拉格朗日乘子法無(wú)疑是最優(yōu)化理論中最重要的一個(gè)方法。但是現(xiàn)在網(wǎng)上并沒(méi)有很好的完整介紹整個(gè)方法的文章。所以小編整理了如下文章，希望能博得大家一贊。

在求取有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件是非常重要的兩個(gè)求取方法，對(duì)于等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，可以應(yīng)用拉格朗日乘子法去求取最優(yōu)值；如果含有不等式約束，可以應(yīng)用KKT條件去求取。當(dāng)然，這兩個(gè)方法求得的結(jié)果只是必要條件，只有當(dāng)是凸函數(shù)的情況下，才能保證是充分必要條件。

KKT條件是拉格朗日乘子法的泛化。之前學(xué)習(xí)的時(shí)候，只知道直接應(yīng)用兩個(gè)方法，但是卻不知道為什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件能夠起作用，為什么要這樣去求取最優(yōu)值呢？本文將首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件敘述一下；然后開始分別談?wù)劄槭裁匆@樣求最優(yōu)值。

一.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件通常我們需要求解的最優(yōu)化問(wèn)題有如下幾類

：(i) 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，可以寫為:min f(x); (ii) 有等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，可以寫為:min f(x),s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n(iii) 有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，可以寫為：min f(x),s.t. g_i(x) <= 0; i =1, ..., nh_j(x) = 0; j =1, ..., m對(duì)于第(i)類的優(yōu)化問(wèn)題，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的導(dǎo)數(shù)，然后令其為零，可以求得候選最優(yōu)值，再在這些候選值中驗(yàn)證；如果是凸函數(shù)，可以保證是最優(yōu)解。對(duì)于第(ii)類的優(yōu)化問(wèn)題，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) ，即把等式約束h_i(x)用一個(gè)系數(shù)與f(x)寫為一個(gè)式子，稱為拉格朗日函數(shù)，而系數(shù)稱為拉格朗日乘子。通過(guò)拉格朗日函數(shù)對(duì)各個(gè)變量求導(dǎo)，令其為零，可以求得候選值集合，然后驗(yàn)證求得最優(yōu)值。

對(duì)于第(iii)類的優(yōu)化問(wèn)題，常常使用的方法就是KKT條件。同樣地，我們把所有的等式、不等式約束與f(x)寫為一個(gè)式子，也叫拉格朗日函數(shù)，系數(shù)也稱拉格朗日乘子，通過(guò)一些條件，可以求出最優(yōu)值的必要條件，這個(gè)條件稱為KKT條件。

(a)拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)對(duì)于等式約束，我們可以通過(guò)一個(gè)拉格朗日系數(shù)a 把等式約束和目標(biāo)函數(shù)組合成為一個(gè)式子L(a, x) = f(x) + a*h(x), 這里把a(bǔ)和h(x)視為向量形式，a是橫向量，h(x)為列向量，之所以這么寫，完全是因?yàn)閏sdn很難寫數(shù)學(xué)公式，只能將就了.....。然后求取最優(yōu)值，可以通過(guò)對(duì)L(a,x)對(duì)各個(gè)參數(shù)求導(dǎo)取零，聯(lián)立等式進(jìn)行求取，這個(gè)在高等數(shù)學(xué)里面有講，但是沒(méi)有講為什么這么做就可以，在后面，將簡(jiǎn)要介紹其思想。(b)KKT條件對(duì)于含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，如何求取最優(yōu)值呢？常用的方法是KKT條件，同樣地，把所有的不等式約束、等式約束和目標(biāo)函數(shù)全部寫為一個(gè)式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，KKT條件是說(shuō)最優(yōu)值必須滿足以下條件：

1. L(a, b, x)對(duì)x求導(dǎo)為零；2. h(x) =0;3. a*g(x) = 0;求取這三個(gè)等式之后就能得到候選最優(yōu)值。其中第三個(gè)式子非常有趣，因?yàn)間(x)<=0，如果要滿足這個(gè)等式，必須a=0或者g(x)=0. 這是SVM的很多重要性質(zhì)的來(lái)源，如支持向量的概念。

二. 為什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件能夠得到最優(yōu)值？

為什么要這么求能得到最優(yōu)值？先說(shuō)拉格朗日乘子法，設(shè)想我們的目標(biāo)函數(shù)z = f(x), x是向量, z取不同的值，相當(dāng)于可以投影在x構(gòu)成的平面（曲面）上，即成為等高線，如下圖，目標(biāo)函數(shù)是f(x, y)，這里x是標(biāo)量，虛線是等高線，現(xiàn)在假設(shè)我們的約束g(x)=0，x是向量，在x構(gòu)成的平面或者曲面上是一條曲線，假設(shè)g(x)與等高線相交，交點(diǎn)就是同時(shí)滿足等式約束條件和目標(biāo)函數(shù)的可行域的值，但肯定不是最優(yōu)值，因?yàn)橄嘟灰馕吨隙ㄟ€存在其它的等高線在該條等高線的內(nèi)部或者外部，使得新的等高線與目標(biāo)函數(shù)的交點(diǎn)的值更大或者更小，只有到等高線與目標(biāo)函數(shù)的曲線相切的時(shí)候，可能取得最優(yōu)值，如下圖所示，即等高線和目標(biāo)函數(shù)的曲線在該點(diǎn)的法向量必須有相同方向，所以最優(yōu)值必須滿足：f(x)的梯度 = a* g(x)的梯度，a是常數(shù)，表示左右兩邊同向。這個(gè)等式就是L(a,x)對(duì)參數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果。

而KKT條件是滿足強(qiáng)對(duì)偶條件的優(yōu)化問(wèn)題的必要條件，可以這樣理解：我們要求min f(x), L(a, b, x) = f(x) + a*g(x) + b*h(x)，a>=0，我們可以把f(x)寫為：max_{a,b} L(a,b,x)，為什么呢？因?yàn)閔(x)=0, g(x)<=0，現(xiàn)在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是<=0，所以L(a,b,x)只有在a*g(x) = 0的情況下才能取得最大值，否則，就不滿足約束條件，因此max_{a,b} L(a,b,x)在滿足約束條件的情況下就是f(x)，因此我們的目標(biāo)函數(shù)可以寫為 min_x max_{a,b} L(a,b,x)。如果用對(duì)偶表達(dá)式：?max_{a,b}?min_x ?L(a,b,x)，由于我們的優(yōu)化是滿足強(qiáng)對(duì)偶的（強(qiáng)對(duì)偶就是說(shuō)對(duì)偶式子的最優(yōu)值是等于原問(wèn)題的最優(yōu)值的），所以在取得最優(yōu)值x0的條件下，它滿足 f(x0) =?max_{a,b}?min_x ?L(a,b,x) =?min_x max_{a,b} L(a,b,x) =f(x0)，我們來(lái)看看中間兩個(gè)式子發(fā)生了什么事情：

f(x0) =max_{a,b}min_x L(a,b,x) =max_{a,b}min_x f(x) + a*g(x) + b*h(x) =max_{a,b} f(x0)+a*g(x0)+b*h(x0)= f(x0)

可以看到上述加黑的地方本質(zhì)上是說(shuō)min_xf(x) + a*g(x) + b*h(x) 在x0取得了最小值，用fermat定理，即是說(shuō)對(duì)于函數(shù)f(x) + a*g(x) + b*h(x)，求取導(dǎo)數(shù)要等于零，即f(x)的梯度+a*g(x)的梯度+ b*h(x)的梯度 = 0

這就是kkt條件中第一個(gè)條件：L(a, b, x)對(duì)x求導(dǎo)為零。

而之前說(shuō)明過(guò)，a*g(x) = 0，這時(shí)kkt條件的第3個(gè)條件，當(dāng)然已知的條件h(x)=0必須被滿足，所有上述說(shuō)明，滿足強(qiáng)對(duì)偶條件的優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)值都必須滿足KKT條件，即上述說(shuō)明的三個(gè)條件。可以把KKT條件視為是拉格朗日乘子法的泛化。