本文將討論：循環神經網絡(Recurrent Neural Networks ，以下簡稱RNN)，它廣泛的用于自然語言處理中的語音識別，手寫書別以及機器翻譯等領域。

1. RNN概述

在前面講到的DNN和CNN中，訓練樣本的輸入和輸出是比較的確定的。但是有一類問題DNN和CNN不好解決，就是訓練樣本輸入是連續的序列,且序列的長短不一，比如基于時間的序列：一段段連續的語音，一段段連續的手寫文字。這些序列比較長，且長度不一，比較難直接的拆分成一個個獨立的樣本來通過DNN/CNN進行訓練。

而對于這類問題，RNN則比較的擅長。那么RNN是怎么做到的呢？RNN假設我們的樣本是基于序列的。比如是從序列索引 1 到序列索引 T 的。對于這其中的任意序列索引號 t，它對應的輸入是對應的樣本序列中的。而模型在序列索引號 t 位置的隱藏狀態，則由共同決定。在任意序列索引號 t，我們也有對應的模型預測輸出。通過預測輸出和訓練序列真實輸出，以及損失函數，我們就可以用DNN類似的方法來訓練模型，接著用來預測測試序列中的一些位置的輸出。

下面我們來看看RNN的模型。

2. RNN模型

RNN模型有比較多的變種，這里介紹最主流的RNN模型結構如下：

上圖中左邊是RNN模型沒有按時間展開的圖，如果按時間序列展開，則是上圖中的右邊部分。我們重點觀察右邊部分的圖。

這幅圖描述了在序列索引號t附近RNN的模型。其中：

1）和代表在序列索引號 t?1 和 t+1 時訓練樣本的輸入。

2）

3）

4）

5）代表在序列索引號 t 時訓練樣本序列的真實輸出。

6）U，W，V這三個矩陣是我們的模型的線性關系參數，它在整個RNN網絡中是共享的，這點和DNN很不相同。 也正因為是共享了，它體現了RNN的模型的“循環反饋”的思想。

3. RNN前向傳播算法

有了上面的模型，RNN的前向傳播算法就很容易得到了。

對于任意一個序列索引號t，我們隱藏狀態

其中 σ 為RNN的激活函數，一般為 tanh, b為線性關系的偏倚。

序列索引號 t 時模型的輸出

?+ c

在最終在序列索引號 t 時我們的預測輸出為:

通常由于RNN是識別類的分類模型，所以上面這個激活函數一般是softmax。

通過損失函數

4. RNN反向傳播算法推導

有了RNN前向傳播算法的基礎，就容易推導出RNN反向傳播算法的流程了。RNN反向傳播算法的思路和DNN是一樣的，即通過梯度下降法一輪輪的迭代，得到合適的RNN模型參數 U，W，V，b，c 。由于我們是基于時間反向傳播，所以RNN的反向傳播有時也叫做BPTT(back-propagation through time)。當然這里的BPTT和DNN也有很大的不同點，即這里所有的 U，W，V，b，c 在序列的各個位置是共享的，反向傳播時我們更新的是相同的參數。

為了簡化描述，這里的損失函數我們為交叉熵損失函數，輸出的激活函數為softmax函數，隱藏層的激活函數為tanh函數。

對于RNN，由于我們在序列的每個位置都有損失函數，因此最終的損失 L 為：

其中 V，c，的梯度計算是比較簡單的：

但是 W，U，b 的梯度計算就比較的復雜了。從RNN的模型可以看出，在反向傳播時，在在某一序列位置t的梯度損失由當前位置的輸出對應的梯度損失和序列索引位置 t+1 時的梯度損失兩部分共同決定。對于 W 在某一序列位置t的梯度損失需要反向傳播一步步的計算。我們定義序列索引 t 位置的隱藏狀態的梯度為：

這樣我們可以像DNN一樣從遞推?。

對于，由于它的后面沒有其他的序列索引了，因此有：

有了

除了梯度表達式不同，RNN的反向傳播算法和DNN區別不大，因此這里就不再重復總結了。

5. RNN小結

上面總結了通用的RNN模型和前向反向傳播算法。當然，有些RNN模型會有些不同，自然前向反向傳播的公式會有些不一樣，但是原理基本類似。

RNN雖然理論上可以很漂亮的解決序列數據的訓練，但是它也像DNN一樣有梯度消失時的問題，當序列很長的時候問題尤其嚴重。因此，上面的RNN模型一般不能直接用于應用領域。在語音識別，手寫書別以及機器翻譯等NLP領域實際應用比較廣泛的是基于RNN模型的一個特例LSTM，下一篇我們就來討論LSTM模型。