù)

上面說到自然常數(shù)e，那么就不得不提到大名鼎鼎的自然指數(shù)函數(shù)$e^x$,它在數(shù)學界有自己的標識exp或exp(x)

而我們這里所要講的是包含自然指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)sigmoid函數(shù)，它是神經(jīng)網(wǎng)絡中很具有代表性的激活函數(shù)。它的公式如下
$$/sigma (x)=/frac { 1 }{ 1+{ e }^{ -x } } =/frac { 1 }{ 1+exp(-x) } $$

通過下方的圖像,我們可以看到，這個函數(shù)是光滑的，這就代表著這個函數(shù)處處可導，函數(shù)的取值在(0,1)區(qū)間內(nèi)，那么這個函數(shù)值就可以用概率來解釋

1.5 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

在計算機實際確定神經(jīng)網(wǎng)絡時，我們需要首先給權(quán)重和偏置設(shè)定初始值，這樣神經(jīng)網(wǎng)絡才能進行計算。而這個初始值怎么取呢，這個時候我們就會用到一個非常有用的工具，叫做正態(tài)分布，這里就不長篇大論的解釋啥是正態(tài)分布了，它也沒什么高大上的地方，就是概率分布中的一種分布方式，但是這個分布方式是及其復合人類和自然界的，有興趣的朋友可以去深入了解下。在這里只說一下，我們在給神經(jīng)網(wǎng)絡分配權(quán)重和偏置時分配一個服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，會比較容易取得好的結(jié)果。

正態(tài)分布是服從下面的概率密度函數(shù)的概率分布。公式如下
$$f/left( x /right) =/frac { 1 }{ /sqrt { 2/pi /sigma } } { e }^{ -/frac { { (x-/mu ) }^{ 2 } }{ 2{ /sigma }^{ 2 } } }$$

1. 常數(shù)$/mu$：期望值（平均值）
2. $/sigma$：標注差

它的圖像如下，由于形狀像教堂的鐘，所以被稱為叫鐘形曲線

示例：試作出期望值$/mu$為0、標準差$/sigma$為1 的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的圖像。
$$f/left( x /right)=/frac { 1 }{ /sqrt { 2/pi } } e^{ -/frac { x^{ 2 } }{ 2 } }$$

2 數(shù)列

2.1 數(shù)列的含義

數(shù)列就是數(shù)的序列，比如下面就是偶數(shù)列的數(shù)列
$$2,4,6,8,...$$

數(shù)列中的每一個數(shù)都被稱為項，排在第一位的項叫做首項，排在第二位的項叫做第2項,以此類推，排在第n位的項叫做第n項(是不是有點廢話)，神經(jīng)網(wǎng)絡中出現(xiàn)的數(shù)列都是有限的數(shù)列，這種數(shù)列叫做有窮數(shù)列，在有窮數(shù)列中最后一項稱為末項,數(shù)列中的數(shù)量稱為項數(shù),而像上面的偶數(shù)列是無窮數(shù)列

示例：考察下面的有窮數(shù)列的首項，末項以及項數(shù)
$$1,3,5,7,9$$

這個數(shù)列的首項是1，末項是9，項數(shù)是5

2.2 數(shù)列的通項公式

數(shù)列中排在第$n$項的數(shù)通常用$a_n$表示，這里$a$是數(shù)列的名字，可隨意取。當想要表達整個數(shù)列時，使用集合的符號來表示，如$/left//{a_n/right//}$

將數(shù)列的第$n$項用一個關(guān)于$n$的式子標書出來，那么這個式子被稱為通項公式，比如偶數(shù)列的通項公式就是下方的式子
$$a_n=2n$$

示例：求以下數(shù)列$/left//{b_n/right//}$的通項公式
$$1,3,5,7,9$$
通項公式為$b_n=2n-1$

在神經(jīng)網(wǎng)絡中，神經(jīng)元的加權(quán)輸入和輸出可以看成數(shù)列，比如使用下方的展示方式：

1. 加權(quán)輸入：第$l$層的第$j$個神經(jīng)元的加權(quán)輸入用$z_j^l$
2. 輸出：第$l$層的第$j$個神經(jīng)元的輸出用$a_j^l$

2.3 數(shù)列與遞推關(guān)系式

除了通項公式外，數(shù)列還有另外一種表示方式，就是用相鄰的關(guān)系式來表示，這種表示法被稱為數(shù)列的遞歸定義

一般，如果已知首項$a_n$以及相鄰的兩項$a/_n、a/_{n+1}$的關(guān)系式，那么就可以確定這個序列，這個關(guān)系式叫遞推關(guān)系式

示例：已知首項$a_1=1$以及關(guān)系式$a/_{n+1}=a/_n+2$，可以確定以下數(shù)列，這個關(guān)系式就是數(shù)列的遞推關(guān)系式。
$$a/_{1}=1////a/_{2}=a/_{1+1}=a/_{1}+2=1+2=3////a/_{3}=a/_{2+1}=a/_{2}+2=3+2=5////a/_{4}=a/_{3+1}=a/_{3}+2=5+2=7////...////a/_{1}=1,a/_{n+1}=a/_{n}+2$$

2.4 聯(lián)立遞推關(guān)系式

下面我們演示一個問題，這個算法就是神經(jīng)網(wǎng)絡中的誤差反向傳播中所用到的數(shù)列的解題算法聯(lián)立遞推算法。

示例：求以下兩個地推關(guān)系是定義的數(shù)列前3項，其中$a_1=b_1=1$
$$/begin{cases} a/_{ n+1 }=a/_{ n }+2b/_{ n }+2 //// b/_{n+1}=2a/_{n}+3b/_{n}+1 /end{cases}$$

解題：
$$/begin{cases} a/_{ 2 }=a/_{ 1 }+2b/_{ 1 }+2=1+2/times 1=5 //// b/_2=2a/_1+3b/_1+1=2/times 1+3/times 1+1=6 /end{cases}$$
$$/begin{cases} a/_{ 3 }=a/_{ 2 }+2b/_{ 2 }+2=5+2/times 6+2=19 //// b/_{ 3 }=2a/_{ 2 }+3b/_{ 2 }+1=2/times 5+3/times 6+1=39 /end{cases}$$

像這樣，將多個數(shù)列的遞推關(guān)系式聯(lián)合起來組成一組，稱為聯(lián)立遞推關(guān)系式。在神經(jīng)網(wǎng)絡的世界中，所有神經(jīng)元的輸入和輸出在數(shù)學上都可以認為是用聯(lián)立遞推式聯(lián)系起來的。例如，我們來看看之前文章中看過的一個神經(jīng)元的圖片

在箭頭前端標記的是權(quán)重，神經(jīng)元的圓圈中標記的是神經(jīng)單元的輸出變量。于是，如果以$a(z)$為激活函數(shù)，$b_1^3$、$b_2^3$為第3層各個神經(jīng)元的偏置，那么以下關(guān)系式成立：
$${ a }/_{ 1 }^{ 3 }=a({ w }/_{ 11 }^{ 3 }{ a }/_{ 1 }^{ 2 }+{ w }/_{ 12 }^{ 3 }{ a }/_{ 2 }^{ 2 }+{ w }/_{ 13 }^{ 3 }{ a }/_{ 3 }^{ 2 }+{ b }/_{ 1 }^{ 3 })$$
$${ a }/_{ 2 }^{ 3 }=a({ w }/_{ 21 }^{ 3 }{ a }/_{ 1 }^{ 2 }+{ w }/_{ 22 }^{ 3 }{ a }/_{ 2 }^{ 2 }+{ w }/_{ 23 }^{ 3 }{ a }/_{ 3 }^{ 2 }+{ b }/_{ 2 }^{ 3 })$$

根據(jù)這些關(guān)系式，第3層的輸出$a_1^3$和$a_2^3$由第2層的輸出$a_1^2$、$a_2^2$、$a_3^2$決定。也就是說，第2層的輸出與第3層的輸出由聯(lián)立遞推關(guān)系式聯(lián)系起來。我們之后學的誤差反向傳播就是將這種觀點應用在神經(jīng)網(wǎng)絡中。

為什么要將聯(lián)立遞推應用在神經(jīng)網(wǎng)絡中呢？

其實是因為對比計算冗長的偏導關(guān)系式，計算機更加擅長計算遞推關(guān)系。

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審核編輯：符乾江