大家都知道，電容器是一種能夠儲存電荷的器件，它由兩個相對的導體極板和中間的絕緣介質(zhì)組成。當我們給電容器接上一個電源時，電源就會給電容器充電，使得一個極板帶正電，另一個極板帶負電。這樣，兩個極板之間就形成了一個電場，而這個電場就儲存了一定的能量。

電容的大小取決于導體板的面積、介質(zhì)的介電常數(shù)和兩板之間的距離。在最簡單的情況下，它有如下的關(guān)系：C=εA/d。一般來說，面積越大、介電常數(shù)越高、距離越小，電容就越大。

在經(jīng)典物理中，電容也可以用電荷和電壓之間的比例表示：C=Q/V。這個公式告訴我們，電容量越大，在相同的電壓下，極板上可以儲存更多的電荷。這個關(guān)系也意味著，在給定的電壓下，無論導體板的厚度如何變化，只要兩板之間的距離不變，電容就不會改變。

然而，當導體板的厚度足夠小，即與電子的德布羅意波長相當或更小時，導體板上的電子就會受到量子力學效應的影響。

當導體板很薄時，導體板上的電子有一定概率穿透導體板和介質(zhì)層而到達另一塊導體板上。這樣就會產(chǎn)生一個額外的漏電流，并降低兩塊導體板上的電荷差。因此，在量子隧穿效應下，Q=CV這個關(guān)系會被破壞。

當導體板很薄時，導體板上的電子運動受到限制，其能級由連續(xù)變?yōu)榉至ⅲl(fā)生量子化。這樣就會改變導體板上的能帶結(jié)構(gòu)和費米能級，并影響導體板上的載流子密度和輸運性質(zhì)。因此，在量子尺寸效應下，C=εA/d這個關(guān)系會被破壞。

當導體板很薄時，導體板上的每個格點只能容納一個或少數(shù)幾個電子。當一個格點已經(jīng)被占據(jù)時，其他格點上的電子就不能進入該格點。這樣就會阻礙導體板上的載流子輸運，并增加其有效阻抗。因此，在庫侖阻塞效應下，C=εA/d這個關(guān)系也會被破壞。

綜上所述，在經(jīng)典物理中有效的C=εA/d和Q=CV這兩個關(guān)系，在量子物理中都會受到破壞。為了量化量子力學效應對電容的影響，我們可以引入一個概念，叫做量子電容。

量子電容是指當導體板上的電子運動受到量子力學限制時，導體板上的電荷和電壓之間的關(guān)系不再是線性的，而是呈現(xiàn)出一定的非線性和飽和特性。量子電容可以用以下公式定義：C_Q=dμ/dQ。

其中，C_Q是量子電容，Q是導體板上的電荷，μ是導體板上的化學勢（也可以用費米能級代替）。這個公式表明，量子電容是導體板上的電荷對化學勢的變化率。當導體板上的電荷增加時，化學勢也會增加，從而抑制進一步的電荷注入。因此，量子電容會隨著導體板上的電荷增加而減小。

量子電容的大小取決于導體板上的態(tài)密度和能帶結(jié)構(gòu)。態(tài)密度是指在單位能量范圍內(nèi)，導體板上能夠被占據(jù)的能級數(shù)目。態(tài)密度越大，意味著導體板上能夠容納更多的電子，因此量子電容越大。能帶結(jié)構(gòu)是指導體板上不同能級之間的分布和間隔。能帶結(jié)構(gòu)越寬，意味著導體板上有更多的可用能級，因此量子電容越大。

審核編輯：劉清