頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔是計(jì)算流體力學(xué)（CFD）領(lǐng)域用于驗(yàn)證計(jì)算方法的常用問(wèn)題之一。雖然涉及的邊界條件相對(duì)簡(jiǎn)單，但是流動(dòng)特性卻相當(dāng)復(fù)雜有趣。在本文中，我們將展示如何在 COMSOL Multiphysics? 軟件中定義這一基準(zhǔn)問(wèn)題，并演示映射網(wǎng)格劃分和非線(xiàn)性遞增等適用于多種 CFD 模型的技巧。

在 COMSOL Multiphysics? 中模擬頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔

頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔包含一個(gè)充滿(mǎn)液體的方形空腔。在頂部邊界處，切向速度被用來(lái)驅(qū)動(dòng)空腔內(nèi)的流體流動(dòng)。剩余的三個(gè)壁被定義為無(wú)滑移邊界條件，即速度為零。

為了確定基準(zhǔn)模型，我們選擇求解那些采用不同方法都能輕松解決的通用性問(wèn)題。那么，該如何使用描述問(wèn)題的最通用公式來(lái)比較不同的計(jì)算方法呢？一種方法是將方程式無(wú)量綱化，這意味著問(wèn)題將不依賴(lài)于具體的材料、長(zhǎng)度尺度或工作條件。對(duì)于頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔內(nèi)流體流動(dòng)，我們可以求解無(wú)量綱納維-斯托克斯方程。

在不包含體積力的情況下，不可壓縮的穩(wěn)態(tài)納維-斯托克斯方程的形式為：

將速度（）、壓力（）和長(zhǎng)度尺度（）無(wú)量綱化后，可將方程修改為下列形式：

雷諾數(shù)的定義是。此無(wú)量綱參數(shù)描述了流體的慣性力相對(duì)于粘性力的比重大小。

通過(guò)比較這兩種方程形式，我們可以確定在求解無(wú)量綱化方程之前需要在COMSOL Multiphysics 模型中輸入哪些參數(shù)。具體來(lái)講，既然慣性項(xiàng)前面的系數(shù)為 1，因此我們?cè)诓牧咸匦灾性O(shè)密度為 1。粘性項(xiàng)的系數(shù)是，因此將它作為粘度輸入。

應(yīng)用非線(xiàn)性遞增

隨著雷諾數(shù)增大，與慣性項(xiàng)相比，粘性項(xiàng)在方程中的比重越來(lái)越低。由于粘性項(xiàng)在方程中是線(xiàn)性的，而慣性項(xiàng)是非線(xiàn)性的，因此雷諾數(shù)的增大使得問(wèn)題越來(lái)越接近非線(xiàn)性。當(dāng)求解非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)，我們通常選擇利用非線(xiàn)性遞增方法為求解器提供良好的初始條件。下列文章詳細(xì)討論了非線(xiàn)性遞增。

黏度遞增方法提高 CFD 模型的收斂性

通過(guò)遞增非線(xiàn)性改進(jìn)非線(xiàn)性問(wèn)題的收斂

在此模型中，我們?cè)谘芯恐袑?duì)多個(gè)雷諾數(shù)進(jìn)行輔助掃描。這樣做有兩個(gè)目的：

將不同雷諾數(shù)的解與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較

演示如何通過(guò)采用非線(xiàn)性遞增方法來(lái)幫助求解

為了方便收斂，此例中的問(wèn)題不需要非線(xiàn)性遞增。不過(guò)如果處理高度非線(xiàn)性的問(wèn)題，非線(xiàn)性遞增是改進(jìn)收斂性的一個(gè)重要技巧。

設(shè)置邊界條件和約束

至于邊界條件，頂壁朝 x 方向以 U = 1 的速度移動(dòng)。其他三個(gè)壁被施加了無(wú)滑移條件（U = 0）。

頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔模型的邊界條件。

盡管以上邊界條件充分描述了待求解的物理問(wèn)題，我們還需要對(duì)密閉的空腔施加另外一個(gè)必要條件：壓力點(diǎn)約束。處于穩(wěn)態(tài)的密閉系統(tǒng)中不存在具有明確壓力水平的入口或出口。缺少了參考?jí)毫Γ{維-斯托克斯方程對(duì)于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題有無(wú)數(shù)個(gè)解，因?yàn)樗鼈冎荒芮蠼怆S壓力梯度而變化的問(wèn)題。因此，壓力點(diǎn)約束規(guī)定了流體的絕對(duì)壓力水平。當(dāng)施加 p = 0 的壓力點(diǎn)約束時(shí)，這相當(dāng)于 1 atm 的絕對(duì)壓力，介紹如何指定流體壓力的文章就這一點(diǎn)給出了解釋。

只要求解密閉空腔內(nèi)的穩(wěn)態(tài)流，不管是攪拌釜式反應(yīng)器還是自然對(duì)流問(wèn)題，一定要在流體內(nèi)遠(yuǎn)離流場(chǎng)關(guān)心區(qū)域施加壓力點(diǎn)約束。使用壓力點(diǎn)約束的示例模型有水杯中的自然對(duì)流和模塊化攪拌器教程。

通過(guò)映射網(wǎng)格劃分將域離散化

既然定義好了邊界條件，接下來(lái)思考如何將求解域離散化。頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔問(wèn)題是演示如何借助映射網(wǎng)格高效且有效地對(duì)四邊形幾何進(jìn)行離散化的完美示例。映射網(wǎng)格使用矩形單元進(jìn)行域離散化。我們無(wú)需均勻分割這些單元。事實(shí)上，我們可以利用網(wǎng)格序列中的映射 節(jié)點(diǎn)下的分布 子節(jié)點(diǎn)沿邊界定義單元之間的距離。在頂蓋驅(qū)動(dòng)腔體中，我們希望在流動(dòng)梯度更高的地方，也就是無(wú)滑移壁附近堆疊更多單元，這樣就可以在所有邊上施加對(duì)稱(chēng)分布特征。

頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔模型的映射網(wǎng)格。

此例中，我們對(duì)正方形劃分了映射網(wǎng)格，事實(shí)上該技術(shù)可應(yīng)用于任何四邊幾何結(jié)構(gòu)。我們甚至可以將不規(guī)則的幾何結(jié)構(gòu)分割成多個(gè)四邊實(shí)體，從而更方便地劃分映射網(wǎng)格。一些情況下，映射網(wǎng)格比自由三角形網(wǎng)格的計(jì)算效率更高，而且更容易控制單元間距。與映射網(wǎng)格相關(guān)的案例，請(qǐng)參考平板上方的非等溫湍流和管式反應(yīng)器中的分解反應(yīng)教程。

CFD 仿真結(jié)果與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

現(xiàn)在我們一起查看結(jié)果。首先是采用彩虹色表繪制的空腔內(nèi)的速度大小，以及利用向量圖指示的流動(dòng)方向。可以看到，空腔頂部的速度接近于 U = 1，此處的流體流動(dòng)是由移動(dòng)壁驅(qū)動(dòng)的。流體被推向右側(cè)的壁后，先向下流動(dòng)，再回到腔體左側(cè)。運(yùn)動(dòng)在空腔中心產(chǎn)生了一個(gè)大型渦流。圖片顯示，當(dāng)雷諾數(shù)較低，例如等于 100 時(shí)（左圖），由于粘性項(xiàng)較大而造成的能量損耗，空腔中心的速度較小。雷諾數(shù)增加到 10000 后（右圖），空腔內(nèi)的速度加快，渦流明顯擴(kuò)展到了空腔底部。

當(dāng)雷諾數(shù)等于 100（左圖）和 1000（右圖）時(shí)，空腔內(nèi)的流體速度和流動(dòng)方向。

頂蓋驅(qū)動(dòng)腔是一個(gè)基準(zhǔn)問(wèn)題，因此我們需要參考現(xiàn)有文獻(xiàn)（Ref. 1）進(jìn)行比較。首先查看空腔中心線(xiàn)上的速度。下方左圖沿垂直中心線(xiàn)繪制了速度（u）的 x 軸分量，右圖為沿水平中心線(xiàn)的速度（v）的 y 軸分量。在這個(gè)雷諾數(shù)范圍內(nèi)，仿真結(jié)果與文獻(xiàn)極為一致。

比較仿真結(jié)果與文獻(xiàn)中，不同雷諾數(shù)下速度的 x 軸分量（左圖）和 y 軸分量（右圖）。

下方的速度繪圖表明大型渦流形成于空腔的中心，但是空腔角落的流動(dòng)情況又如何呢？我們利用流線(xiàn)繪制了空腔內(nèi)各個(gè)區(qū)域的流動(dòng)結(jié)構(gòu)。由于仿真沒(méi)有入口，我們將流線(xiàn)定位 設(shè)為均勻密度（而不是在所選邊界上）。

將流線(xiàn)定位設(shè)置為均勻密度的設(shè)置窗口。

我們可以看到，對(duì)于較低的雷諾數(shù)，流體在左下角和右下角附近分離，并形成了兩個(gè)渦流。隨著雷諾數(shù)增大，流體的慣性增強(qiáng)，導(dǎo)致流動(dòng)更早地與壁分離，并產(chǎn)生了更大的角速度。雷諾數(shù)進(jìn)一步增大后，左上角形成了第三個(gè)渦流。對(duì)于最大的雷諾數(shù)（10000），除了左上角的渦流外，底部?jī)蓚€(gè)角落又產(chǎn)生了兩個(gè)渦流。

不同雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的空腔流動(dòng)。

頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔問(wèn)題的結(jié)語(yǔ)

我們?cè)诒疚闹姓故玖巳绾味x經(jīng)典的 CFD 問(wèn)題——頂蓋驅(qū)動(dòng)空腔問(wèn)題。輔助掃描改進(jìn)了仿真的收斂性，使我們能夠求解多個(gè)雷諾數(shù)。我們還演示了如何借助映射網(wǎng)格劃分高效地對(duì)四邊形幾何離散化，并更好地對(duì)壁附近的流體的高梯度進(jìn)行解析。此外，通過(guò)比較仿真結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)，我們確定了二者基本相同。