單精度是什么意思

單精度數(shù)是指計算機表達實數(shù)近似值的一種方式。VB中Single（單精度浮點型）變量存儲為 IEEE 32 位（4 個字節(jié)）浮點數(shù)值的形式，它的范圍在負數(shù)的時候是從 -3.402823E38 到 -1.401298E-45，而在正數(shù)的時候是從 1.401298E-45 到 3.402823E38 。

雙精度是什么意思

在計算機里實數(shù)中的浮點數(shù)是以科學計數(shù)法存儲，所以在存儲和讀取的時候需要考慮精度的問題，但是，由于數(shù)據(jù)的使用需要，也會有不同精度的需要，例如存儲身高信息和存儲衛(wèi)星的飛行信息要求的精度必要是不一樣的，再者，考慮存儲信息的效率問題，同樣大小的存儲介質(zhì)存儲高精度的信息必然比低精度的信息要多，為了平衡，所有就有單精度float和雙精度double，同樣是61.1126537這個數(shù)，經(jīng)過計算機處理后用float存儲和賭博了存儲是不一樣的。

浮點數(shù)的表示和精度

如果a》0，那么1+a一定大于1嗎？在數(shù)學上，答案是肯定的。但在計算機上，答案就與a的大小和浮點數(shù)的精度有關(guān)了。在matalb上，可以作以下計算：

》》 a=1/2^52

a =

2.220446049250313e-016

》》 1+a》1

ans =

1

》》 a=1/2^53

a =

1.110223024625157e-016

》》 1+a》1

ans =

0

可見，當a等于1/2^53時，1+a》1是不成立的。

1 浮點數(shù)

IEEE754定義了單精度浮點數(shù)和雙精度數(shù)浮點數(shù)，即float和double。float有32bit，double有64bit。它們都包括符號位、指數(shù)和尾數(shù)。

符號位有1bit，0表示正、1表示負。設(shè)一個數(shù)的指數(shù)是e，指數(shù)部分的值是bias+e。加上一個bias是為了表示負數(shù)。 float的bias是127，double的bias是1023。指數(shù)全0或全1有特殊含義，不算正常指數(shù)。

float的指數(shù)部分有8bit，可以取值1~254，減掉127，得到對應(yīng)的指數(shù)范圍-126~127。

double的指數(shù)部分有11位，可以取值1~2046，減掉1023，得到對應(yīng)的指數(shù)范圍-1022~1023。

這里的指數(shù)是以2為底的，同樣尾數(shù)也是二進制的。IEEE754要求浮點數(shù)以規(guī)范形式存儲，即小數(shù)點前有1位非零數(shù)字。 對于二進制數(shù)，非零數(shù)字只有1。所以IEEE754在存儲時省略了這個小數(shù)點前面的1，只存儲小數(shù)點后面的位。

2 誤差

看個例子，設(shè)：

double a=0.2;

在PC上，我們可以看到a對應(yīng)的存儲區(qū)數(shù)據(jù)是：

9A 99 99 99 99 99 C9 3F

PC的數(shù)據(jù)是小尾的，即低位字節(jié)在后，將其寫成高位字節(jié)在前，得到：

3F C9 99 99 99 99 99 9A

可見符號位為0。指數(shù)位是0x3FC，即1020，減掉1023，得到指數(shù)-3。尾數(shù)是999999999999A。所以完整的數(shù)字就是16進制的1.999999999999A乘上2^-3。即：

a=（1+9*（1/16+1/16^2+.。.+1/16^12）+10/16^13）*2^-3

（1/16+.。.+1/16^12）可以用等比級數(shù)求和公式a1*（1-q^n）/（1-q）計算，其中a1=1/16，q=1/16，n=12，因此：

a=（1+9*（1-1/16^12）/15+10/16^13）*2^-3

用windows的計算器計算上式，得到

a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157

這也不是精確解，但已經(jīng)可以看到用double表示0.2時存在的誤差。這個例子說明在用有限字長的二進制浮點數(shù)表示任意實數(shù)a可能引入誤差。 設(shè)實數(shù)a的指數(shù)為e，尾數(shù)位數(shù)為n，顯然：

誤差《（1/2^n）*2^e

3 精度

可以把機器精度定義為滿足條件

fl（1+ε）》1

的最小浮點數(shù)ε。其中fl（1+ε）是1+ε的浮點表示。顯然double的機器精度是1/2^52。float的機器精度是1/2^23。 matlab內(nèi)部采用double，1+1/2^53對double來說就是1，所以1+1/2^53不會大于1。

對于規(guī)范數(shù)來說，因為小數(shù)點前默認有個1，所以float的有效數(shù)字是24bit，對應(yīng)8位十進制有效數(shù)字； double的有效數(shù)字是53bit，對應(yīng)16位十進制有效數(shù)字。

4 特殊的浮點數(shù)

前面提到浮點數(shù)的指數(shù)全0或全1有特殊含義，讓我們來看看這些特殊的浮點數(shù)：

指數(shù)和尾數(shù)都是全0表示0。根據(jù)符號位不同可以分為+0和-0。

指數(shù)全0，尾數(shù)不為全0，這些數(shù)是非規(guī)范數(shù)，即尾數(shù)部分不假設(shè)前面存在小數(shù)點前的1。 或者說這些數(shù)太接近0了，因為指數(shù)已經(jīng)不能再小，所以這些數(shù)不能寫成規(guī)范形式。 例如：double數(shù)0000 0000 0000 0001的尾數(shù)是0 0000 0000 0001，即1/2^52，對應(yīng)的數(shù)是1/（2^52）*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。

指數(shù)全1，尾數(shù)全0表示無窮大，即inf。根據(jù)符號位不同可以分為+inf和-inf。

指數(shù)全1，尾數(shù)不為全0表示NaN，即Not a Number，不是數(shù)。尾數(shù)最高位為1的NaN被稱作QNaN（Quiet NaN）。 尾數(shù)最高位為0的NaN被稱作SNaN（Signalling NaN）。通常用QNaN表示不確定的操作，用SNaN表示無效的操作。

在計算機內(nèi)部，double就是一個64位數(shù)。從0x0000 0000 0000 0000~0xFFFF FFFF FFFF FFFF，每個64位數(shù)都對應(yīng)一個浮點數(shù)或NaN。 我寫了一個小程序，按照64位無符號整數(shù)的順序打印出典型的浮點數(shù)。 表格的第一列是浮點數(shù)的內(nèi)部表示。為了便于閱讀，按大尾順序輸出。第二列是對應(yīng)的浮點數(shù)。 第三列是注釋，對于非規(guī)范數(shù)和規(guī)范數(shù)給出了由內(nèi)部表示計算數(shù)值的matlab算式。 注意在C/C++中，2^52要寫成pow（2.0，52.0）。

從表中可以看到，double內(nèi)部表示的設(shè)計是很有規(guī)律的，按照對應(yīng)64位數(shù)的順序依次為 +0、正非規(guī)范數(shù)、正規(guī)范數(shù)、正無窮大、符號位為正的NaN、-0、負非規(guī)范數(shù)、負規(guī)范數(shù)、負無窮大、符號位為負的NaN。

double內(nèi)部表示的設(shè)計保持了浮點數(shù)的有序性。即：如果正double數(shù)a《正double數(shù)b，則a對應(yīng)的64位無符號整數(shù)《b對應(yīng)的64位無符號整數(shù)。 負數(shù)因為差了個符號，所以浮點數(shù)與對應(yīng)整數(shù)的順序相反。 float也有類似的規(guī)律。

float和int都是32bit，但float的尾數(shù)只用了23bit。int的精度高于float，float的表示范圍大于int。float犧牲精度換取了更大的表示范圍。 double的尾數(shù)是52bit，高于32bit的int，所以用dobule表示int不會有精度損失。 double是科學計算的常用類型，了解double的內(nèi)在和限制，有助于我們更好地使用它。