科學(xué)計(jì)數(shù)法

你可能不了解「浮點(diǎn)數(shù)」，但你一定了解「科學(xué)記數(shù)法」。

10進(jìn)制科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分?jǐn)?shù)形式，n為整數(shù)），例如：

19970000000000 = 1.997 × 10 ^ 13

原本的 19970000000000 表示共需要14位。使用科學(xué)計(jì)數(shù)法后，小數(shù)部分 1.997 的表示需要4位，指數(shù)部分 13 需要2位，則一共只需要 4+2 = 6 位即可表示這個(gè)原本看上去很多很長的數(shù)。

小數(shù)也可以使用科學(xué)計(jì)數(shù)法來表示，例如：

0.0000001586 = 1.586 × 10 ^ -7

原本的 0.0000001586 表示共需要11位。使用科學(xué)計(jì)數(shù)法后，小數(shù)部分 1.586 的表示需要4位，指數(shù)部分 -7 需要2位（符號(hào)位也占一位），則一共只需要 4+2 = 6 位即可表示該數(shù)。

設(shè)想我們現(xiàn)在設(shè)計(jì)了這么一種格式，它表示的是一種10進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法。為了說明簡單，我們不考慮指數(shù)為負(fù)數(shù)和數(shù)值為負(fù)數(shù)的情況。它一共有8位，每一位都由10進(jìn)制數(shù)字0~9組成，前6位表示小數(shù)部分，后2位表示指數(shù)部分。例如：

數(shù)字 12345603 ，它表示的值是 1.23456 × 10 ^ 3 = 1234.56

數(shù)字 12345678 ，它表示的值是 1.23456 × 10 ^ 78 = （一個(gè)很大的數(shù)）

所以，當(dāng)我們要表示或運(yùn)算某個(gè)較大或較小且位數(shù)較多的數(shù)時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法會(huì)更加方便。

在關(guān)于定點(diǎn)數(shù)的這篇文章《什么是定點(diǎn)數(shù)？》中，我們談到了什么是「定點(diǎn)數(shù)」。簡而言之，定點(diǎn)數(shù)就是小數(shù)點(diǎn)表示固定的數(shù)。那么對(duì)應(yīng)的，「浮點(diǎn)數(shù)」是不是就是小數(shù)點(diǎn)不固定？是浮動(dòng)的？

恭喜你答對(duì)了。

「浮點(diǎn)數(shù)」一詞，來自英文「float point number」，即「浮動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的數(shù)」。和上面所說的科學(xué)計(jì)數(shù)法類似，它們的小數(shù)點(diǎn)位置都是浮動(dòng)的。

和10進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法一樣，2進(jìn)制數(shù)也可以表示成類似的形式，例如：

101.875（D） = 1100101.111（B） = 1.100101111 * 2^6

所以只需要約定好一定的位數(shù)來表示小數(shù)部分，一定的位數(shù)來表示指數(shù)部分，就可以完整地表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。如何定義這些細(xì)節(jié)是個(gè)傷腦筋的問題，而且要命的是，如果我定義的標(biāo)準(zhǔn)和同事的標(biāo)準(zhǔn)不一致，那么該聽誰的？

好在IEEE（電氣與電子工程師協(xié)會(huì)，Institute of Electrical and Electronics Engineers）幫我們把這些工作都給做了，現(xiàn)在通用的浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)是「IEEE 754」。

浮點(diǎn)數(shù)格式

IEEE 754 規(guī)定了兩種常用的浮點(diǎn)數(shù)格式：

單精度型，也叫32位型，或者float

雙精度型，也叫64位型，或者double

因?yàn)檫@兩種格式的表示規(guī)則是類似的，只是位寬不一樣，了解了其中一種后，就可以快速掌握另一種，所以下文主要介紹 float 類型的浮點(diǎn)數(shù)表示方法。

float類型

float 占用 32 位的存儲(chǔ)空間，32 位被分為了如下的三個(gè)部分：

符號(hào)位s：sign，符號(hào)位為 0 說明該浮點(diǎn)數(shù)為正數(shù)，若為 1 則說明浮點(diǎn)數(shù)為負(fù)數(shù)

階碼E：exponent，代表該浮點(diǎn)數(shù)被二進(jìn)制科學(xué)表示法規(guī)范化后的指數(shù)，階碼采用移碼表示

尾數(shù)M：mantissa，被二進(jìn)制規(guī)約化后要求小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)必須為 1，所以尾數(shù)中實(shí)際隱含了最高位 1，例如尾數(shù)為 M，則實(shí)際在還原時(shí)，相當(dāng)于是 1.M

（1）關(guān)于尾數(shù)M

尾數(shù)是用來表示精度的，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的表示其實(shí)是有多種方法的，例如：

314（D） = 3.14 × 10 ^ 2 = 31.4 × 10 ^ 1

1011（B） = 1.011 × 2 ^ 3 = 10.11 × 2 ^ 2 = 101.1 × 2 ^ 1

所以需要對(duì)小數(shù)部分的表示做出規(guī)定，為此標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定小數(shù)部分需要簡化到「小數(shù)點(diǎn)左邊只有一位非0數(shù)」的形式。即規(guī)定：

314（D） 只能表示為 3.14 × 10 ^ 2 ，而不能表示為 31.4 × 10 ^ 1 或其他形式

1011（B） 只能表示為 1.011 × 2 ^ 3 ，而不能表示為 10.11 × 2 ^ 2，也不能表示為 101.1 × 2 ^ 1 或其他形式

因?yàn)?0進(jìn)制的非0數(shù)有1~9共9個(gè)，所以小數(shù)點(diǎn)最左邊這位是不能省略掉的；但是2進(jìn)制數(shù)的非0數(shù)只有1這個(gè)，所以小數(shù)點(diǎn)最左邊的非0位可以被省略，例如：

1011（B） = 1.011 × 2 ^ 3 ，小數(shù)部分雖然為1.011，但是可以省略為.011，即011

這樣就可以多表示一位信息。float的尾部部分（即小數(shù)部分）定義了23位，因?yàn)槭÷粤艘粋€(gè)最前面的 1 ，所以它是表示的其實(shí)是24位信息。

（2）關(guān)于階碼E

階碼是用來表示范圍的。float定義了8位數(shù)的階碼，所以它的表示范圍是0~256（2的256次方）。這種定義有個(gè)問題就是無法表示負(fù)指數(shù)，將其定義為有符號(hào)數(shù)是個(gè)不錯(cuò)的解決辦法，但隨之而來的問題是–比較兩個(gè)階碼時(shí)不方便。

做兩個(gè)有符號(hào)數(shù)的某些運(yùn)算（例如加法）時(shí)，首先需要比較二者的階碼大小，然后對(duì)其中一個(gè)數(shù)的階碼和尾數(shù)進(jìn)行調(diào)整。例如：

計(jì)算 （3.14 × 10 ^ 2） + （1.56 × 10 ^ 3）的值時(shí)，首先需要比較二者的階碼大小，然后對(duì)其中一個(gè)數(shù)進(jìn)行調(diào)整，將（1.56 × 10 ^ 3）重新表示為（15.6 × 10 ^ 2），然后尾數(shù)部分相加 3.14 + 15.6 = 15.914，即結(jié)果為15.914 × 10 ^ 3，再調(diào)整階碼將其規(guī)范化，15.914 × 10 ^ 3 = 1.5914 × 10 ^ 4

可以看到，運(yùn)算其中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)就是對(duì)兩個(gè)數(shù)的階碼大小進(jìn)行對(duì)比。如果2個(gè)階碼是一正一負(fù)，那么對(duì)比二者的大小還需要考慮符號(hào)位，這樣就會(huì)增加額外邏輯。如果將階碼都加上同一個(gè)數(shù)，使二者均為正數(shù)，那么對(duì)比大小就方便很多了。

標(biāo)準(zhǔn)是這樣規(guī)定的：階碼的值需要加一個(gè)偏移量 127 （至于為什么移127不移128，我也不清楚，如果你知道可以告訴我）。例如：

1.011 × 2 ^ 3的原始階碼是3，按規(guī)定加上127后等于130，存儲(chǔ)到8位空間，即為 1000 0010

光說不練云玩家，接下來看看如何實(shí)現(xiàn)浮點(diǎn)數(shù)與10進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。

（1）將10進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為float類型的浮點(diǎn)數(shù)

將 228 轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)數(shù)的流程如下：

是正數(shù)，即符號(hào)位為0

把10進(jìn)制轉(zhuǎn)成2進(jìn)制：228（D）=11100100（B）

寫成規(guī)范化形式：11100100 = 1.11001 × 2 ^ 7

指數(shù)為7，階碼要加上偏移量127，即E = 7 + 127 = 134（D）= 1000 0110（B）

小數(shù)部分為1.11001，最前面的1是可以被隱含表示的，所以尾數(shù)M = 0.11001 = 11001，因?yàn)槲矓?shù)一共有23位，所以需要在低位補(bǔ)0直到滿足位寬要求，即 11001000000000000000000

最終結(jié)果為：0 10000110 11001000000000000000000

這里有一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換網(wǎng)站，可以查詢正確結(jié)果。

（2）將float類型的浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù)

將 40490000 （16進(jìn)制）轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù)的流程如下：

將其轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制，40490000 = 0100 0000 0100 1001 0000 0000 0000 0000，然后分別獲取符號(hào)、階碼和尾數(shù)。

最高位的符號(hào)位為0，說明是一個(gè)正數(shù)

接下來的8位是階碼 10000000（即128），因?yàn)榧由狭似屏?27，所以指數(shù)的實(shí)際值是128 - 127 = 1。

剩余的23位是尾數(shù)10010010000000000000000，即0.1001001，再加上默認(rèn)的前導(dǎo)1，所以小數(shù)部分的值為1+0.1001001 = 1.1001001

該數(shù)的2進(jìn)制值為 1.1001001 × 2 ^ 1 = 11.001001，將其轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制數(shù)11.001001（B）= 3. 140625。（這里的轉(zhuǎn)化有個(gè)簡便方法，11.001001可以看做是11001001除以2的6次方即64，而11001001也就是201，即201/64 = 3.140625 ）

這是網(wǎng)站轉(zhuǎn)換的結(jié)果，和我們換算的結(jié)果一致。

double類型

double占用 64 位的存儲(chǔ)空間，64 位被分為了如下的三個(gè)部分：

這三部分的定義是和float類型一致的，只是位寬不同。需要注意的是，由于位寬的變化，所以double的階碼的偏移值不再是127，而是 1023。

除了這兩種較為常用的類型外，其實(shí)IEEE754還規(guī)定了幾種其他類型，但是都不太常用，所以不贅述了。

非規(guī)約化

當(dāng)階碼E不全為0，也不全為1時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)稱為規(guī)約化（normal）形式。上面介紹的都是規(guī)約化形式的浮點(diǎn)數(shù)。當(dāng)階碼E全為0時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)稱為非規(guī)約化（subnormal）形式。根據(jù)尾數(shù)的不同，可再分為2種形式：

尾數(shù)M為全 0 時(shí)，表示 0 ，視符號(hào)位而定是+0還是-0（二者在某些場景有區(qū)別）

尾數(shù)M不全為 0 時(shí)，表示非規(guī)約化小數(shù)

非規(guī)約化小數(shù)的定義和規(guī)約化小數(shù)之間存在如下區(qū)別：

規(guī)約化小數(shù)的尾數(shù)約定了含有一個(gè)隱藏的前導(dǎo)1，也就說真正表示的值是1.xxx；而非規(guī)約化小數(shù)的尾數(shù)則約定含有一個(gè)隱藏的前導(dǎo)0，即真正的值為0.xxx。

規(guī)約化小數(shù)的階碼需要加一個(gè)偏移量127，而非規(guī)約化小數(shù)的階碼需要加一個(gè)偏移量 126

非規(guī)約化小數(shù)可以用來表示那些非常小的接近0的數(shù)。

特殊值

除此之外，還規(guī)定了一些特殊值的表示方法：

如果階碼為全1，且尾數(shù)為全0時(shí)，表示無窮。符號(hào)位為0則是正無窮，符號(hào)位為1則是負(fù)無窮。兩個(gè)很大的數(shù)相乘，或者除以零時(shí)，無窮可以表示 溢出 的結(jié)果。

如果階碼為全1，且尾數(shù)不為全0時(shí)，為NaN（not a number），表示這不是一個(gè)合法實(shí)數(shù)。一些運(yùn)算的結(jié)果不是合法值，就會(huì)返回NaN這樣的結(jié)果，例如對(duì)-1開平方（√-1）

對(duì)于以上情況（針對(duì)float類型），可以總結(jié)如下：