在二叉樹之前的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了順序表、鏈表、棧、隊(duì)列這幾種結(jié)構(gòu)，它們都是用鏈表或者數(shù)組的方式來實(shí)現(xiàn)的，主要考察我們對(duì)結(jié)構(gòu)體的運(yùn)用！

今天讓我們來學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，也就是下面這副圖里面的樹

是下面這個(gè)才對(duì)

1.什么是樹？

1.1樹的概念

樹是一種非線性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它是由n個(gè)有限節(jié)點(diǎn)組成的具有一定層次關(guān)系的集合。

把它叫做樹是因?yàn)樗雌饋淼拇_像一個(gè)樹的根部

當(dāng)然也可以理解為是樹干在上，樹葉在下的結(jié)構(gòu)

有一個(gè)特殊的節(jié)點(diǎn)，被稱為根節(jié)點(diǎn)，也就是樹的開頭

除了根節(jié)點(diǎn)外，其余節(jié)點(diǎn)都是,個(gè)互不相交的集合。每一個(gè)集合都是一顆與樹的結(jié)構(gòu)類似的子樹

每一個(gè)節(jié)點(diǎn)只能有一個(gè)前驅(qū)，但是可以有很多個(gè)后驅(qū)

因此，樹是遞歸定義的

樹中的子節(jié)點(diǎn)不能有交集

上圖中的B節(jié)點(diǎn)不能有G這個(gè)孩子，因?yàn)镚已經(jīng)有父母C了

同理，G節(jié)點(diǎn)也不能同時(shí)擁有兩對(duì)父母

子節(jié)點(diǎn)之間也不能相連，如E和F不能相連

1.2樹的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

節(jié)點(diǎn)的度：一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有的子樹的個(gè)數(shù)稱為該節(jié)點(diǎn)的度；如下圖：A的度為6

葉節(jié)點(diǎn)或終端節(jié)點(diǎn)：度為0的節(jié)點(diǎn)稱為葉節(jié)點(diǎn)；圖中B、C、H、I…等節(jié)點(diǎn)為葉節(jié)點(diǎn)

非終端節(jié)點(diǎn)或分支節(jié)點(diǎn)：度不為0的節(jié)點(diǎn)；如上圖中D、E、F、G…等節(jié)點(diǎn)為分支節(jié)點(diǎn)

簡(jiǎn)單的說，就是有娃的節(jié)點(diǎn)就是分支節(jié)點(diǎn)

雙親節(jié)點(diǎn)或父節(jié)點(diǎn)：若一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有子節(jié)點(diǎn)，則這個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為其子節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)；如上圖，D是H的父節(jié)點(diǎn)

孩子節(jié)點(diǎn)或子節(jié)點(diǎn)：一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有的子樹的根節(jié)點(diǎn)稱為該節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)；如上圖：H是D的孩子節(jié)點(diǎn)

兄弟節(jié)點(diǎn)：具有相同父節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)互稱為兄弟節(jié)點(diǎn)；如下圖：P、Q是兄弟節(jié)點(diǎn)

樹的度：一棵樹中，最大的節(jié)點(diǎn)的度稱為樹的度；示例中樹的度為6（即A的度）

節(jié)點(diǎn)的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節(jié)點(diǎn)為第2層，以此類推

樹的高度或深度：樹中節(jié)點(diǎn)的最大層次；示例中樹的高度為4

堂兄弟節(jié)點(diǎn)：雙親在同一層的節(jié)點(diǎn)互為堂兄弟；如下圖：H、I互為兄弟節(jié)點(diǎn)

節(jié)點(diǎn)的祖先：從根到該節(jié)點(diǎn)所經(jīng)分支上的所有節(jié)點(diǎn)；示例中A是所有節(jié)點(diǎn)的祖先

子孫：以某節(jié)點(diǎn)為根的子樹中任一節(jié)點(diǎn)都稱為該節(jié)點(diǎn)的子孫。示例中所有節(jié)點(diǎn)都是A的子孫

森林：由m（m>0）棵互不相交的樹的集合稱為森林

多個(gè)不相交的樹就是森林

1.3樹的代碼表示

表示樹的方式有很多種，比如下面這種

#define N 5 //指定樹的度為5struct TreeNode{ int data; struct TreeNode* subs[N];//用指針數(shù)組存放孩子節(jié)點(diǎn)的指針};

但這種方法不夠優(yōu)，給大家展示一個(gè)用的最廣泛的方法——孩子兄弟表示法

typedef int DataType;struct Node{ struct Node* _firstChild1; // 第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn) struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一個(gè)兄弟結(jié)點(diǎn) DataType _data; // 結(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)域};

通過這種方法，父親節(jié)點(diǎn)只需要保存它的第一個(gè)娃，其他娃就讓大娃的兄弟節(jié)點(diǎn)來找

也就是家長(zhǎng)只用管老大，老大管老二，老二管老三，依次往下……

實(shí)際寫代碼的結(jié)構(gòu)大概是下圖這樣

2.二叉樹

在實(shí)際中，二叉樹是使用較多的一種樹的結(jié)構(gòu)

2.1概念

二叉樹是度為2的樹，它是一個(gè)特殊的樹

二叉樹不存在度大于2的節(jié)點(diǎn)

二叉樹是有序樹，它的娃（子樹）有左右之分，次序不能顛倒

所以，二叉樹都是由下面各類節(jié)點(diǎn)組成的樹

2.2特殊的二叉樹

滿二叉樹：如果每一個(gè)層的節(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大值，那這個(gè)二叉樹就是滿二叉樹。也就是說：滿二叉樹的層數(shù)為k，且節(jié)點(diǎn)總數(shù)是2k-1

滿二叉樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列公式

2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . + 2 k ? 1 = 1 ? ( 1 ? 2 k ) / ( 1 ? 2 ) = 2 k ? 1 2^0+2^1+2^2+...+2^{k-1}=1*(1-2^k)/(1-2)=2^k -1 20+21+22+...+2k?1=1?(1?2k)/(1?2)=2k?1

完全二叉樹：完全二叉樹是效率很高的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。對(duì)于深度為K，有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹，當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都與深度為K的滿二叉樹中編號(hào)從1至n的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)時(shí)，稱為完全二叉樹。

簡(jiǎn)單說來，完全二叉樹的最后一層不一定滿，但必須要從左到右連續(xù)

滿二叉樹是一個(gè)特殊的完全二叉樹

2.3二叉樹的性質(zhì)

若規(guī)定根節(jié)點(diǎn)的層數(shù)為1，則一棵非空二叉樹的第i層上最多有2(i-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)

若規(guī)定根節(jié)點(diǎn)的層數(shù)為1，則深度為h的二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)是2h-1

對(duì)任何一棵二叉樹, 如果度為0其葉結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n0, 度為2的分支結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n2，則有n0 = n2+1

若規(guī)定根節(jié)點(diǎn)的層數(shù)為1，具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的滿二叉樹的深度，h=log2(n+1) 。(ps：是log以2為底，n+1為對(duì)數(shù))

對(duì)于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹，如果按照從上至下從左至右的數(shù)組順序?qū)λ泄?jié)點(diǎn)從0開始編號(hào)，則對(duì)于序號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)有：

若i>0，i位置節(jié)點(diǎn)的雙親序號(hào)：(i-1)/2；i=0，i為根節(jié)點(diǎn)編號(hào)，無雙親節(jié)點(diǎn)

若2i+1=n否則無左孩子

若2i+2=n否則無右孩子

2.4幾個(gè)選擇題

1. 某二叉樹共有 399 個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中有 199 個(gè)度為 2 的結(jié)點(diǎn)，則該二叉樹中的葉子結(jié)點(diǎn)數(shù)為（ ）

A 不存在這樣的二叉樹

B 200 √

C 198

D 199

//葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)量 總比度為2的節(jié)點(diǎn)多1

2.在具有 2n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹中，葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A n √

B n+1

C n-1

D n/2

//N0+N1+N2=2n

//2N0+N1-1=2n

//N1只有0和1兩種可能，因?yàn)閚為整數(shù)，2n為偶數(shù)，所以2N0=2n，N0=n

3.一棵完全二叉樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)位為531個(gè)，那么這棵樹的高度為（ ）

A 11

B 10 √

C 8

D 12

//假設(shè)高度是h

//完全二叉樹節(jié)點(diǎn)最多2^h -1

// 最少2^(h-1)-1 +1

//可以通過這兩個(gè)公式，推斷出h=10

3.二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

二叉樹一般可以使用兩種結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，一種順序結(jié)構(gòu)，一種鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)

3.1順序存儲(chǔ)

順序結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)就是使用數(shù)組來存儲(chǔ)

一般使用數(shù)組只適合表示完全二叉樹，因?yàn)椴皇峭耆鏄鋾?huì)有空間的浪費(fèi)。

現(xiàn)實(shí)使用中只有堆才會(huì)使用數(shù)組來存儲(chǔ)

下一篇博客會(huì)帶大家認(rèn)識(shí)堆這個(gè)特殊的樹形結(jié)構(gòu)（和內(nèi)存里面那個(gè)堆????沒啥關(guān)系哈）

看到這張圖，你肯定想問，如果用數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，那還怎么還原出一顆樹????呢？

這里我們需要理解物理存儲(chǔ)和邏輯結(jié)構(gòu)的關(guān)系

二叉樹順序存儲(chǔ)在物理上是一個(gè)數(shù)組，在邏輯上是一顆二叉樹

那怎么計(jì)算這種情況下的父親和娃呢？

leftchild=parent*2+1

rightchild=parent*2+2

parent=(child-1)/2

怎么樣，是不是忽然感覺妙級(jí)了？

3.2鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)

這就就沒啥好說的啦，使用一個(gè)簡(jiǎn)單的二叉鏈就能構(gòu)成二叉樹

typedef int BTDataType;// 二叉鏈struct BinaryTreeNode{ struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向當(dāng)前節(jié)點(diǎn)左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向當(dāng)前節(jié)點(diǎn)右孩子 BTDataType _data; // 當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值}

審核編輯 ：李倩