研究一個客觀事物，首先要回答描述這個客觀事物有哪些變量？人們常說對客觀事物進行研究，實際上就是研究這些客觀事物中的變量及其變化規律。變化規律常用函數來表示，最簡單就是一元函數 y ? f （x） ，一個自變量 x 與一個因變量 y 之間的函數。它是高等數學研究的基本對象。給定了一元函數 y ? f （x） ，怎樣分析它的特性？是否連續、增長趨勢及快慢、有無極值點、函數曲線圍成的面積等等？逐一計算函數值，把函數圖形畫出來，可以大致了解函數的這些特性，這是初等數學能做到的。但是，怎樣嚴密準確地描述這些特性？初等數學可以做到否？是何樣的數學工具能做到？這是本章的主要內容。 2.1 極限客觀事物的變化趨勢是工程實際中最關心的問題。如果函數 y ? f （x） 在整個實數域上都有定義，則自變量 x 只要取“有限”數，總能根據函數式求出因變量 y 的值。因此，函數在有限區間的變化特性，可以通過求出每一點的函數值來研究。但是，如果自變量趨于無窮 x ? ? ，因變量 y 會怎樣？在那個不可企及的遙遠之處，函數是個怎樣的表現？能否從數學意義上嚴密準確地刻畫？這是一個“有點玄”的問題。另外，即便自變量是在有限區間取值，因變量的取值也可能會進入“無窮”的領域，如當 x ?1時， 1 1 y x ? ? ??。因此，無論是自變量還是因變量，當它們取值進入“無窮” 領域時，初等數學就難以從心了，因為初等數學研究的是“有限”數及其運算。再有，即便是“有限”數及其運算，但需要進行“無窮”次的話，初等數學也無力回答它最終結果。上述新問題必然要催生新概念，“極限”概念便應運而生。它是初等數學的方法與結論在高等數學的自然延伸。所以，怎樣用“有窮”的初等數學去解構“無窮”帶來的問題，是高等數學與初等數學的分水嶺，是學習高等數學時刻要警醒的，弄清楚這一點才不會感覺高等數學是“懸浮”的。