引 言

混沌系統(tǒng)的控制和同步是當(dāng)前自然科學(xué)基礎(chǔ)研究的熱門課題，它在通信、信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，各種控制和同步方法也應(yīng)運(yùn)而生。在混沌控制研究中，追蹤問題是研究的一個(gè)熱點(diǎn)。追蹤問題即通過施加控制使受控系統(tǒng)的輸出信號(hào)達(dá)到事先給定的參考信號(hào)，更具有一般性。特別是，如果追蹤的參考信號(hào)是由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的，這種追蹤控制便演化成為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步，它包括自同步和異結(jié)構(gòu)同步，這方面的工作已經(jīng)有了許多研究。電網(wǎng)之間的互聯(lián)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展的必然趨勢(shì)，它將使電網(wǎng)的發(fā)電和輸電變得更經(jīng)濟(jì)、更高效。與此同時(shí)，電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性受到前所未有的挑戰(zhàn)。隨著分岔、混沌理論在電力系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為研究中的應(yīng)用，人們發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)中除了低頻振蕩外，還存在混沌振蕩。這種振蕩不僅對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定具有極強(qiáng)的破壞力，而且不能依靠附加傳統(tǒng)的勵(lì)磁控制器來抑制或消除。自20世紀(jì)90年代以來，國(guó)內(nèi)外許多研究人員對(duì)電力系統(tǒng)的分岔、混沌振蕩產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了充分、有益的探討，但對(duì)電力系統(tǒng)混沌控制方法的研究尚屬少見。在此針對(duì)變形耦合發(fā)電機(jī)昆沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器，可以實(shí)現(xiàn)變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號(hào)的廣義同步。該控制器簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。

1 系統(tǒng)模型

耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)由一個(gè)具有混沌特征的三維自治方程組來描述，它是由連接在一起的2臺(tái)發(fā)電機(jī)組成，其中任何一臺(tái)發(fā)電機(jī)都處于另一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流所形成的磁場(chǎng)之中。文獻(xiàn)在基于耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，給出了變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)：

式（1）中，u和a是正的控制參數(shù)，當(dāng)u=2和a=1時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為。圖1所示為系統(tǒng)1的典型混沌吸引子。由圖可見，系統(tǒng)1的混沌吸引子除具有低維混沌吸引子的一般特點(diǎn)外，還具有其獨(dú)特之處；吸引子的二維投影具有更復(fù)雜的折疊和拉伸軌線。這說明系統(tǒng)1在局部上比低維混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的不穩(wěn)定性。這使得對(duì)系統(tǒng)1的控制難度大大增加。

2 控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)系統(tǒng)1施加控制，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量xi（i=1，2，3）追蹤給定參考信號(hào)，受控后的系統(tǒng)方程為：

不論參考信號(hào)的形式如何，設(shè)計(jì)如下統(tǒng)一形式的控制器：

式中，r1，r2，r3為給定參考信號(hào)。

定理 對(duì)于受控系統(tǒng)2，當(dāng)采用式（3）所示的控制器時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量xi（i=1，2，3）可以追蹤任意連續(xù)可微的參考信號(hào)ri（i=1，2，3）。

證明 設(shè)追蹤誤差變量為ei=xi一ri（i=1，2，3），結(jié)合式（2）和式（3），可得追蹤誤差系統(tǒng)為：

式（4）的平衡點(diǎn)為（0，O，O）。由式（4）可知，誤差變量的零點(diǎn)即為誤差系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。式（4）在平衡點(diǎn)處的Ja—cobian陣為：

特征方程為：（λ+u）（λ+u）（λ+1）=O，可解得矩陣J的特征根為λ1=一u，λ2=一u，λ2=一l，由于參數(shù)“為正，所以矩陣J的所有特征根均為負(fù)數(shù)。由非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，誤差系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。即lim|ei|=0。

3 數(shù)值仿真

3．1 追蹤常值信號(hào)

系統(tǒng)1有5個(gè)平衡點(diǎn)，分別為S0（0，0，0），S1（1．175 6，一1．902 1，一2．236 1），S2（一1．175 6，1．902 1，一2．236 1），S3，4（±1．902 1，±1．175 6，2．236 1）。取參考信號(hào)為系統(tǒng)平衡點(diǎn)S1，即r1=1．175 6，r2=一1．902 1，r3=一2．236 1。由式（3）得控制器為：

采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為（0．02，0．006，O．001），仿真步長(zhǎng)為0．01，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖可知，系統(tǒng)變量x（t）經(jīng)6 s后追蹤上給定的常值參考信號(hào)，廣義同步誤差穩(wěn)定在零值處。

3．2 追蹤周期信號(hào)

取參考信號(hào)為正弦周期信號(hào)r1=sin 4t，r2=cos 2t，r3=sin t，此時(shí)控制器為：

同樣采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為（O．02，O．006，O．001），仿真步長(zhǎng)為0．01，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖可知，變量x1（t），x2（t）和x3（t）在2 s前追蹤上參考信號(hào)，而廣義同步誤差e（t）穩(wěn)定在零值附近。

3．3 追蹤混沌信號(hào)

Lorenz系統(tǒng)是一個(gè)典型的混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為：

系統(tǒng)2的初值為（0．02，0．006，0．001），Lorenz系統(tǒng)的初值為（0．2，0．07，0．1），仿真步長(zhǎng)為0．01，仿真結(jié)果如圖4所示。由圖可知，變量x1（t），x2（t）和x3（t）在7 s前追蹤上參考信號(hào)，廣義同步誤差e（t）穩(wěn)定在零值處。

結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)變形耦合發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器。該控制器可以實(shí)現(xiàn)變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號(hào)的廣義同步，分別以常值信號(hào)，周期信號(hào)和混沌信號(hào)為參考信息進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果與理論分析一致。設(shè)計(jì)的控制器使用范圍很廣，在控制混沌和利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字保密通信方面有很廣的應(yīng)用前景。