1 引言

生命信號(hào)由于受到人體等諸多因素的影響，具有信號(hào)弱、噪聲強(qiáng)、頻率范圍較低和隨機(jī)性強(qiáng)的特點(diǎn)，用傳統(tǒng)的傅里葉變換提取具有局限性。而具有多分辨分析特性的小波變換，可利用時(shí)頻平面上不同位置的不同分辨率，有效地從非平穩(wěn)信號(hào)中提取瞬態(tài)信息，可有效地提取信號(hào)的波形。

2 Mallat算法

小波的多分辨分析理論研究表明，滿足一定正則條件的濾波器組可以迭代計(jì)算出小波，Mallat 提出了雙尺度方程以及塔式分解算法，這些成果將濾波器組和小波緊密聯(lián)系在一起，使得濾波器組與小波理論及設(shè)計(jì)有了非常緊密的聯(lián)系。眾學(xué)者開始重視利用濾波器組設(shè)計(jì)小波，以及濾波器組自身理論的研究。

小波變換的多分辨分析MRA（Multi-Resolution-Analysis）特性，定義空間L2（R）中的一列子空間{Vj}j∈z,稱為L2（R）的一個(gè)多分辨分析（MRA），該序列若滿足下列條件：

Mallat根據(jù)多分辨分析提出小波變換分解和重構(gòu)快速算法-Mallat算法。設(shè)（{Vm;m∈Z}；φ（t））是一個(gè)正交MRA，則存在{hk}∈ι2，使雙尺度方程：

方程(1)成立，并利用式(1)可得到尺度函數(shù)φ(x)構(gòu)造函數(shù)：

ψ(x)的伸縮、平移構(gòu)成L2(R)正交基，其中g(shù)k=(-1)h1-k。進(jìn)一步，當(dāng)

主要包含3個(gè)方面的內(nèi)容：

(1)集合ψ0={φ(x-k)；k∈Z}構(gòu)成W0的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此構(gòu)成Wj的標(biāo)準(zhǔn)正交基；

(2)可以保證從而保證Wj的基向量，并可表示L2(R)中的任意函數(shù)。

(3)Wj⊥Wj'，j≠j'，保證在彼此正交的前提下當(dāng)且僅當(dāng)表示信息。

多分辨分析理論為信號(hào)局部分析提供相當(dāng)直觀的框架，這一點(diǎn)在非平穩(wěn)信號(hào)中的作用尤為重要，代表信號(hào)的主要輪廓；而快變部分對(duì)應(yīng)于信號(hào)的高頻信息，表示信號(hào)的細(xì)節(jié)，因此，Mallat算法的基本思想可以歸納如下：

設(shè)Hjf為能量有限的信號(hào)f∈L2（R）在分辨率2j下的近似，則Hjf可以進(jìn)一步分解為f在分辨率2j-1下的近似Hj-1f,以及位于分辨率2j-1與2j之間的細(xì)節(jié)Dj-1f之和，其分解和重構(gòu)過程如圖1和圖2所示。

3 小波閾值去噪法

一般含噪的一維信號(hào)的模型可表示為：

s（k）=f（k）+εe（k），k=0，1，…n-1 （3）

式中，s（k）為含噪信號(hào)，f（k）為有用信號(hào)，e（k}）為噪聲信號(hào)。

利用小波檢測微弱生命信號(hào)的實(shí)質(zhì)是提取強(qiáng)噪聲背景下的生命信號(hào)，這個(gè)過程即去噪，在小波去噪的方法中比較常用的是閾值去噪法。

小波閾值去噪可分為3部分：

（1）信號(hào)的小波分解選擇一個(gè)小波函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解計(jì)算。

（2）小波分解高頻系數(shù)的閡值量化 對(duì)各分解尺度下的高頻系數(shù)選擇一個(gè)閾值進(jìn)行閾值量化處理。

（3）小波重構(gòu) 根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)。

最關(guān)鍵的是閾值的選擇以及閾值的量化，該步驟完成的好壞決定信號(hào)消噪的質(zhì)量。在閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。設(shè)ω是原始小波系數(shù)，η（ω）表示閾值化后的小波系數(shù)，T是閾值，I（x）為示性函數(shù)。

常見閾值函數(shù)有：（a）硬閾值函數(shù)（圖3a），η（ω=ωI（|ω|>T）；（b）軟閾值函數(shù)（圖3b），η（ω）=（ω-sgn（ω）T）I（|ω|>T）。

小波閾值去噪方法除閾值函數(shù)的選取外，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值估計(jì)。如果閾值太小，去噪后的信號(hào)仍然有噪聲存在；閾值太大，重要的信號(hào)特征又被過濾掉，引起偏差。常見的閾值估計(jì)方法有Visushrik閾值、SUREShrink閾值、GCV閾值等。設(shè)原始信號(hào)小波系數(shù)估計(jì)通過軟閾值函數(shù)萎縮得到，即

閾值的選擇可通過下面的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)定義：

由于小波變換的正交性，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)可以寫成：

可以證明，當(dāng)V服從Guass分布時(shí)，有下面的等式成立

式中，P(|Yi|>t)服從二項(xiàng)分布，其概率可用|Yi|>t出現(xiàn)的頻率近似，可得到風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的表達(dá)式如下：

式中，I是示性函數(shù)，^表示兩數(shù)取小。

則最佳閩值選擇可以通過最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)得到，即

，對(duì)于最佳閾值的選擇可以在一個(gè)有限的范同內(nèi)，即t*∈{Y1，Y2，…，YN}。在實(shí)際應(yīng)用中，SUREShrink閾值去噪法能獲得較為滿意的去噪效果，這是一種誤差較低的閾值去噪方法。

4 小波去噪的MATLAB仿真

一般檢測到的微弱生命信號(hào)的背景強(qiáng)噪聲主要是工頻干擾信號(hào)，因此采用正弦信號(hào)模擬人體心跳信號(hào)頻率為0.7 Hz、幅度是1，模擬的工頻干擾信號(hào)頻率為50 Hz、幅度是心跳信號(hào)的10倍，和Matlab提供的噪聲noissin信號(hào)疊加，可近似組成強(qiáng)噪聲背景下的生命信號(hào)，采用db3小波進(jìn)行信號(hào)分解，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行SUREShrink閾值估計(jì)，并采用heursure函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。

將信號(hào)映射到小波域，根據(jù)噪聲和噪聲的小波系數(shù)在不同尺度上具有不同的性質(zhì)和機(jī)理，對(duì)含噪信號(hào)的小波系數(shù)進(jìn)行處理。實(shí)質(zhì)是減少剔除噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù)，最大限度的保留真實(shí)信號(hào)的系數(shù)。

疊加信號(hào)去噪仿真圖如圖4所示，疊加信號(hào)經(jīng)過小波閾值去噪法去噪后，可得到較好的生命信號(hào)，小波分解和重構(gòu)的細(xì)節(jié)，如圖5和圖6所示。根據(jù)Mallat算法的基本思想，高頻信號(hào)和低頻信號(hào)分別可以從圖中反映出來，其中a1和d1分別反映模擬生命信號(hào)的正弦信號(hào)，和強(qiáng)噪聲干擾的工頻信號(hào)，這就說明對(duì)微弱生命信號(hào)的提取小波可以取得很好的效果，由于這里所使用的是模擬的生命信號(hào)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還應(yīng)進(jìn)行改進(jìn)。

5 結(jié)束語

生命信號(hào)由于本身的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的傅里葉變換對(duì)其消噪和提取顯得無能為力，因?yàn)楦道锶~變換對(duì)信號(hào)的分析只是在頻域中進(jìn)行，不能反映信號(hào)某一點(diǎn)的變化情況，而小波變換可以對(duì)信號(hào)在時(shí)頻兩域進(jìn)行分析，很適合探測信號(hào)的瞬時(shí)狀態(tài)，對(duì)微弱生命信號(hào)可以進(jìn)行有效去噪和提取。通過仿真表明，小波變換很適合微弱生命信號(hào)的檢測，可以在這一領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。