本文是離散信號的頻域分析（共5節）中的第5節——傅里葉變換的應用的第一篇。

在開始學習之前，提醒大家，本節內容的學習，需要用到前面DTFT、DFT以及FFT的知識。如果前面這些內容沒有掌握的話，那就不具備繼續學習本節內容的條件。當然，本節內容的學習，可以加深對前面這幾個問題的深化理解。

本節內容分為兩部分：5.1FFT分析信號頻譜；5.2FFT實現線性卷積。本文是第一部分：FFT分析信號頻譜。

5.1FFT分析信號頻譜

1. 用FFT實現頻譜分析的基本過程

我們知道，現實世界中的絕大多數物理量都是以連續變化的形式存在的，而做為離散傅里葉變換，只能處理有限長的離散數據。所以對信號進行FFT之前，必須首先將其進行離散化處理并截取合適的長度。

下圖為用FFT實現頻譜分析的基本過程。

下面我們詳細來看具體每一步對信號做了什么樣的處理，我們重點關注這些處理對信號的頻譜特征有什么樣的影響。

2. 時域抽樣

第一步為時域抽樣，我們已經學習過。其作用是將連續時間信號按照一定的抽樣間隔離散化，得到離散數據。時域抽樣包含兩個過程：

首先，將連續時間信號通過理想低通濾波器，該濾波器又稱為“抗混疊濾波器”，作用是濾除高于抽樣頻率一半的高頻分量，防止抽樣時發生頻譜混疊。

然后，對信號進行抽樣。抽樣后得到離散時間信號x(n)，其頻譜，能否代表原來的連續時間信號的頻譜信息呢？

當然能！因為只要滿足抽樣定理，抽樣后的離散數值就可以完全代表原來連續時間信號的信息。但問題是，離散時間信號的頻譜，已經是數字域頻率，攜帶的頻率信息，需要轉換為模擬頻率，如何轉換？

這個問題，本公號前面有文章專門論述，鏈接如下：

數字信號處理系列（離散信號的頻域分析之二）——數字域頻率與模擬角頻率

本文不再重復，只給出結論。

根據上圖的公式反推：

模擬角頻率 = 數字域頻率 * 抽樣頻率fs

3. 時域加窗

下面我們分析第二步——時域加窗。

從三個方面來看：第一，為什么要加窗？第二，怎樣實現加窗？第三，加窗有什么影響？

首先看，為什么要加窗？無他，因為數據太長太多，處理不了啊，臣妾做不到；或者是處理時間太長，臣妾等不及啊。更有甚者，有時輸入信號是無限長的，總不能等到世界末日再去處理吧？

然后看，怎樣實現加窗？

最簡單加窗方式，就是將很長很長的數據，與矩形脈沖RN(n)相乘，就實現了截取n=0~N-1這N個點。RN(n)稱為“矩形窗”。

除了矩形窗，有沒有其他形式的窗呢？有，但這是后話，以后再講。

這里重點分析第三個問題——加窗有什么影響？

先看一般的信號，如下圖所示，頻譜為示意圖。根據“時域相乘，頻域卷積”，加窗后信號的頻譜，是原來的頻譜X(w)與矩形窗的頻譜W(w)做卷積，那么，卷積后的頻譜（也即加窗后的頻譜）是什么樣子呢？和很多因素有關（原始信號的頻譜、窗函數的頻譜、長度等等）。從何處入手來分析呢？

我們知道，正弦信號是基本信號，因為復雜信號可以看是一個個不同頻率的正弦信號組合而成，所以下面首先分析正弦信號。

我們知道，無限長正弦信號的頻譜為正負w0處的沖激，如下圖（a），矩形窗的頻譜，如下圖（b）。二者卷積后（也就是N點長的正弦信號）的頻譜，如圖（c）。

比較圖（a）和圖（c），可以看到，加窗后信號的頻譜與加窗前相比，發生了哪些變化呢？變寬了，原來窄窄的一條（瘦成閃電）變成寬寬的胖子，而且出現起伏的尾巴。

用術語說，就是：

時域加窗，導致頻譜的擴散——拖尾、變寬，稱為頻譜泄漏（Leakage）。

為什么變胖？是因為矩形窗函數的頻譜胖（主瓣）。胖的程度，取決于N。N越小主瓣越寬，則越胖。所以，我們要想減少主瓣泄露，可以適當增大N。

為什么出現尾巴？是因為矩形窗函數的頻譜有起伏（旁瓣）。要想減小旁瓣泄露，就要降低窗函數旁瓣的幅度。

但是，我們知道，矩形窗函數，旁瓣幅度與主瓣幅度之比是一定的（-13dB左右），增大N并不能改變這一數值。那么，如何是好呢？

對數據加矩形窗是我們很自然的行為，因為它不改變截取部分信號的取值。但是矩形窗在起點和終點都是不連續的，也就是說，數據是突然開始、突然結束的。從物理概念上很好解釋，這種時域上的突然變化，意味著頻域上存在高頻分量。如果抑制了這些高頻分量，就能夠降低旁瓣幅度。因此從這樣一個角度，直觀上就可以想到，窗函數的起始處和結束處越平坦，對旁瓣的抑制就應該越好。關于窗函數的內容，我們后面會專門學習。

前面分析了加窗對信號頻譜的影響，總結一句話：時域加窗，會導致頻譜泄露——頻譜展寬、拖尾。同時，我們必須認識到，在進行DFT運算時，時域加窗是必須的，因此泄漏現象是離散傅里葉變換所固有的，無法消除，只能在計算量等容許的范圍內，盡量抑制泄露現象。

4.頻域抽樣（DFT）

經過前面兩步，數據離散化了，也是有限長的了，準備工作終于完成了，可以做DFT了。

DFT，也就是頻域抽樣。其實質就是對信號v(n)的頻譜（DTFT）離散化，[0，2Π]區間上離散化成N個點，就是N點DFT。注意，這個N是指DFT的點數，而不是前文中的信號長度。

v(n)的頻譜也就是上圖中的（c），但我們首先需要把圖（c）變一下。

為什么需要變一下呢？所有離散時間信號的頻譜，都是以2Π為周期的，圖（a）（b）（c）實際上畫出的是-Π~Π區間內的圖形。為了和DFT的研究區間一致（[0，2Π]），我們把圖（c）變成[0，2Π]區間，也就是下圖（d）。

然后，把它以2Π/N為間隔離散化，得到的就是最后的結果V(k)。如下圖（e）所示。

理論分析講完了，最后出一個題。