由于定點的四則運算比較簡單，如加減法只要注意符號擴展，小數(shù)點對齊等問題即可。在本文中，運用在前一節(jié)中描述的自定義浮點格式FPGA中數(shù)的表示方法（下），完成浮點四則運算的實現(xiàn)過程

1.自定義浮點格式加（減）法運算

基于FPGA 實現(xiàn)的浮點加法運算包括了一系列對尾數(shù)和指數(shù)部分的操作：移位、交換、格式化、舍入和格式化等。如下圖所示，自定義浮點流水加法器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)主要分為兩部分：基本加法器部分和格式化操作部分。

在圖(a)中的基本加法器，首先比較兩個操作數(shù)的指數(shù)部分，較大的指數(shù)加上1之后，寄存輸出（保證流水輸出）作為加法和的指數(shù)部分；另一方面根據(jù)指數(shù)部分的比較結(jié)果，交換尾數(shù)的位置，即需要對較小的尾數(shù)進(jìn)行右移對齊；之后尾數(shù)部分相加，得到的結(jié)果高位截取后輸出作為加法和的尾數(shù)部分。由于操作數(shù)A 和B 的尾數(shù)部分首先需要符號位拓展之后進(jìn)行才進(jìn)行下一步操作，而最后的和是直接高位截取輸出的，故導(dǎo)致加法結(jié)果比實際值小一倍，這就是前面指數(shù)需要加上1輸出的原因。對于(b)中的格式化操作，首先對來自基本加法器的尾數(shù)和指數(shù)進(jìn)行預(yù)處理，然后計算尾數(shù)部分的符號位個數(shù)。最后根據(jù)計算得到的符號位個數(shù)，左移尾數(shù)后輸出尾數(shù)部分，而指數(shù)則減去符號位數(shù)作為指數(shù)部分輸出。

如果是一次而輸入加法則以這樣的結(jié)構(gòu)即可，但如果涉及多次加法，以流水形式完成，則在結(jié)構(gòu)上可以作更好的優(yōu)化。如下是四輸入和八輸入加法器的結(jié)構(gòu)：

如上所示的情況，可知，這樣的方法可以減少格式化操作，而格式化操作在整個運算過程中消耗相對比較多的資源，因此這樣的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可以有效的減少硬件資源的消耗。

3. 乘加運算

浮點乘法運算較為簡單，對應(yīng)的尾數(shù)部分進(jìn)行相乘，指數(shù)部分進(jìn)行相加。尾數(shù)相乘部分采用XILINX 乘法器IP即可。需要注意的是，乘法結(jié)果輸出的位寬指定，在乘法器IP中，按一般流程下來，乘完之后的結(jié)果是保留兩位符號位（假設(shè)乘數(shù)都是一個符號的情況），即多出一個符號位，按小數(shù)乘法分析的話，值的情況是比實際結(jié)果小一倍，在截位輸出的時候需要做一定的取舍（是從最高位開始截位輸出，還是次高位開始截位輸出；如果從最高位截位輸出，則結(jié)果比實際值小一倍，如果從次高位截位輸出只有一種情況會溢出，即兩個乘數(shù)都為-1的情況，這種情況如果從次高位截位輸出則會錯誤，其余情況都是正確的）。

這里需要進(jìn)一步討論的是乘加操作，數(shù)字信號處理中常常會遇到操作，如FIR濾波器。按本文的設(shè)計思路乘加運算也可以節(jié)省一次格式化運算，設(shè)計方法如下：

這樣即可省去乘法器中的格式化過程，將乘法的中間結(jié)果直接輸入給加法器，最后再進(jìn)行格式化輸出。

4. 自定義浮點除法器詳細(xì)設(shè)計

現(xiàn)有的除法硬件實現(xiàn)算法主要可以分為三類：查表法、數(shù)字迭代法和函數(shù)迭代法。基于查找表的實現(xiàn)方法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡單，只需進(jìn)行簡單的查表操作即可，但是其精度多一位，則查找表大小就要增加一倍，顯然不適合實現(xiàn)高精度除法器；數(shù)字迭代法中應(yīng)用最廣的是SRT算法，這類算法基于減法運算，商的精度隨減法迭代次數(shù)而線性增長，故為了得到高精度，資源消耗也是相當(dāng)嚴(yán)重。函數(shù)迭代算法中最典型的兩種算法是Newton Raphson和Goldschimidt算法，這兩種算法是采用乘法運算來實現(xiàn)對商的精度的逼近，商的精度隨著迭代次數(shù)而呈指數(shù)增長，適用于高精度的除法運算。

本質(zhì)上Goldschimidt和Newton Raphson兩種算法的原理是一致的，Goldschimidt算法的實質(zhì)就是對牛頓迭代算法的迭代操作進(jìn)行重新排列，使得Goldschimidt算法中的乘法操作可以并行進(jìn)行處理，故在利用硬件實現(xiàn)除法時，Goldschimidt算法較Newton Raphson在速度上更具優(yōu)勢。以下詳細(xì)分析一下Goldschmidt算法的原理

函數(shù)g(y)在p點的泰勒展開公式如下：

對于除法來說，希望得到如下的等式關(guān)系：

即可以得到倒數(shù)函數(shù)的展開公式，然而，倒數(shù)函數(shù)無法作泰勒展開，故采用麥克勞林展開公式，采用的函數(shù)表達(dá)如下：

令 f(x)=1/b，則有x=b-1，由0.5≤b＜1，得abs(x)≤0.5 ，故：

上述公式因式分解后可得如下公式：

q值可以實現(xiàn)如下迭代過程，其近似的商可以表示如下：

其中Ni和Di分別是算法執(zhí)行i步后得到的分子和分母。當(dāng)Di趨近1時，Ni就趨近于q了。迭代開始時，令N0=a，D0=b。第一次迭代，時，N1=R0*N0，其中R0= 1-x = 2-b。可得到如下:

類似地，下次迭代令R1= 2-D1= 1+y^2，則可以得到:

故可以得到Goldschmidt算法的迭代過程，總結(jié)如下：

故通過對初始種子進(jìn)行多次迭代而不斷逼近目標(biāo)精度。

現(xiàn)有的Glodschimidt算法都是基于標(biāo)準(zhǔn)的IEEE 754雙精度格式，其算法過程可以描述如下圖所示：

上圖中的approx（1/B）步驟需要得到精度不高的近似的倒數(shù)，這里采用直接查找表的形式，這種形式最為簡單，直接查找倒數(shù)表得到除數(shù)（B）的倒數(shù)近似值，然后在使用該值進(jìn)行上圖所示的函數(shù)迭代來得到更高精度的除數(shù)倒數(shù)逼近值。直接查找表得到的近似值的精度取決于查表的索引長度及其表項長度。故要使初始值的精度增加1位，則查找表的空間就需要翻一倍。對于現(xiàn)階段的FPGA，其存儲資源已經(jīng)非常多，故在FPGA實現(xiàn)直接查找表，其資源消耗是相對很小的。

IEEE-754標(biāo)準(zhǔn)的浮點數(shù)尾數(shù)的值范圍為[1,2），在不考慮符號位的情況下，尾數(shù)D形如1.d1d2d3…dn。則其倒數(shù)范圍(0.5,1]。而自定義的浮點的尾數(shù)格式為 .1d1d2d3…dn, 即表示的值的范圍[0.5,1），則其倒數(shù)范圍為(1,2]。這樣的區(qū)別導(dǎo)致在整個大框架下具體的實現(xiàn)內(nèi)容情況發(fā)生變化。需要對整個算法的每一步驟做好設(shè)計。

誠如上述，自定義格式的浮點中，得到的倒數(shù)范圍為(1,2]，而我們自定義的浮點格式表示的范圍為[0.5,1），故我們須將(1,2]改成(0.5,1] * 2，其中的(0.5,1]由尾數(shù)表示，而2則由指數(shù)表示。故查找表中的表項表示的值是實際倒數(shù)值的1/2。現(xiàn)假設(shè)階段后的除數(shù)輸入表示為0.1d1d2d3…dn，則輸出的除數(shù)倒數(shù)值可表示為21 * 0.1b1b2b3…bm，則查表所需的查找表大小為：

而在FPGA中，采用塊RAM進(jìn)行實現(xiàn)，每個塊RAM大小36k，而本實現(xiàn)中，初始精度的設(shè)計需要達(dá)到14位左右，這樣，則輸出位寬m表示為13至16都消耗同等資源，而后邊的算法迭代中，設(shè)計的乘法器位寬當(dāng)為有符號數(shù)16x52消耗的DSP48乘法模塊的資源為3，是最為折中的方法，故采用m為15，直接查找表中的每一項直接表示為0.1b1b2b3…bm，這樣表的輸出為16位，正好與后邊的乘法器位寬對應(yīng)上。

4.1 查找表設(shè)計

直接查找表方法中，最常用的是常數(shù)分段逼近方法，該算法的核心是確定截斷輸入數(shù)0.1d1d2d3…dn0和后一位截斷輸入數(shù)0.1d1d2d3…dn1，的中點數(shù)值，然后計算該值的倒數(shù)，最后加上2^(-(m+2))，并對得到的結(jié)果進(jìn)行舍入到0.1b1b2b3…bm，故查找表中的每一項可以表示為：

其中0.1d1d2d3…dn。對于輸出位寬m=k+g，能得到的設(shè)計精度如下表格：

假設(shè)確定k=13，m=16，故得到的最小精度為13.912。

4.2 迭代過程

對應(yīng)的函數(shù)迭代過程也發(fā)生相應(yīng)地改變，這里設(shè)計時應(yīng)該考慮每一步驟中的指數(shù)變化情況。相應(yīng)的設(shè)計過程如下圖所示：

另外在實現(xiàn)多分子單分母，形如(A+C)/B，為了更省時間和空間資源可以采取如下圖所示的實現(xiàn)策略：

整個算法的流水過程如下：

至此，完成自定義浮點格式的四則運算。