過往這些時日，因為撰寫所謂《量子材料》科普，Ising 早就到了文思枯萎之態：文風缺乏變化、行文難有曲折、主題多為老調重彈。每每看到一個主題，原本多為似懂非懂，卻不得不硬著頭皮臨時抱佛腳，裝模作樣地、以某種看起來很在行的筆調，寫上幾段、描上幾筆。這是筆者飯碗之外的工作狀態，卻也是常感惶恐不安的原因。其實，學問之道，如果不能時時更新知識，便會是老樹凋枯、萎縮于桎梏之態。這也是公號《量子材料》更新越來越慢的原因。

即便如此，所謂老驥伏櫪、志在千里。乘花甲之年去超越那似懂非懂，也許依然是一個不錯的人生目標。

那就開始吧。凝聚態物理，特別是量子材料，所仰仗的最基本原理，當然是固體能帶結構 (以量子力學為基礎)。由此，物理人可以費米能級 EF為基準，將萬千物態的基本電磁輸運性質確定下來：金屬、絕緣體和半導體。隨后，還可考慮自旋自由度，以理解能級錯位而生的磁性輸運行為。實話說，物理人經常為能帶理論的偉大地位與普適性而感到自豪，并偶爾會情不自禁地笑面桃花一番。這種自豪的基石，乃源于能帶理論能夠將固體基本電磁性質的本源說清楚，而其它理論非所能為。因此，現代量子材料，即便是那么重視關聯和拓撲的作用，依然還是將能帶理論作為指點江山的紅寶書。

能帶理論描述大多數物態如此成功的原因之一，Ising 猜想，乃是這些物態和性質對應的能標足夠大，動不動就是 ~ 1 eV 的物理效應。即便是與磁性相關的電荷輸運，牽涉的能標也在 ~ 0.1 eV 量級。因此，那些靠近費米能級的導帶和價帶之幾何形貌，以及這些能帶犬牙交錯的幾何細節，似乎不那么重要。對固體輸運行為的討論，大概率只要對帶隙大小，最多對導帶底 / 價帶頂附近的能帶幾何有所考量，就足夠了。至于同樣是凝聚態物理關注的光電效應，所涉及的能標更高一些。正因為這些效應伴隨的能標足夠大，對能帶結構及其帶隙的測量估算就無需那么精確。這個“無需”帶來的好處是，可以發展一些相對簡單和間接的快速測量方法，去提取能帶 (特別是帶隙) 的信息。如此，物理人的確發展了很多實驗和理論方法，包括當下橫行的計算方法 (如緊束縛近似和 DFT 等)，以“估量”能帶結構和帶隙大小。這些測量方法的確也有效，例如光吸收譜、半導體輸運、光電激發譜測量等。它們所用的設備簡單、操作相對容易、方便適用，因此走進了學術界和產業界的千家萬戶，對今天的信息和能源科技文明做出了貢獻。

作為示例，不妨將典型半導體 Si 的能帶結構示于圖 1(A) 中，而將若干常見半導體 / 絕緣體的帶隙數值展示于圖 1(B)。Si 之費米能級上下的幾條能帶變化相對平緩、簡潔，能帶帶隙 > 1.0 eV，而其它大部分材料的帶隙也都較大。并且，這些帶隙的理論計算與實驗測量結果，都很好地落在一條對角線上，顯示了能帶理論對大部分材料的把控已經到位，相關物理的合理性也一目了然。

圖 1. 固體能帶的一些基礎知識匯集。(A) 半導體 Si 的能帶。能帶幾何簡潔直觀，皆因為能標很大的緣故。(B) 參見的半導體材料之帶隙，可以看到帶隙數值都很大，~ 1.0 eV 或更大。(C) 拓撲絕緣體 Bi2Te~3 ~的能帶結構，可以看到帶隙很小，費米面附近的能帶幾何形狀變化復雜。(D) 拓撲絕緣體和拓撲半金屬的能帶結構示意，展示拓撲絕緣體表面態處的半金屬特征和拓撲半金屬體內的 Weyl 點和表面的費米弧。(E) 拓撲量子材料的能帶中若干 nodal 點、線、環的形態。

然而，隨著量子材料被廣泛關注，特別是隨著物理人對極端條件和終極物理的追逐，如上所述從實驗和理論層面構建能帶的方法，遭遇到了挑戰。個中道理也很簡單：量子材料幾乎所有的興趣點，都落在那些帶隙很小、導帶底和價帶頂接近于 kiss 在一起的體系上了！此時，費米面附近的能帶細節，包括形貌變化是否一張一弛、是否凸凹有致及婀娜多姿，都變得重要起來。作為示例，將最近備受關注的拓撲絕緣體 Bi2Te~3 ~的能帶結構顯示于圖 1(C) 中，以與圖 1(A) 比對。對照之下，它們的個中不同顯而易見：(1) 能量尺度有很大不同，能標差別達到一個量級；(2) 體帶隙差別巨大；(3) 拓撲量子材料的能帶起伏變化劇烈，遠非常規半導體能帶那般平緩光滑。除此之外，量子材料，不限于非常規超導和拓撲量子材料，在費米面附件的能帶還可能展現出節點 nodal point、節線 nodal line、von-Hove 奇點等特征。這些特征，可以被視為很復雜，也可以被視為豐富多彩，如圖 1(D) 和圖 1(E) 所示。

有鑒于此，可收獲一句妄語：對量子材料，小能標的能帶特征，特別是費米能級附近的細節，變得很重要。此時，單靠那些“估量”得來的能帶信息以支撐量子材料研究，似乎就不夠了。例如，通過測量光譜吸收，有可能對半導體帶隙作大概估計。但熟悉此類方法的人都知道，這種估計的誤差可能比量子材料關注的能標大。此等估計提取的能帶信息，不足以展示能帶細節，也就不足以解惑實驗觀測到的效應。

看起來，必須得有辦法更高精度地獲取能帶信息。所謂“絲綸每出能天語，殿陛長趨近帝顏”，不入虎穴、焉得虎子。要觀細節，就得盡可能靠近費米面附近，方可知道素顏幾何。

問題是，物理人手上并無多少既方便又好用的探測手段，以將費米面附近的能帶細節一一揭露。當然，專門化的、高大上的辦法還是有的，例如那著名的角分辨光電子能譜 ARPES 即屬于此。這一技術之所以“如雷貫耳”和“高大上”，也是因為它遠不是普通的、可入尋常百姓家的測量技術。首先，ARPES 系統比較復雜，要讓其成為如一日三餐用度的鍋碗瓢盆，估計不大可能。類似的光電子能譜技術，也大多面臨這種問題。其次，量子材料的諸多物理效應，需要低溫和極端外場環境配置。獲取這些環境本身，不是難事，難的是將它們與 ARPES 集成起來。再次，但卻很重要的是，ARPES 測量只能解構能帶，ARPES 本身并非是一個功能器件。量子材料研究，需要將觀測到的效應落地于應用和器件上。這大概是為何依然有諸多物理人，特別是量子材料人，在兢兢業業，試圖發展一些簡單方便、可與應用聯系、又精確細致的能帶探測技術之動機。

圖 2. 諸如 SdH 量子振蕩的基本效應和最簡單物理展示。(A) GaAs / GaAlAs 半導體異質結二維電子氣的 SdH 振蕩和霍爾效應測量結果。(B) SdH振蕩的簡單機制圖。電子由低到高填充于一系列朗道能級 (n) 中，費米能 EF用紅線標識。在樣品左 / 右表面處，能級發生形變，各朗道能級得以與 EF交叉，貢獻表面電導 (圖中畫出右側表面處的導電通道。在樣品內部，如果朗道能級沒有與費米能級重疊，電子運動回路依然是局域的)。如果對樣品施加面磁場 B / H，則會引入塞曼能，將整個朗道能級抬升。當第 n 個能級剛好跨過費米能級時，填充的電子就成為載流子，意味著整個樣品的載流子都貢獻電導。由此，樣品的縱向電阻與磁場的依賴關系呈現振蕩型，如圖 (A) 所示。

那么，物理人應該去發展哪些簡單方便的測量技術，以提取能帶結構的精細信息呢？相信一定有許多人與筆者持類似想法：最好、最簡單的方法，應該與載流子輸運相聯系！這樣的信念，至少有若干直接理由：(1) 能帶物理最直接的后果，就是載流子輸運。這種輸運對費米面附近的能帶細節最為敏感，因此輸運行為一定攜帶了諸多能帶細節特征。(2) 量子材料付諸未來應用，讀寫操控功能會大概率落腳于載流子輸運上，更不要提及當下的信息存儲傳輸科技就是以載流子輸運為主體的。事實上，常見的、用來表征量子材料物理效應的，的確以輸運行為，包括直流輸運、霍爾輸運、光電輸運等，為主導。研究這些輸運的溫度依賴、電場依賴、磁場依賴，研究霍爾輸運、光電誘發的輸運響應等，能讓物理人找到足夠多的信息特征，去反推能帶結構。

毫無疑問，從物理機制去審視，馬上進入眼簾的輸運表征就是量子振蕩，如 SdH 振蕩 (Shubnikov – de Haas oscillation, SdH)。類似的量子振蕩效應還有若干，此處只以 SdH 為例。所謂 SdH 振蕩，已成為載流子輸運的標準測量方法。其中最著名的 SdH 效應出自半導體異質界面處的二維電子氣輸運，如圖 2(A) 所示，相信讀者對此十分熟悉。SdH 振蕩的物理圖像顯示于圖 2(B)，具體說明參見圖題。SdH 振蕩對應于磁場引入朗道能級提升、跨越費米能級的進程。考慮到這些都是教科書內容，不再啰嗦個中細節。

自SdH 振蕩被發現至今的近百年時間，物理人付出巨大努力拓展其外延和深化其內涵，以嘗試從振蕩數據中挖掘出盡可能多的能帶結構信息，就如材料人想方設法從最簡單的 XRD 測量中挖掘各種晶體結構、微結構細節一般。總之，SdH 振蕩，給了物理人以簡單測量手段去揭示能帶結構的機會。或者說，載流子輸運所攜帶的能帶信息指紋，可借助 SdH 振蕩測量來提取。正因為如此，SdH 振蕩測量已成為探測量子材料能帶結構的基本技術：簡單、易行、物理圖像清晰、分析直觀可靠，并與霍爾效應測量相互印證和補充支撐。圖 3 所示，乃包括 SdH 振蕩測量在內的一些拓展測量原理，包括對微觀機制更深入的描述和測量方法的一些示意圖。另外，就如圖 2(A) 所示那般，將縱向電阻的 SdH 振蕩與橫向的量子霍爾平臺電阻數據畫在一起，已成為輸運測量表征的基本配置。

然而，伴隨量子材料領域的拓展，伴隨新效應和新材料的發現，物理人對 SdH 振蕩也有了新期待。早年，SdH 振蕩被廣泛用于非常規超導的能帶構建。最近十年，拓撲量子材料興起，觸發物理人去考量 SdH 振蕩如何揭示拓撲量子材料的能帶結構。Ising 于此完全是外行，只是匆忙讀了幾頁書本，便寫下幾條讀書筆記：

圖 3. 量子材料載流子輸運的量子振蕩測量方法。(A) 不同磁場 B 作用下能帶費米面的演化，其中一系列朗道能級構成了所謂的 Landau tubes。(B) 波矢空間中 SdH 測量的外加磁場 H 位于 (kx, kz) 平面內，并與 k~z ~方向呈 θ 角 (a)。測量得到的 SdH 振蕩數據展示于 (b)，對應的 FFT 譜顯示于 (c)。(C) 測量的 SdH 數據于 (頻率 frequency, θ) 平面的 FFT 譜。(D) 與 (B) 對應的實空間測量幾何。

(1) 最簡單的物理是，縱向電阻的量子振蕩效應，即電阻變化 Δρ 與外加磁場 (H / B) 的依賴關系，可用一個簡單余弦函數表達：Δρ ~?D cos[2π (F / μ0H + δ)]，雖然這種表達也含有物理人一如既往的做派，即將復雜性都隱入到表達式的各個參數里。這里的量子振蕩振幅，實際上是不斷衰減的，用阻尼因子 D (damping factor) 來表達衰減程度。其背后的經典物理很簡單：外加磁場施加塞曼能于體系中，對應于電子于軌道中回轉。磁場越大，回轉速率越快，對應的運動阻尼自然也就越大。余弦函數第一項 (F / μ0H) 中，F 是振蕩頻率，H 是磁場。這一項也就是約化的回轉動力學振蕩頻率。其實，最大的復雜性，隱含在所謂的量子振蕩相位漂移 δ (phase shift) 中：已經知道，這種漂移攜帶了不同能帶跨越費米能級時對應的費米截面信息。它最能反映能帶結構細節和貝里相位 (Berry phase) 大小。很顯然，δ 的高精度提取極為重要。

(2) 量子振蕩最重要、也最易于準確獲取的參數，當然是振蕩頻率 F。它與費米面的截面積 Ae有簡單的比例關系 F?=??Ae/ 2πe(即著名的 Onsager 關系)。提取 F，即可提取費米面截面積，能帶結構最主要的特征就勾畫出來了。如果能對樣品的晶體學取向和磁場取向進行操控，就如圖 3 所示那般，布里淵區費米面的具體形態原則上都可以提取出來。總而言之，從 (F, δ, D) 三個參數組合，物理人有機會將量子材料、特別是拓撲量子材料能帶結構中一些重要的、雖非全部的、其它技術未必可及的特征提取出來。這，大概算是此一研究手段的功德之所在。

(3) SdH 對重構拓撲量子材料能帶結構很有價值。眾所周知，拓撲量子材料與載流子輸運相關的一個重要特征，就是狄拉克型線性色散，在能帶上表現為一個或多個狄拉克錐。對貝里相位稍有了解的讀者，馬上就能想到，電子圍繞狄拉克錐回環一周，就會產生一個 π 大小的貝里相位差，對應量子振蕩的相位漂移 δ = ± 1/2。通過測量全參數空間的量子振蕩，就能得到振蕩峰值磁場和峰谷磁場 (1/μ0H) 與第 n 階朗道能級之間的聯系，即可繪制出所謂的“朗道扇圖 Landau fan diagram”^_^、提取出漂移 δ 的大小。前人已揭示，對三維體系，貝里相位差為 π 的狄拉克錐，其能帶對應于 δ?=?± 1/8；沒有貝里相位差的平庸拋物線錐，其能帶對應的 δ?= ± 5/8。從簡單易測的量子振蕩數據，三下五除二，就能給出拓撲量子材料的主要能帶特征和幾何相位，令人稱奇不已。

好吧，既然量子振蕩這么牛，既然它有潛力可挖，那不妨看看如何將其應用到拓撲量子材料的一些重要效應探測上。已經昭示，這些重要效應的探測，無論用當下的哪種辦法，都存在一些困難。外爾半金屬 (Weyl semimetal) 與拓撲絕緣體有一個很不同的能帶特征，就是其體內存在一對手性外爾點、表面存在費米弧。這個表面費米弧 (Fermi arc) 的探測，似乎就是一個未解之難題。這里不是說諸如 ARPES 這樣的譜學技術看不到費米弧，而是得到的襯度特征不那么明顯、不那么具有排他性。對一個材料，探測其體能帶之細節，遠非容易，諸如光電子激發的信號，多是來自表面的貢獻。因此，鑒定一個體系是不是外爾半金屬，最好的辦法，似乎應該是確定表面處是否存在費米弧。

圖 4. Ashvin Vishwanath 教授他們的理論揭示了表面費米弧在量子振動中的貢獻。

遺憾的是，載流子輸運本身并不能直接給出表面費米弧的信息。要探測之，需要有某個物理效應與表面費米弧相聯系，并在量子振蕩測量中展示出來。如此，測得這個物理效應、倒推體系表面的費米弧，一切就能水到渠成。有趣的是，前期研究已揭示，表面費米弧與體內外爾點間存在一些新穎的耦合效應，其中一個是所謂的外爾 - 軌道效應 (Weyl - orbit effect, WOE)。這一 WOE，考慮表面態費米弧與體內外爾點之間的非局域 (nonlocal) 耦合，由當時在加州伯克利的量子凝聚態理論名家 Ashvin Vishwanath 團隊于 2014 年預言，并隨后在狄拉克半金屬 (非外爾半金屬) 中得到初步證實。WOE 的基本物理圖像示于圖 4。Ising 胡亂理解的圖像是：一個拓撲半金屬，在磁場作用下，體內載流子通過局域回環而貢獻量子振蕩。這一振蕩，有其內稟的量子振蕩特征參數 (Fb, δb, Db)，下標 b 表示 bulk。除了體內之外，拓撲半金屬的表面處多出了一條費米弧。注意，這一表面態是非局域的 (nonlocal)，且與體內外爾點一起，也能貢獻額外的量子振蕩。并且，這額外的振蕩也有其自身的一套內稟振蕩參數 (Fs1, δs1, Ds1)，下標 s1 表示 surface。

如圖 4 所示，如果存在一個有限厚度的拓撲半金屬體系 (厚度為 L)，則在動量空間中，體內的外爾點或狄拉克錐有可能與表面的費米弧聯通，形成一個非局域的、跨越體內和表面的電子運動回環。施加磁場，這一回環同樣有可能誘發朗道能級與費米能級交疊，從而激發出附加的、非局域的 SdH 振蕩信號 (當然，這一信號應該比較微弱)。

行文到此，本文要兜售的研究工作呼之欲出了。來自中國臺灣中研院物理所的李偉立研究員與他的團隊，同我國臺灣大學和同步輻射光源、荷蘭 Radboud University 強磁場實驗室和分子材料研究所、米國 Binghamton University 的同行合作，針對這一目標開展探索，獲得了不錯的進展。他們的主要思路與結果 highlight 如下：

(1) 如圖 4 所示，由 WOE 貢獻的電子輸運回環，包含來自表面部分的貢獻和體內部分的貢獻。很顯然，如果樣品厚度 L 越小，表面的貢獻就越大，量子振蕩中表面費米弧貢獻的部分就越重要 (振蕩特征可能就越弱)。這一思路，讓李偉立博士他們創新性地提出通過改變樣品厚度 L 來探測量子振蕩演化的實驗方案，以揭示其中與表面費米弧緊密相聯的新物理。

(2) 雖然不同體系的量子振蕩已被廣泛研究，但顯著的振蕩效應只存在于超高品質的半導體二維電子氣中。對有一定厚度的薄膜或塊體體系，縱向電阻所展示的 SdH 振蕩信號，其實還是很微弱的，除非能夠將溫度推向極低溫。之所以如此，可參考圖 2(B) 所展示的朗道能級與費米能級交叉的圖像：理想狀態下，體內的朗道能級只有與費米能級疊加在一起時，才會貢獻載流子。但實際上，這樣的理想狀態不可能存在。普通條件下，例如溫度 T = 2K 下，三維體系存在載流子熱激發、存在微結構缺陷、存在晶格畸變等，朗道能級在距離費米面足夠遠 (~ meV 甚至更多) 時，填充電子就可被激發出來貢獻電導。這些電導可能掩蓋了量子振蕩信號，所以實際測量的縱向電阻 - 磁場 B / H 關系取向中量子振蕩的特征絕非一目了然，有時甚至難以分辨。這就需要細致和高精度的數據提取處理，才能得到 SdH 振蕩的信息。因此，除了低溫和足夠均勻穩定的磁場條件外，樣品質量也是一個關鍵環節。李偉立博士他們在這方面付出了巨大努力，改善樣品質量，看起來達到了不錯的效果。

(3) 他們選擇 SrRuO3 ~ (SRO) 作為研究對象，注意到 SRO 已被證實是鐵磁外爾半金屬。在超高品質、(001) 取向的 SrTiO3 ~ (STO) 單晶 (miscut) 基片上，他們借助 MBE 生長出一系列厚度精確可控的、幾無孿晶缺陷的 SRO 超薄膜。通過細致而系統的輸運測量，他們的確提取到了來自表面態貢獻的非局域量子振蕩信息，特征頻率 Fs達到 ~ 30 T，對應于很小的費米口袋形態。隨后，他們以高水準的數據比對和分析處理，展示出這一特征振蕩的確來自于 WOE，也即來自于表面費米弧的貢獻。圖 5 所示，是李偉立博士他們得到的部分結果。

圖 5. 李偉立研究員與他的團隊在 STO 基片上生長出超高品質鐵磁外爾半金屬 SrRuO3(SRO) 薄膜，并系統測量了 SdH 振蕩數據，重構了對應的能帶結構。結論是，樣品的體內外爾點和表面費米弧，均對 SdH 振蕩產生了顯著貢獻，坐實了 SdH 振蕩測量可以用來表征外爾半金屬態。

這是一項漂亮的工作，體現了作者們非凡的智慧和努力，證實了基于最簡單直接的載流子輸運測量，即可展現拓撲半金屬的費米弧特征。目前的測量，依然是在相對極端條件下進行的，與任何實際應用的期待還有不小距離。通過進一步探索新材料、新工藝和新的數據提取方案，物理人最終有可能將拓撲半金屬新穎的效應植入載流子輸運中，為未來基于輸運的拓撲量子應用提供一些愿景。

作為本文之結尾，筆者還有一絲感悟端出來。不久前，筆者曾寫過一篇學習筆記《度出表面態―拓撲半金屬尺寸標度》(點擊閱讀)，展示了來自米國和我國臺灣的一個合作團隊關注拓撲量子材料作為集成電路導線應用的研究 (這一成果也發表在《npj QM》上)。這里想表達的是：《npj QM》刊登來自我國臺灣的研究論文并不多，但其中有好幾篇都十分關注量子材料的實際應用端。前一篇，討論拓撲量子材料作為高品質集成電路導線應用的潛力。李偉立博士的這一篇，則討論拓撲量子材料新效應在電輸運方面的表現。它們都是面向實際應用前端的工作，具有一定啟示。我國臺灣地區，的確是微電子產業高度發達之地。包括臺積電、臺聯電這些知名企業，都是行業內的翹楚，具有不可替代性。寶島上的這些基礎研究團隊，雖然也關注拓撲量子研究上游的課題，但他們在選題上似乎更有選擇性和傾向性：他們更加關注具有應用潛力的那些效應、更加關注量子材料新器件的研究。這種選題觀念和傾向，是否值得大陸學者學習和效仿，可資討論！



審核編輯：劉清