針對自由曲面能提升成像光學系統的性能和校正像差的特點，分析了自由曲面在離軸光學系統中的應用優勢。光學系統選用視場角為30°×11°、焦距為150 mm、F數為3的Cook-TMA。本設計中，離軸三反光學系統的主反射鏡采用自由曲面設計。分析了使用Zernike多項式曲面在大視場離軸反射式光學系統中對離軸光學系統性能的提升效果，并與使用常規非球面的情況進行了比較，分析了自由曲面的優缺點。結果表明，自由曲面在提高離軸光學系統的成像質量方面具有更大的優勢，系統的平均傳遞函數比常規非球面提升了15.9%以上，系統接近衍射極限。Zernike多項式曲面在離軸三反系統中的應用效果良好，系統的成像性能得到了較大的提升。

0 引言

與折射式和同軸反射式光學系統相比，離軸反射式光學系統具有無色差、無遮攔等優點。隨著人們對遙感影像的要求越來越高，常規的球面或非球面已難以消除因離軸光學系統視場、分辨率等性能提升帶來的像差影響。自由曲面擁有復雜多變的面形變量，可為光學系統提供足夠的設計自由度，尤其在離軸光學系統中可以實現很多以前無法達到的指標，常被用來增大光學視場和矯正系統像差。光學自由曲面是指區別于球面、二次曲面和偶次非球面等傳統面形，具有非旋轉對稱特性的曲面。不同于照明領域，光學成像領域需要鏡片面形的形狀精度在幾個微米內。以前由于受加工工藝和檢測方案的制約和沒有非常完善的設計方法，自由曲面在離軸成像光學系統中并未得到廣泛應用。如何才能高效、完善地將自由曲面的面形用電腦可計算、機械可加工的形式表征出來，一直是困擾研究人員的一大難題。

隨著科技的進步，自由曲面在離軸光學系統中變得越來越重要。2008年，浙江大學的孫旭濤[4在研制的超薄投影光學系統中，采用自由曲面設計了其中的離軸反射光學系統，實現了視場角的擴展， 達到了130°。清華大學 精密測試技術及儀器國家重點實驗室的朱鈞[5]等人利用自由曲面研制了一個F數為1.38、視場角為4°x5°的離軸三反光學系統，用于紅外系統中時測試效果良好。2006年在夏威夷島，上建成的James Clerk Maxwell望遠鏡上的SCUBA-26]廣角成像儀，通過用9塊自由曲面反射鏡增大視場角，擴大了視野。2016 年1月成功建造完成、坐落于夏威夷的4.2 m直徑的Daniel K. Inouye太陽能望遠鏡(DKIST)7]的離軸主反射鏡是采用Zernike多項式設計的，這種離軸光學設計將雜散光減小到了最小化，實現了約20 km的空間分辨率。

本文將分析考慮離軸成像光學系統的設計指標需求和光學自由曲面的相關特性，研究光學自由曲面在離軸光學系統中的應用效果，將離軸三反系統的主反射鏡設計為自由曲面，并分析對比自由曲面和常規非球面的優劣。

1 自由曲面描述方法

1.1NURBS曲面

NURBS曲面可用離散的網絡裝多邊形控制節點向量表示，形式為

（1）

式中，Bi,j為曲面的控制頂點，對應控制頂點Bi,j的權限值，該值實際上表示各控制頂點對曲面形狀的影響程度。在實際應用中，結合所需曲面面形，并通過控制頂點、權重值及曲面之間的關系，以此來實現NURBS曲面的面形優化。需要注意的是，如果想要獲得復雜的面形，控制點的數量也需相應增多，這勢必會導致復雜程度的增加，而且在設計之前需要確定控制點。因此，該方法在光學自由曲面中的應用不如多項式描述法廣泛。

1.2 Zernike 多項式

（2） 式中，N為多項式的項數，Ai為第i項的系數，c為頂點的曲率，r為徑向口徑。

圖2.離軸三反光學系統的仿真圖

本文設計的系統是無中間像的Cook-TMA，其F數為3，視場角為30°x11°，焦距為150mm。得到的光學系統光路和參數如圖2和表4所示。

表4.離軸三反光學系統的參數

3 成像質量評價及對比分析

本文的重點在于，誰家偶次非球面組成的離軸三反光學系統后，利用自由曲面替換離軸三反光學系統的主鏡面形，并評價自由曲面在離軸光學系統中的矯正像差的應用效果。

審核編輯：彭菁