磁懸浮軸承廣泛用在各種工業應用中，比如發電、石油提煉、渦輪機械、泵機和飛輪儲能系統。和機械軸承不同的是，這類軸承是利用磁懸浮而非物理接觸來支承移動載荷的。由于磁懸浮軸承運行時不產生摩擦且無需潤滑，維護費用也低，因此正逐漸取代機械軸承，更何況這種軸承的使用壽命還更長。現在我們一起來了解如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件計算磁力、扭矩和磁剛度等設計參數。

磁懸浮軸承的類型

根據工作方式的不同，磁懸浮軸承 可以分為兩種類型：有源磁軸承（AMB）或無源磁軸承（PMB）。有源磁軸承依靠鐵磁材料和電磁體（線圈和鐵芯）之間的吸引力起作用。無源磁軸承依靠永磁體（PM）之間和/或傳導面與永磁體之間的排斥力起作用。

有源磁軸承

有源磁軸承由一個靜止零件定子 和一個旋轉零件轉子 構成，定子包含電磁體和位置傳感器，轉子圍繞軸旋轉。在正常工作條件下，最理想的情況是，轉子位于中心，與定子相隔一定的間隙，且間隙長度相等。不過，在遇到干擾時，轉子的位置會受控于一個閉環反饋系統。傳感器測量出轉子的位置發生變化，隨后將之傳送到數字控制器。數字控制器處理好數據后，將信號傳送給功率放大器。后者重新調整電磁體的電流，推動轉子回到原來的位置。為了重新調整轉子，設計人員必須要知道轉子處于不同偏移位置時的磁力以及相應的電流，這一點很重要。

有源磁軸承組件的示意圖。圖片屬于公有領域，通過 Wikimedia Commons 共享。

有源磁軸承的優點是能主動控制轉子的位置，但與此同時，這也造成電子電路功耗較大，運行成本較高。當然，我們可以通過優化電磁體的設計，降低運行所需的功率，從而減少運行成本。COMSOL Multiphysics 便是這一優化過程中可以使用的有用工具。

在模擬包括定子和轉子在內的有源磁軸承時，最佳途徑是使用“AC/DC 模塊”中的旋轉機械，磁 接口。這個模擬過程與發電機或電動機的模擬非常相似，請查閱我們的二維發電機教程。

使用磁場 接口可以模擬永磁體和導電線圈（單匝或多匝線圈）。但是由于存在旋轉，所以無法模擬感應電流。如果感應電流可以忽略不計，那么模型就可以建立在穩態域或頻域，并對轉子的各個位置添加參數化掃描研究，從而計算磁力或扭矩。

無源磁軸承

無源磁軸承 使用永磁體，不需要傳感器和控制電路或輸入功率。永磁體上兩個磁極之間的磁斥力使空氣間隙的長度保持不變，如永久磁軸承所示，或者依靠永磁體與旋轉導電盤或軸之間的電動懸浮（EDS）也可以使這個長度保持不變，如電動軸承所示。 使用永磁體的無源磁軸承的幾何與仿真結果顯示如下。

左圖：使用永磁體的軸向磁懸浮軸承的幾何。黑色箭頭表示永磁體的磁化方向。右圖：顯示磁通密度（箭頭圖）的結果圖以及磁通密度模的曲面圖。

電動軸承

當導電的轉子在永磁體產生的磁場中旋轉時，這個轉子上會感應出渦流。這些渦流反過來會形成一個與永磁體產生的磁場方向相反的磁場，從而在旋轉的轉子導體與靜態永磁體之間產生排斥力。轉子的位移一直在這一磁斥力的作用下保持不變。因此，轉子在中心旋轉時，間隙的長度不變。

電動軸承可進一步分為徑向電動軸承和軸向電動軸承。磁通量與轉子軸平行時為徑向電動軸承，磁通量與轉子軸垂直時為軸向電動軸承。

徑向電動軸承

徑向電動軸承 由一個固定在旋轉軸上的導電圓柱體構成。永磁體零件堆疊在鐵環之間，定子和轉子間的空氣間隙中會產生與軸線平行的朝內或朝外的磁通量。電動軸承教程是使用磁場和電場 接口求解的，可從“案例下載”中下載。還計算了不同偏移位置上的磁力。

左圖：徑向電動軸承的三維幾何。右圖：顯示有定子（鐵芯和磁體）的磁通密度（x 軸偏移位置為 1.5 毫米時）以及導電轉子中渦流（灰度標）的徑向電動軸承。

軸向電動軸承

軸向電動軸承的截面剖視圖配置如下所示。導電盤貼著轉子，磁性材料（軛鐵）用于引導永磁體的磁場，從而使磁通線平行于轉子軸。這就是術語軸向電動軸承 的由來。

在這個設計中，空氣間隙相對較小，磁通路徑十分高效。相關的完整教程可以從“案例下載”中下載。

左圖：軸向電動軸承的截面剖視圖。右圖：顯示有定子磁通密度和導電轉子渦流的軸向電動軸承。還顯示了箭頭圖。

上述兩個電動軸承示例在 COMSOL Multiphysics 中都是用磁場和電場 接口模擬的。在這兩個示例中，速度（洛倫茲項） 特征都用于指定旋轉速度。使用這個方法后，就無需利用移動網格 接口考慮轉子的旋轉了。

請注意，只有當移動域不包含隨材料一起移動的指定磁源，如線圈或永磁體（固定或感應的）時，才可以使用“速度（洛倫茲項）”特征。移動域的運動方向必須保持不變。比如，“速度（洛倫茲項）”特征可以用于模擬導電的（非磁性的）均勻旋轉盤。相關的例子有電磁制動器、電動軸承、單極發電機、無限均勻移動平面上的磁體（如磁鐵在銅管中下落或磁懸浮列車）以及流經磁體的均勻導電流體的流動（如液態金屬泵或霍爾發生器/霍爾推進器）。

注：洛倫茲項準確地描述了移動域中由穩態磁源引起的感應現象，前提是移動域（包括其材料屬性）不會隨運動方向而變化。此外，感應現象可能是由于穩態源的強度或不斷改變的速度的短暫變化引起的。洛倫茲項不會考慮到此類短暫變化帶來的影響。

磁力/扭矩

COMSOL Multiphysics 中有兩種方法可用于計算電磁力和扭矩。最常見的方法是 Maxwell 應力張量 法，常用于以下接口中的計算力 特征：磁場 接口；磁場，無電流 接口；磁場和電場 接口；以及旋轉機械，磁接口。

舉例來說，添加了計算力 特征后，就可以在磁場接口中使用磁力的空間分量 (mf.Forcex_0, mf.Forcey_0, mf.Forcez_0) 和軸向扭矩 ( mf.Tax_0) 進行后處理。計算力 特征只對 Maxwell 應力進行積分，僅計算選定的一個域（或多個域）外側以及可選擇域的整個外部邊界上的應力，這幾個域應當是一起移動的一組域（一個機械體）。因為這種方法基于表面積分，所以計算的力易受網格大小的影響。使用這種方法時，往往需要執行網格細化研究，才能使計算得到的力或扭矩正確。

如果應用了“計算力”特征的域與外部邊界、周期性邊界和一致對相接觸，則“計算力”得到的結果可能不正確。而且，要計算附加在鐵磁表面的磁體的力，接觸邊界上必須指派一個薄低磁導率間隙（在靜電邊界則指派薄低介電常數間隙），因為要計算的是空氣中的 Maxwell 應力，而不是鐵磁（電介質）材料中的 Maxwell 應力。

第二種方法是洛倫茲力法，僅適用于計算非磁性導電域中的磁力這種特殊情況。洛倫茲力定義為 F = J × B，其中 J 表示電流密度，B 表示磁通密度。洛倫茲力能十分準確地計算導電域中的力，因為其計算依據的是體積而非邊界。因此，盡可能優先使用洛倫茲力法，而非 Maxwell 應力張量法。

除了以上提到的內置方法之外，還可以使用虛功法或虛位移原理計算磁力和扭矩。在這一技巧中，力的計算也就是研究少量位移對電磁能的影響。在 COMSOL Multiphysics 中通過使用針對變形網格和靈敏度分析的特征，可以實現虛功法。

磁剛度

在固體力學中，剛度表示一個物體的硬度，即物體在受力時抵抗變形的程度。在磁懸浮軸承應用中，這個參數相應地定義為磁剛度，它是總磁力相對于位置的負導數。如果磁力為

鏈接教程闡述了如何利用該方法計算軸向磁懸浮軸承的磁剛度。不過這個示例僅適用于二維軸對稱的軸承，因此無法得到 x 向和 y 向的磁剛度。要計算所有方向上的磁剛度，需要在三維中模擬此問題。下面，我們將對上述軸向磁懸浮軸承創建一個三維模型，并確定其剛度 kx 。可以從“案例下載”中下載這個示例教程。

這個方法主要涉及使用磁場，變形幾何 接口以及靈敏度 接口。同二維模型一樣，我們也會用到磁場 接口。磁體模擬時使用了安培定律 特征，其本構關系設置為 1[T] 的剩余磁通密度。計算力 只須添加到內部磁體，并將幾何參數化，使內部磁體的位置在 x 方向上存在 x0 的偏移。參數x0 隨后會用于參數化掃描。另外，變形幾何 接口將用于分析向 x 方向的附加（虛擬）網格位移 dx所施加的力的靈敏度。計算 x 向的磁剛度時這里僅使用四分之一幾何。

注意，此配置中僅正確計算了 x 軸上的力。根據對稱性，y 向和 z 向的力應當為零。不過因為僅模擬了四分之一幾何，所以計算出的力會相當大。同樣地，還可以計算 y 向的剛度，即根據 yz 平面和 xy 平面分別對稱地切割整個模型，獲得四分之一模型并對其進行分析。

左圖：用于計算剛度的軸向磁懸浮軸承的四分之一三維模型。右圖：半個模型中的磁通密度模和磁通密度箭頭圖。結果是使用“三維鏡像”數據集在 xy 平面繪制的。

變形幾何接口對無限元域以外的所有其他域都進行了求解。要求解這個區域，首先在磁體附近的空氣域添加一個自由變形 節點。同樣地，可以向沿 x 軸的內部磁體域添加一個指定的變形 dx。最后，向內部磁體邊界和對稱的截平面邊界添加兩個指定網格位移節點，如下圖所示。

內部磁體域上設置的指定變形。

內部磁體邊界上設置的指定網格位移。

對稱截平面上設置的指定網格位移。

在靈敏度 接口中添加全局目標 特征，在“全局目標”設定下的目標表達式中指定 x 向的總力（即，4*mf.Forcex_0）。這里，mf.Forcex_0 指磁場 接口中“計算力”特征計算出的 Maxwell 應力張量力的 x 分量。同樣地，添加全局控制變量 dX，如下圖所示。

全局目標設置（左圖）和全局控制變量設置（右圖）。

因為靈敏度（和優化）研究不能與參數化掃描 研究節點合并，所以模型必須在兩個單獨的研究中求解。第一個研究包含靈敏度求解器和穩態求解器。隨后的第二個研究包含參數化掃描研究，但會使用研究 1 作為參考。對參數 X0 在 range(0,1.5/20,1.5) 區間內執行參數化掃描，其設置如下。

左圖：靈敏度分析的穩態研究設置。右圖：以研究 1 為參考的參數化掃描研究設置。

將 x 軸上的磁力和 x 向的磁剛度繪制為一維全局圖。

磁力圖的設置（左圖）和磁剛度的設置（右圖）。

左圖：電磁力的 x 分量是 x 軸上偏移的函數。右圖：磁剛度kxx 是 x 軸上偏移的函數。

總結

在本文中，我們討論了使用 COMSOL Multiphysics 的 “AC/DC 模塊”的接口可以模擬的幾類磁懸浮軸承。仿真簡化了這幾類軸承設計參數的計算方法，從而優化了軸承性能，延長了使用壽命。