利用Moku:Pro 的多儀器并行模式，用戶可以使用激光鎖頻/穩(wěn)頻器將激光鎖定到光學(xué)腔，無需額外的測(cè)試設(shè)備或布線又能同時(shí)使用頻率響應(yīng)分析儀（FRA）測(cè)量 Bode 圖。通過向誤差信號(hào)施加干擾并使用 FRA 測(cè)量傳遞函數(shù)，可以檢查閉環(huán)增益、相位裕度和環(huán)路干擾抑制性能。用戶可以在頻率響應(yīng)分析儀和激光鎖頻/穩(wěn)頻器之間快速切換，方便靈活地調(diào)整 PID 參數(shù)同時(shí)并優(yōu)化環(huán)路性能，從而確保穩(wěn)定性并最大限度地抑制干擾。

在分子和原子物理等高精度測(cè)量應(yīng)用中，具有動(dòng)態(tài)頻率噪聲抑制的激光系統(tǒng)因其良好的長(zhǎng)期穩(wěn)定性而得到廣泛應(yīng)用。要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的激光鎖定，需要高度優(yōu)化的反饋控制，這尤其涉及到包括測(cè)量：1)控制環(huán)路的傳遞函數(shù)，確保低頻時(shí)有足夠的增益，同時(shí)保持較低的單位增益頻率，以維持環(huán)路的穩(wěn)定性；2)干擾抑制，即通過測(cè)量干擾耦合到激光器中并且穿越整個(gè)系統(tǒng)后的傳遞函數(shù)評(píng)估系統(tǒng)抗干擾性能。

傳遞函數(shù)通常可以繪制成Bode圖，表征在設(shè)定頻率范圍內(nèi)的環(huán)路增益和相移。測(cè)量閉環(huán)系統(tǒng)干擾抑制的主要挑戰(zhàn)是在不中斷反饋控制的情況下注入噪聲。通常，系統(tǒng)設(shè)置非常復(fù)雜，不僅需要噪聲源作為注入干擾，又需要網(wǎng)絡(luò)分析儀來測(cè)量響應(yīng)。

在這篇應(yīng)用說明中，我們將演示如何使用 Moku:Pro 的多儀器并行模式來表征激光穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)性能。通過 Moku:Pro，我們可以將激光鎖定在腔體上，注入干擾，并同時(shí)測(cè)量開環(huán)、閉環(huán)和擾動(dòng)傳遞函數(shù)。此外，還可以實(shí)時(shí)調(diào)整 PID 參數(shù)來優(yōu)化環(huán)路配置，以確保穩(wěn)定性、增強(qiáng)干擾抑制和抑制頻率噪聲。Moku:Pro 為激光穩(wěn)定和特性分析提供了緊湊高效的解決方案。

反饋控制基礎(chǔ)知識(shí)

為了更好地理解激光鎖定系統(tǒng)，我們首先需要簡(jiǎn)要回顧一下通用反饋控制原理。通過分析和推導(dǎo)本節(jié)中的干擾抑制方程，我們可以確定在何處注入干擾以及在 Pound-Drever-Hall (PDH)鎖定過程中探測(cè)環(huán)路響應(yīng)的位置。

一般來說，我們可以將控制系統(tǒng)分為兩種類型，即開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。主要區(qū)別在于前者的控制方式與系統(tǒng)的輸出無關(guān)，而后者的控制方式依賴于輸出[1]。通用反饋控制環(huán)路的基本概念是利用當(dāng)前工作點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的差值作為誤差信號(hào)，將系統(tǒng)的輸出維持在一個(gè)恒定的設(shè)定點(diǎn)上運(yùn)行[1]。用于激光穩(wěn)定的 PDH 鎖定技術(shù)利用腔反射產(chǎn)生誤差信號(hào)，并反饋給激光器以保持光源在特定頻率下發(fā)射激光，同時(shí)將激光頻率噪聲降至最低。這被視為閉環(huán)控制[2]。基本的反饋控制系統(tǒng)通常由三個(gè)部分組成，如圖 1 所示，即被控對(duì)象（需要控制的對(duì)象）、傳感器（測(cè)量被控對(duì)象的輸出）和控制器（產(chǎn)生反饋輸入）。

圖 1：典型反饋控制系統(tǒng)框圖。它由三個(gè)主要部分組成：被控對(duì)象(P)、測(cè)量特定信號(hào)的傳感器(S)以及為被控對(duì)象生成輸入的執(zhí)行器或控制器(C)。

我們可以利用拉普拉斯變換推導(dǎo)出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，對(duì)于給定的時(shí)域信號(hào) f(t)，其定義為 F(s)。

對(duì)于圖 1 所示的系統(tǒng)，三個(gè)組件都有自己的傳遞函數(shù)，分別用P(s)、S(s)和 C(s)表示為被控對(duì)象、傳感器和控制器。為了簡(jiǎn)化下面的推導(dǎo)，引入了一個(gè)額外的內(nèi)部信號(hào)并標(biāo)記為U(s)。輸入信號(hào)為 X(s)，我們可以計(jì)算出經(jīng)過這樣的系統(tǒng)后的輸出信號(hào)：

根據(jù)公式(2)和(3)，反饋系統(tǒng)（H(s)）的傳遞函數(shù)可以通過輸出拉普拉斯變換與輸入的比值求得：

其中 C(s)P(s)S(s) 是系統(tǒng)的開環(huán)增益（有時(shí)也稱為返回比），方程 (4) 稱為閉環(huán)增益。到目前為止的分析主要集中在信號(hào)的變換上，而在實(shí)際情況中，噪聲的抑制更令人感興趣。噪聲可以從環(huán)路內(nèi)的任何地方引入，但這里我們考慮從被控對(duì)象引入的噪聲（其他噪聲源也可以通過相同的步驟分析）。當(dāng)引入噪聲(N(s))進(jìn)行分析, 系統(tǒng)輸出被修正為:

對(duì)于具有較大控制增益(C(s) ->∞)的系統(tǒng), 系統(tǒng)的輸出接近輸入, 也稱為單位增益。由外部干擾引入被控對(duì)象的噪音也被大幅抑制至零點(diǎn)。這類干擾的傳遞函數(shù)也被稱為干擾抑制(或靈敏度函數(shù)), 這表征了一個(gè)控制系統(tǒng)應(yīng)對(duì)被控對(duì)象輸出出現(xiàn)干擾的靈敏度。和開環(huán)傳遞函數(shù)相似, 干擾抑制也與頻率相關(guān)。當(dāng)干擾抑制的幅度超過單位增益, 這類噪聲抑制變得無效, 相應(yīng)的頻率因此被稱為單位增益頻率。更重要的是, 當(dāng)開環(huán)增益的相位達(dá)到180度(這是 1 + C(s)P(s)S(s) = 0時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)), 噪聲將被放大, 導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定, 尤其是當(dāng) C(s)P(s)S(s)接近-1 時(shí)。這個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)是反饋系統(tǒng)的另一個(gè)關(guān)鍵參數(shù), 稱為相位裕度。閉環(huán)控制的帶寬受單位增益頻率和相位裕度的限制, 如果相位裕度出現(xiàn)在低于單位增益頻率的頻率上, 系統(tǒng)將無法穩(wěn)定。

激光反饋控制

下面的激光穩(wěn)頻系統(tǒng)相當(dāng)于上一章節(jié)討論的反饋控制回路。在這篇應(yīng)用筆記中, 激光通過使用PDH鎖頻方法的反饋控制回路被鎖定到一個(gè)光學(xué)腔上。圖 2 說明了激光穩(wěn)頻過程的反饋回路, 由外部伺服控制與內(nèi)部 PZT 觸動(dòng)器相結(jié)合形成。

圖 2：概念框圖顯示將激光波長(zhǎng)鎖定在腔諧振上的反饋控制回路。PID 控制器控制激光器內(nèi)部的 PZT 傳感器。

這里穩(wěn)頻系統(tǒng)可以理解為激光器是被控對(duì)象，其頻率是系統(tǒng)輸出(Y(s))。系統(tǒng)試圖穩(wěn)定的設(shè)定點(diǎn)是光學(xué)參考腔的諧振頻率。輸出在光學(xué)鑒頻器上與設(shè)定點(diǎn)做比較。一個(gè)傳感器測(cè)量這些信號(hào)的差值(S(s)), 其中包括光信號(hào)和光電信號(hào), 生成的誤差信號(hào)被控制器進(jìn)一步處理。一般控制器也被稱為伺服控制(C(s))。它針對(duì)被控對(duì)象的特性，提供控制信號(hào)以減少位置誤差并優(yōu)化驅(qū)動(dòng)過程中的過沖。這里使用的激光器(Plant 被控對(duì)象)一般都是可調(diào)諧激光器, 它的頻率能夠根據(jù)控制信號(hào)通過內(nèi)置的 PZT 觸動(dòng)器來調(diào)制。所以, 控制信號(hào)被輸入至激光器后生成最終的輸出波長(zhǎng)。最后這個(gè)輸出信號(hào)被反饋回去并刷新反饋信號(hào)。

基于觸動(dòng)器的響應(yīng), 需要仔細(xì)設(shè)定控制器的響應(yīng)和 PID 設(shè)置來保證穩(wěn)定的反饋和足夠的噪聲抑制。為了更好地理解, 可以通過測(cè)量干擾抑制來表征整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)控制響應(yīng)。我們可以通過在 Vin 處注入掃頻信號(hào)和在 Vout 處得到輸出信號(hào)。推導(dǎo)出的相對(duì)應(yīng)頻率響應(yīng)為:

其中 C(s)、P(s)和 S(s)表示控制器(伺服控制)、被控對(duì)象(PZT 觸動(dòng)器)和傳感器的作用。公式6中的表達(dá)式提供干擾抑制, 公式7表示互補(bǔ)靈敏度函數(shù), 公式8是控制系統(tǒng)的開環(huán)增益。

實(shí)驗(yàn)設(shè)置

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)里, Moku:Pro不僅用作鎖相放大器, 也表征了系統(tǒng)的閉環(huán)控制響應(yīng)。圖3顯示了完整的系統(tǒng)搭建, 圖4演示了多儀器并行模式下的儀器配置。為了達(dá)到我們的目的, 我們?cè)?個(gè)獨(dú)立的插槽上部署了4個(gè)儀器功能:分別是激光鎖頻/穩(wěn)頻、鎖相放大器、PID控制器和頻率響應(yīng)分析儀。

圖 3：鑒定激光穩(wěn)定系統(tǒng)回路干擾抑制的實(shí)驗(yàn)裝置。使用頻率響應(yīng)分析儀直接測(cè)量和生成干擾抑制，同時(shí)使用Moku:Pro 的激光鎖頻/穩(wěn)頻器將激光鎖定到外部參考腔。通過將PID 控制器比例增益設(shè)置為0 dB 實(shí)現(xiàn)的注入Injection或加法器Adder。

圖 4：多儀器并行模式下的 Moku:Pro 配置。請(qǐng)注意，由于四個(gè)插槽完全相互獨(dú)立，因此添加到插槽中的儀器功能順序并不重要。

干擾在誤差信號(hào)解調(diào)之后但在傳輸?shù)娇刂破髦氨蛔⑷搿Ｋ晕覀儗⒓す怄i頻過程分成兩個(gè)單獨(dú)的過程:鎖相放大器(LIA)通過 Out1 生成調(diào)制信號(hào)給電光調(diào)制器(EOM), 同時(shí)來解調(diào)誤差信號(hào);激光鎖頻/穩(wěn)頻(LLB)跳過解調(diào)過程并只提供伺服控制或者控制信號(hào)傳輸回激光器。Out2, 來自于 LLB 里的快速PID控制器, 隨后被直接連接到激光器的壓電陶瓷來精確地調(diào)控激光器的頻率, Out3 被接到激光器的溫度控制。

同時(shí)我們用頻響分析儀(FRA)來測(cè)量閉環(huán)系統(tǒng)的干擾抑制, 這里它生成一個(gè)正弦掃頻偏移信號(hào)并使用PID控制器作為加法器來注入 PID 控制環(huán)路信號(hào)(In 1)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)求和效果, 我們通過設(shè)置一個(gè)輸入矩陣如

作為加法器來配置 PID 控制器并且比例增益設(shè)置為0dB。加法器的輸出被分成兩路, 一路提供誤差信號(hào)給激光鎖頻/穩(wěn)頻, 另一路被接到 FRA的通道 B來測(cè)量閉環(huán)控制的頻率響應(yīng)。FRA的通道 A則在注入正弦波之前記錄 PID 控制環(huán)路的頻率噪聲。

激光鎖頻/穩(wěn)頻器提供伺服控制。通過三角波掃描來監(jiān)測(cè)PDH誤差信號(hào), 然后我們調(diào)節(jié)慢速 PID 偏置來讓光學(xué)參考腔的諧振頻率接近掃描范圍的中點(diǎn)。然后在系統(tǒng)穩(wěn)頻前打開積分器飽和來避免過度補(bǔ)償。我們?cè)龠x擇載波的過零點(diǎn)作為鎖頻點(diǎn)并使用“Lock Assist”功能來進(jìn)行鎖頻, 從而啟動(dòng)快速 PID 控制。最后, 我們禁用積分器飽和來以啟用全部的積分效應(yīng)以在低頻段獲得更多增益。您可以在此處找到激光鎖頻/穩(wěn)頻的詳細(xì)說明。

在我們成功鎖定激光器頻率到光學(xué)腔上后, 我們切換儀器到頻率響應(yīng)分析儀, 在那里我們?cè)趦赏ǖ郎嫌靡粋€(gè)足夠小的輸出信號(hào)(5 mVpp)配置成(In ÷ Out)的測(cè)量方式。通過在感興趣的頻率范圍上進(jìn)行掃頻源的掃頻, 我們生成了與公式 6-8 相關(guān)的傳遞函數(shù)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果

觀察圖5 的測(cè)量結(jié)果。

圖 5：測(cè)量的傳遞函數(shù)，顯示整體閉環(huán)響應(yīng)（紅色）、閉環(huán)干擾抑制（藍(lán)色）和計(jì)算出的激光鎖定系統(tǒng)的開環(huán)增益（橙色）。干擾抑制的單增益頻率約為 24 kHz。

紅色軌跡曲線顯示測(cè)得的互補(bǔ)靈敏度傳遞函數(shù)(公式7), 藍(lán)色軌跡曲線顯示了干擾抑制(公式6)。通過使用數(shù)學(xué)計(jì)算通道(ChA ÷ ChB )，我們能夠動(dòng)態(tài)地計(jì)算開環(huán)控制的傳遞函數(shù)，如圖5里的橘色軌跡曲線。從藍(lán)色軌跡曲線(或者橘色軌跡曲線)我們能夠看到穩(wěn)頻控制環(huán)路擁有高達(dá) ～24kHz的單位增益頻率，同時(shí)相位裕度略大于90度。該系統(tǒng)的穩(wěn)頻控制帶寬限制來自 PZT 的機(jī)械諧振頻率。我們能夠從這個(gè)圖觀察到有一個(gè) ～63kHz的機(jī)械諧振頻率。所以，進(jìn)一步調(diào)節(jié)系統(tǒng)到一個(gè)更高的增益可能會(huì)激發(fā)共振，這會(huì)導(dǎo)致在這個(gè)特殊頻率點(diǎn)上的正反饋并破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

另外，我們能夠從開環(huán)控制響應(yīng)(橘色軌跡曲線)觀察到低頻增益達(dá)到了60dB。這與藍(lán)色軌跡跡曲線中的-60 dB 擾動(dòng)抑制相對(duì)應(yīng)，同時(shí)表明激光鎖頻/穩(wěn)頻儀器能夠提供足夠的伺服控制增益來充分抑制激光頻率噪聲并維持穩(wěn)定的鎖定。

結(jié)論

Moku:Pro基于現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(FPGA)的靈活方法解決了傳統(tǒng)固定功能測(cè)試和測(cè)量硬件的許多缺點(diǎn)。基于FPGA 的架構(gòu)提供了可以在儀器間動(dòng)態(tài)切換的能力。它還提供了同時(shí)使用多個(gè)儀器功能的能力, 例如用 頻率響應(yīng)分析儀表征激光鎖頻控制環(huán)路的傳遞函數(shù)時(shí)用 激光鎖頻/穩(wěn)頻其維持一個(gè)穩(wěn)定的鎖頻過程。多儀器并行模式使優(yōu)化閉環(huán)控制配置的過程更加直接和高效。直觀的用戶界面極大地降低了實(shí)驗(yàn)搭建的復(fù)雜性, 提供了更易于訪問和靈活的解決方案。

此外，雖然本應(yīng)用筆記顯示了一個(gè)利用 PDH 鎖頻方案的示例, 但這種驗(yàn)證控制環(huán)路響應(yīng)的方法適用于其他鎖頻技術(shù), 例如 DC 鎖頻、邊緣側(cè)鎖頻（fringe-side locking）和傾斜鎖定（tilt locking）, 這些技術(shù)在激光穩(wěn)頻領(lǐng)域具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。