顯著加快多項(xiàng)式運(yùn)算速度

幾乎任何代數(shù)計(jì)算最終都會(huì)以某種方式涉及多項(xiàng)式。多項(xiàng)式從一開始就是Mathematica 和Wolfram語言中優(yōu)化的部分。事實(shí)上，在超過四分之一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，我們對(duì)它們進(jìn)行的基本操作幾乎不需要更新。但是現(xiàn)在在版本13.2中——由于新的算法和新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，以及使用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)硬件的新方法——我們正在更新一些核心多項(xiàng)式運(yùn)算，并使它們大大加快。順便說一下，我們也得到了一些新的多項(xiàng)式函數(shù)。

這是兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積，展開：

像這樣的分解多項(xiàng)式幾乎是即時(shí)的，并且從版本1 開始就一直如此：

但是現(xiàn)在讓我們把它做得更大：

展開多項(xiàng)式中有999 項(xiàng)：

分解這不是一個(gè)簡單的計(jì)算，在版本13.1 中大約需要19 秒：

但是現(xiàn)在，在版本13.2 中，同樣的計(jì)算需要0.3 秒，快了近60 倍：

很少有任何東西能提高60倍。但這是其中一種情況，事實(shí)上，對(duì)于更大的多項(xiàng)式，該比率將進(jìn)一步穩(wěn)步增加。但這僅僅是只與晦澀的大多項(xiàng)式有關(guān)的東西嗎？嗯，沒有。尤其是因?yàn)槭聦?shí)證明，大多項(xiàng)式出現(xiàn)在各種重要地方的“引擎蓋下”。例如，看似無害的物體

可以作為代數(shù)數(shù)進(jìn)行操作，但多項(xiàng)式最小：

除了分解之外，版本13.2還顯著提高了多項(xiàng)式結(jié)果、GCD、判別式等的效率。所有這些都使得對(duì)多項(xiàng)式線性代數(shù)的變革性更新成為可能，即對(duì)元素為（單變量）多項(xiàng)式的矩陣的操作。

下面是一個(gè)多項(xiàng)式矩陣：

這是矩陣的力量：

而這個(gè)的決定因素：

在13.1 版中，這看起來并不那么好;結(jié)果未展開，如下所示：

在版本13.2 中，大小和速度都得到了顯著改進(jìn)。這是一個(gè)更大的案例- 在 13.1中計(jì)算需要一個(gè)多小時(shí)，結(jié)果的葉子數(shù)量驚人地達(dá)到178 億

多項(xiàng)式線性代數(shù)在“幕后”用于許多領(lǐng)域，特別是在處理線性微分方程、差分方程及其符號(hào)解時(shí)。在13.2版本中，不僅多項(xiàng)式MatrixPower和Det，而且LinearSolve，Inverse，RowReduce，MatrixRank和NullSpace都得到了顯著的加速。

除了顯著的速度改進(jìn)之外，版本13.2 還增加了一個(gè)多項(xiàng)式功能，我碰巧已經(jīng)等待了30 多年：有限域上的多元多項(xiàng)式分解：

事實(shí)上，查看我們的檔案，我發(fā)現(xiàn)許多請(qǐng)求至少可以追溯到1990 年——來自相當(dāng)多的人——要求這種能力，盡管1991 年的內(nèi)部說明很有魅力地指出：

是的，沒錯(cuò)。但是31 年后，在13.2 版中，它完成了！

審核編輯 ：李倩