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繼續(xù)上一篇,本文對(duì)離散信號(hào)的頻域分析(共5節(jié))中的第3節(jié)——離散傅里葉變換DFT(Discrete- Fourier Transform)中的第4個(gè)問題:3.4 DFT性質(zhì)中的后兩個(gè)進(jìn)行講解。
3.4 DFT的性質(zhì)
以下四個(gè)性質(zhì),上一篇中已經(jīng)學(xué)習(xí)了前兩個(gè),本文對(duì)前后個(gè)性質(zhì)——圓周共軛對(duì)稱性、Parseval定理進(jìn)行講解。
3、圓周共軛對(duì)稱性
這里不講證明(教材上都有),重點(diǎn)講怎么理解教材上讓人眼花繚亂的公式。我們把“公式”翻譯成“人話”。
首先說明一下,本文中所說的N點(diǎn)長序列,都指的是自變量取值范圍為0~N-1,除此之外的區(qū)間,序列值為0。
先看第一個(gè)。
(1)共軛序列的DFT
時(shí)頻域有這樣一個(gè)基本對(duì)應(yīng)關(guān)系——時(shí)域取共軛,對(duì)應(yīng)頻域自變量取負(fù)然后函數(shù)取共軛。具體到DFT呢?“自變量取負(fù)”也就是“反轉(zhuǎn)”,而“DFT隱含著周期性”,所以這里的“反轉(zhuǎn)”要加上“周期延拓,再取主值區(qū)間”,所以,公式及證明過程如下:
圖1
時(shí)域取共軛,對(duì)應(yīng)DFT是:先周期延拓,再反轉(zhuǎn),再取主值區(qū)間,最后取共軛。當(dāng)然,第一步與第二步可以交換次序,取共軛可以放在任意步驟上。關(guān)鍵是理解這個(gè)操作用公式的三種描述方式(上圖中畫紅線處)
第一種:X*((-k))NRN(k),是最直觀地展現(xiàn)上述過程的;
第二種:X*((N-k))NRN(k),可以認(rèn)為是利用其周期性(周期延拓得到的當(dāng)然是以N為周期的啦),把-k換成了N-k;
第三種:去掉了雙括號(hào),也去掉了RN(k),好像看不出“周期延拓”和“取主值區(qū)間”的操作了。大家會(huì)心存疑慮,這個(gè)等號(hào)成立嗎?
我們用下圖的例子來說明一下這個(gè)等號(hào)成立,為了畫圖的方便,我們用函數(shù)值為實(shí)數(shù)的情況,圖中是以n為自變量,換作k當(dāng)然也是一樣的。
圖2
x(N-n)可以看作簡(jiǎn)寫形式,優(yōu)點(diǎn)在于形式簡(jiǎn)潔明了,缺點(diǎn)在于掩蓋了周期延拓再取主值的過程。用這種簡(jiǎn)寫形式,要注意一點(diǎn),N點(diǎn)長序列x(n),n的取值范圍為0≤n≤N-1,也就是說,本來應(yīng)該x(N)=0。但是,此處,當(dāng)n=0時(shí),x(N-n)=x(N),不能認(rèn)為x(N)=0,而要認(rèn)為x(N)=x(0)。也就是說,要把x(n)的這N個(gè)點(diǎn),認(rèn)為是周期序列的主值區(qū)間,那么x(N)就是下一個(gè)周期的第一個(gè)點(diǎn),所以x(N)=x(0)。
用這種簡(jiǎn)寫形式來描述這個(gè)性質(zhì),就是:時(shí)域取共軛,對(duì)應(yīng)的DFT,相當(dāng)于把序號(hào)k與序號(hào)N-k做一個(gè)互換,然后取共軛。
下面,看這個(gè)性質(zhì)的兩個(gè)推論。
(2)第一個(gè)推論:實(shí)序列的DFT是圓周共軛對(duì)稱序列。
圖4
(此處省略若干公式)
”圓周共軛對(duì)稱“是個(gè)什么鬼?
我們按照以下幾步來解釋一下:
第一步:從“偶對(duì)稱、奇對(duì)稱”到“共軛對(duì)稱/共軛反對(duì)稱”
偶對(duì)稱/奇對(duì)稱地球人都知道吧。共軛對(duì)稱/反對(duì)稱就不是地球人都知道了,大學(xué)生才知道。
對(duì)于實(shí)函數(shù)x(n),如果x(-n)=x(n),稱之為偶對(duì)稱,x(-n)=-x(n)稱之為奇對(duì)稱。
擴(kuò)展到復(fù)函數(shù)x(n),如果x*(-n)=x(n),稱之為共軛對(duì)稱,x*(-n)=-x(n)稱之為共軛反對(duì)稱。
第二步:從“共軛對(duì)稱”到“圓周共軛對(duì)稱”
圓周共軛對(duì)稱的定義:對(duì)于N點(diǎn)長序列x(n),如果x(n)=x((N-n))NRN(n),或者用簡(jiǎn)寫形式:x(n)=x(N-n),那么稱之為“圓周共軛對(duì)稱”。
可以理解為:把x(n)放在一個(gè)圓周的N個(gè)等分點(diǎn)上,或者說把橫軸掰彎,彎成一個(gè)圓(n=N-1與原點(diǎn)重合),則這N個(gè)序列值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,或者說關(guān)于N/2也對(duì)稱。如下圖所示。
圖5
我們前面求解過的例題:5點(diǎn)矩形脈沖的DFT,如下圖,也體現(xiàn)出圓周偶對(duì)稱的特點(diǎn)。
圖6
(3)第二個(gè)推論:實(shí)部/虛部與圓周共軛對(duì)稱/反對(duì)稱分量的關(guān)系
首先解釋一下什么叫圓周共軛對(duì)稱分量和圓周共軛反對(duì)稱分量。需要經(jīng)過以下幾步循序漸進(jìn)的理解。
第一步:函數(shù)可以分解為偶分量+奇分量
圖7
第二步:從“偶分量/奇分量”到“共軛對(duì)稱分量/共軛反對(duì)稱分量”
把(1)式中的x(-n)改為x*(-n)即可
圖8
以上兩式,無論是對(duì)無限長序列,還是有限長序列,都是適用的。如果x(n)為N點(diǎn)長,并且0≤n≤N-1,那么xe(n)和xo(n)是2N-1點(diǎn)長,并且-(N-1)≤n≤N-1。
第三步:改造成適合DFT的
凡是涉及到自變量取負(fù)(也就是反轉(zhuǎn))的,都加上“周期延拓,再取主值區(qū)間”的操作。也就是把(2)式中的x(-n)改為x((N-n))NRN(n),用簡(jiǎn)寫形式表示就是x(N-n)
因此,得到圓周共軛對(duì)稱分量和圓周共軛反對(duì)稱分量的定義:
圖9
注意,前提是x(n)為N點(diǎn)長序列,并且n的范圍是0≤n≤N-1,圓周共軛對(duì)稱/反對(duì)稱分量的長度仍是N,n的范圍也不變。而且如前所述,n=0時(shí),x(N-0)=x(N)=x(0)。
上面,是以x(n)為例,同樣,對(duì)于DFT X(k),也可以定義圓周共軛對(duì)稱/反對(duì)稱分量,不再贅述。
解釋完這些,我們的核心公式就出來啦(證明過程省略,直接看結(jié)論)。
序列 x(n)及其DFT的實(shí)部/虛部與圓周共軛對(duì)稱/反對(duì)稱分量之間的關(guān)系 ,見下圖:
圖10
(此處省略若干公式)
翻譯成人話(繞口令)就是:
序列實(shí)部的DFT是序列DFT的共軛對(duì)稱分量
序列虛部×j的DFT是序列DFT的共軛反對(duì)稱分量
序列共軛對(duì)稱分量的DFT是序列DFT的實(shí)部
序列共軛反對(duì)稱分量的DFT是序列DFT的虛部×j
是不是像繞口令,但總比公式強(qiáng)多了。
這一切,意義何在?
第一,從圖形上可以淋漓盡致地體現(xiàn)DFT隱含的周期性。
第二,為DFT的簡(jiǎn)化運(yùn)算提供了思路。
4、Parseval定理
圖11
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原文標(biāo)題:數(shù)字信號(hào)處理系列串講第8篇(離散信號(hào)的頻域分析之三)——離散傅里葉變換DFT(3)
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