一. FOC之使用Cordic算法求解sin/cos

在進行坐標變換的時候，需要計算角度的正余弦值，而在FPGA中是不能直接進行求解的，需要采用其它的方式進行求解。最常使用的方法有如下兩種:

基于ROM的查找表方式: 首先在PC上使用python等高級語言將一個周期內的正余弦值全部計算出來，角度的分辨率根據實際需求來確定，分辨率越精細，那么需要存儲ROM的深度就越深，反之約小，然后將計算出來的正余弦值進行一個擴大取整保留數據精度，最后按照角度順序依次存入ROM中。很明顯，通過這種方式計算正余弦值所需要的時鐘周期特別短，消耗FPGA的存儲資源大。

基于Cordic算法計算: Cordic算法并不直接求解正余弦值，而且通過旋轉逼近的思想來進行擬合正余弦函數。該算法擬合的精度非常高，因而被廣泛應用于計算機圖形學、數字信號處理等領域。

Cordic算法運算過程中，只設計到移位和加減運算，這種運算是非常適合于FPGA的，從面積和計算速度兩方面進行綜合考慮，最終選擇占用面積較小、計算速度略低的Cordic算法來求解sin/cos函數值。

首先如下圖所示，假設單位圓上有任意兩點Q和P，它們之間的角度關系已知，則它們的XY軸坐標可以表示如下:

將Q點的坐標公式進行展開，然后再將P點的坐標公式代入其中可得:

為了統一變量類型，將cos函數作為公共相提取出來，可以得到如下形式:

可以看出，由P點旋轉至Q點后，Q點的最終表達式如上所示，這種形式便是Cordic算法旋轉的基本公式了。如果將旋轉初始點P設置為一個特殊位置：X軸上，那么很明顯Q點的坐標值就是對應旋轉角度的正余弦值。

有了上述基本推論，就可以開始真正的進行旋轉擬合了。P點直接一步旋轉到Q點，肯定是不可取的。如果將P點經過多次旋轉，每一次旋轉的角度均為特殊角度,tan函數對應的角度值如下，這樣就將乘法運算巧妙的轉換成了左移運算。

每一次旋轉迭代的公式如下，每一次旋轉的公式里面還包括了cos函數，這也是不方便在FPGA內計算的，觀察表達式可以知道，cos函數在這里起到的作用是對坐標值起到等比例縮放的作用，并不會影響旋轉的點對應向量的方向。

所以可以將每一次旋轉過程中的cos函數提取出來，最后進行運算，這樣就不用參與到每次的旋轉計算中去，由于旋轉的角度是已知的，所以當確定好旋轉次數后，可以將這部分運算提取計算出來，作為一個系數K，K的表達式如下圖所示。

接下來就是需要研究每次旋轉對應的角度值了，角度對應的tan函數值是已知的，可以通過Python直接求解出對應的角度，然后匯總成如下表格:

通過上表可以看出，當旋轉到16次的時候，角度的誤差只有千分之一了，而cosβ和K的值均趨近于一個定值，故Cordic旋轉擬合是收斂的。在旋轉的過程中，可能會出現旋轉角度大于目標角度的情況，所以在旋轉的過程中還需要增加一個變量d來控制旋轉的方向，另外用z來表示旋轉到的角度值，最終的旋轉迭代公式如下:

最終目標角度的正余弦值如下:

FPGA內部實現的過程中，需要對旋轉角度值以及K值擴大2^16次方，然后取整，為的是在保持計算精度的情況下，免去數據的小數部分，這些都是固定值，不會根據目標角度的變化而變化，可以在程序中直接定義出來，如下圖所示。

另外還要一個關鍵點需要注意的是迭代公式中使用的是tan函數，需要對目標角度限制在-90°到90°范圍內，所以在目標角度輸入模塊之后，需要先對角度進行一個象限變換，為了處理的方便，本設計將目標角度變換到第一象限內，也就是0°到90°，如下圖所示，象限變換不會影響正余弦數組的大小，只會影響其數值的符號，所以在迭代完成后，根據需要對坐標點進行取反運行即可。

來源：本文轉載FPGA 之旅公眾號