使用(s域)傳遞函數分析串聯RLC電路系統。

線性非時變系統定義給我們帶來了許多數學工具，也包含卷積積分，傅里葉變換和拉普拉斯變換。這些工具曾經是我學生時代的夢魘，以至于它們對我來說不是物理電路，也不是系統，更不是數學。現在鼓起勇氣，再次入夢。

注，如無特殊聲明，本文中提到系統均為線性非時變系統。

分析下圖RLC電路。

引入(運算)阻抗得到電路傳遞函數如下，這是一個二階系統。

以后我們也會討論到，即使不執行拉普拉斯反變換，不需要求得最后的時域解也能夠分析RLC電路系統的某些特征。

傳遞函數

傳遞函數是一個數學模型，表示依照每個可能輸入值輸出的行為，即系統的傳輸增益。輸入值定義為激勵，在傳遞函數定義中激勵必須為獨立激勵，而非受控激勵。輸出值定義為響應。

s域(復頻域)系統傳遞函數為

X(s)為激勵拉普拉斯轉換函數，Y(s)為響應拉普拉斯轉換函數。

這里還有一個關鍵假設，即系統的所有初始條件均為零。或者按照電路課本中說法為零狀態響應。當然若初始條件不為零時，拉普拉斯變換也會將初始條件適當地轉換為激勵函數以得到電路的全響應(當然包含零輸入響應)。不過這些初始條件轉換的激勵對應響應的傳輸增益(或者說傳遞函數)，不同于前面定義的傳遞函數。

定義初始條件拉普拉斯轉換函數為X i (s)，相應傳遞函數為H i (s)。當然也可以推廣到為多輸入系統。由疊加定理可得

域

域是分析信號與系統的不同視角。簡單說基于自變量t或函數f(t)的分析視角為時域，基于自變量jω或函數F(jω)的分析視角為頻域，基于自變量s=σ+jω或函數F(s)的分析視角為復頻域。

時域

時域對應于真實世界。我們已經習慣了時域，習慣了時間，時間并被定義為這個世界的一個維度。

麥克斯韋方程組也基于時域。于是(模擬)電路系統中，對于任意輸入信號，時域分析法提供了一種分析電路系統特性(輸入輸出之間特定關系)的方法。微分方程提供了研究這一問題的方法，它利用導數概念來求解函數在某一點附近的變化率。這是一個用于表示函數在輸入量變化了一定值時，輸出量變化率的數學工具。于是上述RLC串聯電路時域傳遞函數或響應的求解就是二階齊次微分方程的求解。微分方程求解是另一個夢魘。

而且讓我不解的是為什么頻域或復頻域比我們已經習慣了的時域在理解信號/電源完整性(阻抗概念)和電路系統穩定性等問題中更加具有洞悉力。

頻域

傅里葉變換方程

接收某個時間函數并輸出頻率函數，告訴我們信號中含有那些頻率或正弦曲線。

歐拉等式方程

代入傅里葉變換方程得到

正弦波是頻域中唯一存在的波形，正弦波是頻域的語言。時域中任何波形都可由正弦波的組合完全且唯一地描述。

電路系統中傅里葉變換提供了非正弦周期電流電路的一種新的分析方法-諧波分析法，它是正弦電流電路分析方法(適用于正弦穩態分析的相量法)的推廣。或者說它比正弦電流電路分析方法多了一個維度，在頻譜概念中將會體會到這一點。傅里葉變換同樣適用于非周期性電流電路(如瞬態響應中脈沖信號/沖擊響應)的分析，只不過其頻譜將由離散頻譜變為連續頻譜。

s****域(復頻域)

拉普拉斯變換方程

拉普拉斯變換告訴我們函數中存在那些正弦曲線和指數曲線。

代入拉普拉斯變換方程得到

傅里葉變換是拉普拉斯變換的一種特例。一個函數的拉普拉斯變換就是該函數乘于一個指數項的傅里葉變換，對σ在實數域上的所有值，執行此操作，即可獲得整個拉普拉斯變換。拉普拉斯變換比傅里葉變換又多了一個維度。

拉普拉斯變換常用于研究反饋系統的全響應，包括瞬態響應，如脈沖沖擊或階躍輸入產生的響應。即系統對初始條件或突然施加信號的時間響應，而傅里葉變換主要關注系統的穩態響應。

拉普拉斯變換的性質

(時域)導數性質

(時域)積分性質

拉普拉斯變換的另一重要特點，即拉普拉斯變換的性質可以讓我們把微積分運算轉化為代數運算。

總結

許多情況下傅里葉變換和拉普拉斯變換或者頻域和復頻域比時域更具有洞悉力，能更快的找到解決方法。

而且讓我不解的是為什么頻域或復頻域比我們已經習慣了的時域在理解信號/電源完整性(阻抗概念)和電路系統穩定性等問題中更加具有洞悉力。

也許這來自于(正弦與指數等)幾何函數的理解與空間維度的增加或降低，給我們帶來直觀的理解。