cos的傅里葉變換公式 ;

介紹

在數(shù)學(xué)中，傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換是分析周期函數(shù)和信號(hào)的兩種最重要的工具。傅立葉級(jí)數(shù)用于周期函數(shù)，而傅立葉變換用于非周期函數(shù)。在本文中，我們將重點(diǎn)討論余弦函數(shù)（cos）的傅立葉變換，通常稱為余弦傅立葉變換。

函數(shù)的傅立葉變換是將函數(shù)從時(shí)域映射到頻域的數(shù)學(xué)運(yùn)算。換句話說(shuō)，它將一個(gè)函數(shù)分解為其分量頻率。傅立葉變換有許多應(yīng)用，包括信號(hào)處理、圖像分析、量子力學(xué)等。

背景

傅立葉變換定義如下：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

其中$f（t）$是時(shí)域中的函數(shù)，$f（\omega）$是頻域中的函數(shù)并且$\omega$是角頻率。傅立葉變換是一個(gè)復(fù)函數(shù)，這意味著它既有實(shí)部也有虛部。

余弦函數(shù)的傅立葉變換由下式給出：

$$F(\omega)=\frac{1}{2}\{\pi(\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0))\}$$

其中$\delta$是Dirac delta函數(shù)，$\omega_0$是余弦函數(shù)的角頻率。余弦傅立葉變換是一個(gè)實(shí)函數(shù)，這意味著它沒(méi)有虛部。

起源

為了推導(dǎo)余弦函數(shù)的傅立葉變換，我們從傅立葉變換的定義開(kāi)始：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

設(shè)$f（t）$為余弦函數(shù)：

$$f(t)=\cos(\omega_0 t)$$

然后傅立葉變換變?yōu)椋?br />
\begin{align*}
F(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\omega_0 t)e^{-i\omega t}dt \\
&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\{\cos[(\omega_0-\omega)t]+\cos[(\omega_0+\omega)t]\}dt \\
&=\frac{1}{2}\{\int_{-\infty}^{\infty}\cos[(\omega_0-\omega)t]dt+\int_{-\infty}^{\infty}\cos[(\omega_0+\omega)t]dt\}
\end{align*}

我們可以使用以下公式來(lái)計(jì)算積分：

$$\int_｛-\infty｝^｛\infty｝\cos（at）dt=\pi\delta（a）$$

其中$\delta$是Dirac delta函數(shù)。應(yīng)用這個(gè)公式，我們得到：

$$F（\omega）=\frac｛1｝｛2｝\｛\pi（\delta（\omega-\omega_0）+\delta$$

屬性

余弦函數(shù)的傅立葉變換具有在信號(hào)處理和其他應(yīng)用中有用的幾個(gè)性質(zhì)。

1.移位特性：

如果我們將余弦函數(shù)在時(shí)間上偏移$\tau$，則傅立葉變換在頻率上偏移$\dfrac｛2\pi｝｛\tau$：

$$\mathcal｛F｝\｛F（t-\tau）\｝=e^｛-i\omega\tau｝F（\omega）$$

其中$\mathcal｛F｝$是傅立葉變換算子。

2.縮放特性：

如果我們用因數(shù)$\alpha$在時(shí)間上縮放余弦函數(shù)，則傅立葉變換用$\dfrac｛1｝｛\alpha｝$在頻率上縮放：

$$\mathcal｛F｝\｛F（\alpha t）\｝=\frac｛1｝｛|\alpha |｝F\left（\frac$$

3.帕西瓦爾定理：

函數(shù)的傅立葉變換的平方幅值的積分等于函數(shù)本身的平方幅值積分：

$$\int_｛-\infty｝^｛\infty｝|f（t）|^2dt=\frac｛1｝｛2\pi｝\int_{-\infity｝^｝\infity｝|f（\omega）|^2d \omega$$

結(jié)論

總之，余弦函數(shù)的傅立葉變換是信號(hào)處理和其他應(yīng)用中的一個(gè)重要工具。它允許我們將函數(shù)分解為其頻率分量，這對(duì)于分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)很有用。傅立葉變換有幾個(gè)性質(zhì)，包括移位性質(zhì)、縮放性質(zhì)和Parseval定理，這使它成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。