FPGA是實現(xiàn)數(shù)字信號處理的一種高效手段。在實現(xiàn)高帶寬信號處理領(lǐng)域，F(xiàn)PGA技術(shù)可以通過一個芯片上的多級運算單元來獲得比通用DSP芯片更高的運算速度[2]。由于采樣率變換能用一種并行的方法實現(xiàn)，使用FPGA來實現(xiàn)就可以利用其硬件本身的并行性得到較高的效率。

　　1 有理數(shù)采樣率變換器的原理

　　從概念上講，采樣率變換器可以通過數(shù)/模轉(zhuǎn)換，再對模擬信號進行給定頻率的模/數(shù)轉(zhuǎn)換得到。在實際的系統(tǒng)中，通過在數(shù)字域利用抽取和內(nèi)插運算實現(xiàn)是一種更為合理和有效的手段。

　　抽取是降低采樣率的方法。在時域上，D倍(D為抽取因子)抽取就是從原始序列中每隔D-1個樣點取出一個構(gòu)成新的數(shù)字序列。在頻域上，這一運算可以看成是頻譜的壓縮, 即原來以Ω sat1為周期的頻譜變?yōu)橐驭?sat2為周期的頻譜。為避免可能引起的混迭失真，抽取前應(yīng)使原信號通過一個低通濾波器。其抽取的示意圖及實現(xiàn)框圖如圖1所示。

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　　內(nèi)插是提高采樣率的方法。實際的內(nèi)插系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成：(1)零值插值器。設(shè)插值因子為I, I倍零值內(nèi)插就是在原始序列任意兩個樣本間加入I-1個零值樣本。在頻域上，頻譜進行了擴張,即原來以Ω sat1為周期的頻譜變?yōu)橐驭?sat2為周期的頻譜。從Ω c到Ω sat2-Ω c的頻帶被稱為鏡像頻譜。(2)低通濾波器。信號經(jīng)過此濾波器后，鏡像頻譜被濾去，從而得到采樣率提高的信號序列。內(nèi)插圖示及實現(xiàn)框圖如圖2所示。

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　　利用抽取系統(tǒng)和內(nèi)插系統(tǒng)的級連，就可以得到有理數(shù)采樣率轉(zhuǎn)換器的基本方案。一般地，對于 I/D 倍數(shù)的有理數(shù)采樣變換，通過先內(nèi)插后抽取的方法，可以得到如圖3所示的實現(xiàn)框圖。圖3(a)中的第二部分和第三部分是兩個低通濾波器的級連，因而總的濾波效果等效為通帶邊緣較低的低通濾波器，合并后得到框圖3(b)。

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　　然而，對于上述三個系統(tǒng)，利用原始框圖直接實現(xiàn)并不是一個很好的方案。如從圖3可以看出，該系統(tǒng)最主要的運算量在濾波器的實現(xiàn)部分，圖3(b)中濾波器的采樣率為 F3=I，F(xiàn)1=DF2, 濾波運算是在最高采樣率的部分實現(xiàn)的，這是不經(jīng)濟的。換一種說法，比如對后兩級的系統(tǒng)，經(jīng)濾波后的序列每D個樣本中僅有一個是實際需要的，而D-1樣本的運算被丟棄了。

　　2 FIR濾波器的多相分解與多采樣率系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)變換

　　利用FIR濾波器的多相分解[1～2]及多采樣率系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換[1]，可以得到降低了運算代價的采樣率變換器的多相結(jié)構(gòu)。

　　FIR濾波器的多相分解是指將數(shù)字濾波器H(z)可分解為若干個不同的組。設(shè)H(z)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

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　　式中,N為濾波器長度，設(shè)N為D的整數(shù)倍, 即N/D=Q, Q為整數(shù)，可將沖激響應(yīng)h(n)分成D個組，且有：

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　　對于多采樣率網(wǎng)絡(luò)，存在下面幾個等效變換:

　　T1: 抽取與乘常數(shù)可以換位。

　　T2: 零值插值和乘常數(shù)可以換位。

　　T3:兩個信號先分別抽取然后相加，以及先相加然后抽取等效。

　　T4:抽樣率相同的兩個信號先分別零值內(nèi)插(內(nèi)插因子相等)然后相加，以及先相加然后零值內(nèi)插等效。

　　T5：如果I和D 互質(zhì)，則抽取與內(nèi)插可以交換。

　　此外，Nobel關(guān)系式[3]給出了抽取/內(nèi)插與濾波器級連時如圖4所示的等效變換。

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　　Nobel 關(guān)系式的意義在于：在抽取與濾波級連時，首先進行抽取運算，可以把濾波器的長度降低一個D因子; 內(nèi)插與濾波級連時，首先進行濾波運算，可以使濾波器的的長度降低一個I因子。

　　3 采樣率變換器的多相表示結(jié)構(gòu)

　　通過對圖1中的整數(shù)倍速抽取器系統(tǒng)進行多相分解(分解式1)，然后依次進行T3及Nobel變換(抽取)，可以得到抽取系統(tǒng)的多相結(jié)構(gòu)。此結(jié)構(gòu)中濾波器將在F2=F1/D的采樣率下進行，也就是說，對于給定的芯片和濾波器結(jié)構(gòu)，濾波器能達到最高時鐘頻率相同時，該結(jié)構(gòu)能處理的帶寬是圖1的D倍，或者說對相同采樣率的數(shù)據(jù)，該結(jié)構(gòu)對濾波器最高時鐘頻率的要求降低為原來的1/D，因而是一種高效的實現(xiàn)方式。

　　類似地，對圖2中的整數(shù)內(nèi)插系統(tǒng)進行多相分解(分解式2),并依次進行T4及Nobel變換(零內(nèi)插),以得到整數(shù)內(nèi)插的多相結(jié)構(gòu)，通過變換，將以F1=F2/I的采樣率進行濾波運算。

　　分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換器的多相結(jié)構(gòu)有多種實現(xiàn)方案。

　　(1)如果I與D不互質(zhì),可以利用已經(jīng)得到的多相結(jié)構(gòu)，然后與抽取或內(nèi)插級連實現(xiàn)。如圖3(b)中可以把前兩部分用圖5的多相結(jié)構(gòu)實現(xiàn)或把后兩部分用圖6的多相結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，具體選擇時可參考D與I的數(shù)值。

　　(2)如果I與D互質(zhì),則可以轉(zhuǎn)化為更為高效的多相結(jié)構(gòu)[1,4]。圖7即是I、D互質(zhì)時的一種高效結(jié)構(gòu)。這一結(jié)構(gòu)的推導利用了多相分解的分解式1和分解式2、T1～T5以及兩數(shù)互質(zhì)時的歐幾里德公式(若I、D互質(zhì)，則存在整數(shù)p、q,使得pI+qD=1)。這樣的結(jié)構(gòu)不是唯一的，通過多采樣率系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)變換，還可以得到其他的結(jié)構(gòu)。在此結(jié)構(gòu)中，濾波器運算是在F4的采樣率中進行的，且有F4=F1/D=F2/I，與最初的形式相比，濾波器的最高時鐘頻率相同時，處理帶寬增大為原來的I×D倍。

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　　該多相結(jié)構(gòu)中的Rm,n(z4)可以由原始濾波器經(jīng)過兩次多相分解而求得。特殊地，如果有濾波器的級數(shù)N=DI,則 Rm,n(z4)=h[(n+1)I-(m+1)T3]，為原始濾波器某一項的系數(shù)。

　　4 FPGA設(shè)計與驗證

　　由于整數(shù)倍抽取和內(nèi)插的實現(xiàn)過程可以包含在分數(shù)采樣率變換器的實現(xiàn)過程中，因此下面只討論I、D互質(zhì)的有理數(shù)采樣率變換器的實現(xiàn)。

　　根據(jù)圖7的多相結(jié)構(gòu)，對于I、D互質(zhì)的分數(shù)抽樣率轉(zhuǎn)化系統(tǒng)，可以分解為四個模塊：

　　(1)輸入與延時鏈模塊。這部分的時鐘周期應(yīng)該為T1。

　　(2)R0～RI-1的延時與抽取模塊。注意：抽取器只是在第0,D,……,N×D個時鐘周期讓信號通過，其他時鐘周期阻隔信號。若已知延時與抽取鏈的功能，則可用一個如圖8(a)所示的多相選擇開關(guān)來實現(xiàn)，而圖8(b)給出了該電路的一種實現(xiàn)方案，其中TClk_T4 =DTclk_T1,T4為模塊3的時鐘周期。

　　(3)本系統(tǒng)最為關(guān)鍵的部分是第三部分。該部分是運算的主體部分，對整個系統(tǒng)的資源利用率和時鐘性能有很大的影響。該模塊需要實現(xiàn)的是I×D個FIR濾波器。對于給定的設(shè)計，這些濾波器的系數(shù)是常數(shù),可由如下方法得到:

　　①根據(jù)低通濾波器的要求，用Matlab的FDAtool計算出濾波器的系數(shù)，并使其階數(shù)N=M×I×D，M為正整數(shù),可根據(jù)濾波器的需要選取。

　　②利用多相分解公式計算每個濾波器的系數(shù)。

　　③把所得到的數(shù)字進行定點化處理(比如系數(shù)同乘以2 048,取整，待計算出結(jié)果后右移11位)。

　　對于常系數(shù)的FIR濾波器，在FPGA實現(xiàn)時，有多種可以選擇的方式以降低復雜性。在本設(shè)計中，采用簡化的加法器圖[3]來實現(xiàn)，避免了使用資源代價較大的通用乘法器，同時提高了系統(tǒng)的整體性能。例如，在測試系統(tǒng)的設(shè)計中，需要計算132×x(n)、28×x(n-1)、126×x(n-2)、13×x(n-3),用圖9方案來實現(xiàn)時，將比用四個通用乘法器節(jié)省更多的LE資源，并且使最高的時鐘頻率得到了提高。表1給出了一個測試系統(tǒng)的資源與性能對比(使用了Altera公司的EP1C3T144C6芯片及Quartus II 5.1版本進行綜合)。

　　(4)第四部分是與第二部分類似的模塊。零內(nèi)插器的特點是某個時鐘周期有用信號通過，其余時鐘周期通過零值，因而內(nèi)插與延時相加模塊也可用一個多相選擇開關(guān)來實現(xiàn)。內(nèi)插與延時相加模塊實現(xiàn)電路圖如圖10所示。

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　　圖11給出了一個D=3、I=4、N為12時的分數(shù)采樣率變換的部分仿真結(jié)果(Modelsim 6.1)。其中，濾波器系數(shù)定點化為12位補碼，輸入、輸出數(shù)據(jù)為12位補碼整數(shù), 測試輸入序列為20kHz的正弦波波形序列，采樣率為600kHz,輸出為800kHz采樣的正弦波序列。通過把輸入輸出序列保存并做FFT變換，可以得到兩者的實際頻率相同的結(jié)論。

　　利用FIR濾波器的多相分解及多采樣率網(wǎng)絡(luò)變換技術(shù)，本文介紹了一種有理數(shù)采樣率變換器的高效多相結(jié)構(gòu)，并結(jié)合FPGA芯片的結(jié)構(gòu)進行了實現(xiàn)與優(yōu)化。文中的一些方法也適用于其他多采速率系統(tǒng)的設(shè)計。