在數(shù)據(jù)挖掘中，我們經(jīng)常需要計(jì)算樣本之間的相似度，通常的做法是計(jì)算樣本之間的距離。在本文中，數(shù)據(jù)科學(xué)家 Maarten Grootendorst 向我們介紹了 9 種距離度量方法，其中包括歐氏距離、余弦相似度等，并探討如何以及何時(shí)以最佳的方式使用它們。此外 Maarten Grootendorst 還對(duì)它們的缺點(diǎn)進(jìn)行了介紹，以及如何規(guī)避不足。歐氏距離（Euclidean Distance）

歐式距離。 我們從最常見的歐式距離開始，歐式距離可解釋為連接兩個(gè)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度。歐式距離公式非常簡(jiǎn)單，使用勾股定理從這些點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)計(jì)算距離。

缺點(diǎn)：盡管這是一種常用的距離度量，但歐式距離并不是尺度不變的，這意味著所計(jì)算的距離可能會(huì)根據(jù)特征的單位發(fā)生傾斜。通常，在使用歐式距離度量之前，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。 此外，隨著數(shù)據(jù)維數(shù)的增加，歐氏距離的作用也就越小。這與維數(shù)災(zāi)難（curse of dimensionality）有關(guān)。 用例：當(dāng)你擁有低維數(shù)據(jù)且向量的大小非常重要時(shí)，歐式距離的效果非常好。如果在低維數(shù)據(jù)上使用歐式距離，則如 k-NN 和 HDBSCAN 之類的方法可達(dá)到開箱即用的效果。 余弦相似度（Cosine Similarity）

余弦相似度。 余弦相似度經(jīng)常被用作抵消高維歐式距離問題。余弦相似度是指兩個(gè)向量夾角的余弦。如果將向量歸一化為長(zhǎng)度均為 1 的向量，則向量的點(diǎn)積也相同。 兩個(gè)方向完全相同的向量的余弦相似度為 1，而兩個(gè)彼此相對(duì)的向量的余弦相似度為 - 1。注意，它們的大小并不重要，因?yàn)檫@是在方向上的度量。

缺點(diǎn)：余弦相似度的一個(gè)主要缺點(diǎn)是沒有考慮向量的大小，而只考慮它們的方向。以推薦系統(tǒng)為例，余弦相似度就沒有考慮到不同用戶之間評(píng)分尺度的差異。 用例：當(dāng)我們對(duì)高維數(shù)據(jù)向量的大小不關(guān)注時(shí)，可以使用余弦相似度。對(duì)于文本分析，當(dāng)數(shù)據(jù)以單詞計(jì)數(shù)表示時(shí)，經(jīng)常使用此度量。例如，當(dāng)一個(gè)單詞在一個(gè)文檔中比另一個(gè)單詞更頻繁出現(xiàn)時(shí)，這并不一定意味著文檔與該單詞更相關(guān)。可能是文件長(zhǎng)度不均勻或者計(jì)數(shù)的重要性不太重要。我們最好使用忽略幅度的余弦相似度。 漢明距離（Hamming Distance）

漢明距離。 漢明距離是兩個(gè)向量之間不同值的個(gè)數(shù)。它通常用于比較兩個(gè)相同長(zhǎng)度的二進(jìn)制字符串。它還可以用于字符串，通過計(jì)算不同字符的數(shù)量來比較它們之間的相似程度。 缺點(diǎn)：當(dāng)兩個(gè)向量長(zhǎng)度不相等時(shí)，漢明距離使用起來很麻煩。當(dāng)幅度是重要指標(biāo)時(shí)，建議不要使用此距離指標(biāo)。 用例：典型的用例包括數(shù)據(jù)通過計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)的錯(cuò)誤糾正 / 檢測(cè)。它可以用來確定二進(jìn)制字中失真的數(shù)目，作為估計(jì)誤差的一種方法。此外，你還可以使用漢明距離來度量分類變量之間的距離。 曼哈頓距離（Manhattan Distance）

曼哈頓距離。 曼哈頓距離通常稱為出租車距離或城市街區(qū)距離，用來計(jì)算實(shí)值向量之間的距離。想象一下均勻網(wǎng)格棋盤上的物體，如果它們只能移動(dòng)直角，曼哈頓距離是指兩個(gè)向量之間的距離，在計(jì)算距離時(shí)不涉及對(duì)角線移動(dòng)。

缺點(diǎn)：盡管曼哈頓距離在高維數(shù)據(jù)中似乎可以工作，但它比歐式距離直觀性差，尤其是在高維數(shù)據(jù)中使用時(shí)。此外，由于它可能不是最短路徑，有可能比歐氏距離給出一個(gè)更高的距離值。 用例：當(dāng)數(shù)據(jù)集具有離散或二進(jìn)制屬性時(shí)，曼哈頓距離似乎工作得很好，因?yàn)樗紤]了在這些屬性的值中實(shí)際可以采用的路徑。以歐式距離為例，它會(huì)在兩個(gè)向量之間形成一條直線，但實(shí)際上這是不可能的。 切比雪夫距離（Chebyshev Distance）

切比雪夫距離。 切比雪夫距離定義為兩個(gè)向量在任意坐標(biāo)維度上的最大差值。換句話說，它就是沿著一個(gè)軸的最大距離。切比雪夫距離通常被稱為棋盤距離，因?yàn)閲?guó)際象棋的國(guó)王從一個(gè)方格到另一個(gè)方格的最小步數(shù)等于切比雪夫距離。

缺點(diǎn)：切比雪夫距離通常用于特定的用例，這使得它很難像歐氏距離或余弦相似度那樣作為通用的距離度量。因此，在確定適合用例時(shí)才使用它。 用例：切比雪夫距離用于提取從一個(gè)方塊移動(dòng)到另一個(gè)方塊所需的最小移動(dòng)次數(shù)。此外，在允許無限制八向移動(dòng)的游戲中，這可能是有用的方法。在實(shí)踐中，切比雪夫距離經(jīng)常用于倉庫物流，因?yàn)樗浅ｎ愃朴谄鹬貦C(jī)移動(dòng)一個(gè)物體的時(shí)間。 閔氏距離（Minkowski）

閔氏距離。 閔氏距離比大多數(shù)距離度量更復(fù)雜。它是在范數(shù)向量空間（n 維實(shí)數(shù)空間）中使用的度量，這意味著它可以在一個(gè)空間中使用，在這個(gè)空間中，距離可以用一個(gè)有長(zhǎng)度的向量來表示。 閔氏距離公式如下：

最有趣的一點(diǎn)是，我們可以使用參數(shù) p 來操縱距離度量，使其與其他度量非常相似。常見的 p 值有：

p=1：曼哈頓距離

p=2：歐氏距離

p=∞：切比雪夫距離

缺點(diǎn)：閔氏距離與它們所代表的距離度量有相同的缺點(diǎn)，因此，對(duì)哈頓距離、歐幾里得距離和切比雪夫距離等度量標(biāo)準(zhǔn)有個(gè)好的理解非常重要。此外，參數(shù) p 的使用可能很麻煩，因?yàn)楦鶕?jù)用例，查找正確的 p 值在計(jì)算上效率低。 用例：p 的積極一面是可迭代，并找到最適合用例的距離度量。它允許在距離度量上有很大的靈活性，如果你非常熟悉 p 和許多距離度量，將會(huì)獲益多多。 雅卡爾指數(shù)（Jaccard Index）

雅卡爾指數(shù)。 雅卡爾指數(shù)（交并比）是用于比較樣本集相似性與多樣性的統(tǒng)計(jì)量。雅卡爾系數(shù)能夠量度有限樣本集合的相似度，其定義為兩個(gè)集合交集大小與并集大小之間的比例。 例如，如果兩個(gè)集合有 1 個(gè)共同的實(shí)體，而有 5 個(gè)不同的實(shí)體，那么雅卡爾指數(shù)為 1/5 = 0.2。要計(jì)算雅卡爾距離，我們只需從 1 中減去雅卡爾指數(shù)：

缺點(diǎn)：雅卡爾指數(shù)的一個(gè)主要缺點(diǎn)是它受數(shù)據(jù)大小的影響很大。大數(shù)據(jù)集對(duì)指數(shù)有很大影響，因?yàn)樗梢燥@著增加并集，同時(shí)保持交集相似。 用例：雅卡爾指數(shù)通常用于使用二進(jìn)制或二進(jìn)制數(shù)據(jù)的應(yīng)用程序中。當(dāng)你有一個(gè)深度學(xué)習(xí)模型來預(yù)測(cè)圖像分割時(shí)，比如一輛汽車，雅卡爾指數(shù)可以用來計(jì)算給定真實(shí)標(biāo)簽的預(yù)測(cè)分割的準(zhǔn)確度。 類似地，它可以用于文本相似性分析，以測(cè)量文檔之間有多少詞語重疊。因此，它可以用來比較模式集合。 半正矢（Haversine）

半正矢距離。 半正矢距離是指球面上的兩點(diǎn)在給定經(jīng)緯度條件下的距離。它與歐幾里得距離非常相似，因?yàn)樗梢杂?jì)算兩點(diǎn)之間的最短連線。主要區(qū)別在于半正矢距離不可能有直線，因?yàn)檫@里的假設(shè)是兩個(gè)點(diǎn)都在一個(gè)球面上。

缺點(diǎn)：這種距離測(cè)量的一個(gè)缺點(diǎn)是，假定這些點(diǎn)位于一個(gè)球體上。實(shí)際上，這種情況很少出現(xiàn)，例如，地球不是完美的圓形，在某些情況下可能使計(jì)算變得困難。相反，如果假定是橢球，使用 Vincenty 距離比較好。 用例：半正矢距離通常用于導(dǎo)航。例如，你可以使用它來計(jì)算兩個(gè)國(guó)家之間的飛行距離。請(qǐng)注意，如果距離本身不那么大，則不太適合。 S?rensen-Dice 系數(shù)

S?rensen-Dice 系數(shù)。 S?rensen-Dice 系數(shù)與雅卡爾指數(shù)非常相似，都是度量樣本集的相似性和多樣性。盡管它們的計(jì)算方法相似，但是 S?rensen-Dice 系數(shù)更直觀一些，因?yàn)樗梢员灰暈閮蓚€(gè)集合之間重疊的百分比，這個(gè)值在 0 到 1 之間：

缺點(diǎn)：正如雅卡爾指數(shù)，S?rensen-Dice 系數(shù)也夸大了很少或沒有真值的集合的重要性，因此，它可以控制多集合的平均得分，還可以控制多組平均得分并按相關(guān)集合的大小成反比地加權(quán)每個(gè)項(xiàng)目，而不是平等對(duì)待它們。 用例：用例與雅卡爾指數(shù)相似，它通常用于圖像分割任務(wù)或文本相似性分析。

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