開關電源（Buck電路）的小信號模型及環路設計

摘要：建立了Buck電路在連續電流模式下的小信號數學模型，并根據穩定性原則分析了電壓模式和電流模式控制下的環路設計問題。

關鍵詞：開關電源；小信號模型；電壓模式控制；電流模式控制

0??? 引言

??? 設計一個具有良好動態和靜態性能的開關電源時，控制環路的設計是很重要的一個部分。而環路的設計與主電路的拓撲和參數有極大關系。為了進行穩定性分析，有必要建立開關電源完整的小信號數學模型。在頻域模型下，波特圖提供了一種簡單方便的工程分析方法，可用來進行環路增益的計算和穩定性分析。由于開關電源本質上是一個非線性的控制對象，因此，用解析的辦法建模只能近似建立其在穩態時的小信號擾動模型，而用該模型來解釋大范圍的擾動（例如啟動過程和負載劇烈變化過程）并不完全準確。好在開關電源一般工作在穩態，實踐表明，依據小信號擾動模型設計出的控制電路，配合軟啟動電路、限流電路、鉗位電路和其他輔助部分后，完全能使開關電源的性能滿足要求。開關電源一般采用Buck電路，工作在定頻PWM控制方式，本文以此為基礎進行分析。采用其他拓撲的開關電源分析方法類似。

1??? Buck電路電感電流連續時的小信號模型

??? 圖1為典型的Buck電路，為了簡化分析，假定功率開關管S和D₁為理想開關，濾波電感L為理想電感（電阻為0），電路工作在連續電流模式（CCM）下。R_e為濾波電容C的等效串聯電阻，R_o為負載電阻。各狀態變量的正方向定義如圖1中所示。

圖1??? 典型Buck電路

??? S導通時，對電感列狀態方程有

??? L=U_in－ U_o??? （1）

??? S斷開，D₁續流導通時，狀態方程變為

??? L=－U_o??? （2）

??? 占空比為D時，一個開關周期過程中，式（1）及式（2）分別持續了DT_s和（1－D）T_s的時間（T_s為開關周期），因此，一個周期內電感的平均狀態方程為

??? L=D(U_in－U_o)＋(1－D)(－U_o)=DU_in－U_o??? （3）

??? 穩態時，=0，則DU_in=U_o。這說明穩態時輸出電壓是一個常數，其大小與占空比D和輸入電壓U_in成正比。

??? 由于電路各狀態變量總是圍繞穩態值波動，因此，由式（3）得

??? L=(D＋d)(U_in＋)－(U_o＋)??? （4）

??? 式（4）由式（3）的穩態值加小信號波動值形成。上標為波浪符的量為波動量，d為D的波動量。式（4）減式（3）并略去了兩個波動量的乘積項得

??? L=D＋dU_in－??? （5）

由圖1，又有

??? i_L=C＋??? （6）

??? U_o=U_c＋R_eC??? （7）

式（6）及式（7）不論電路工作在哪種狀態均成立。由式（6）及式（7）可得

??? i_L＋R_eC=(U_o＋CR_o)??? （8）

??? 式（8）的推導中假設R_e<<R_o。由于穩態時=0，=0，由式（8）得穩態方程為i_L=U_o/R_o。

這說明穩態時電感電流平均值全部流過負載。對式（8）中各變量附加小信號波動量得

??? i_L＋＋R_eC=〔U_o＋＋CR_o〕（9）

式（9）減式（8）得

??? ＋R_eC=(＋CR_o)（10）

將式（10）進行拉氏變換得

??? (s)=??? （11）

??? 一般認為在開關頻率的頻帶范圍內輸入電壓是恒定的，即可假設=0并將其代入式（5），將式（5）進行拉氏變換得

??? sL(s)=d(s)U_in－(s)??? （12）

由式（11），式（12）得

??? =U_in??? （13）

??? =·??? （14）

式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續時的控制－輸出小信號傳遞函數。

2??? 電壓模式控制（VMC）

??? 電壓模式控制方法僅采用單電壓環進行校正，比較簡單，容易實現，可以滿足大多數情況下的性能要求，如圖2所示。

??? 圖2中，當電壓誤差放大器（E/A）增益較低、帶寬很窄時，V_c波形近似直流電平，并有

??? D=V_c/V_s（15）

??? d=/Vs（16）

式（16）為式（15）的小信號波動方程。整個電路的環路結構如圖3所示。

??? 圖3沒有考慮輸入電壓的變化，即假設=0。圖3中，（一般為0）及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號波動；K_FB=U_REF/U_o，為反饋系數；誤差e為輸出采樣值偏離穩態點的波動值，經電壓誤差放大器K_EA放大后，得；K_MOD為脈沖寬度調制器增益，K_MOD=d/=1/V_s；K_PWR為主電路增益，K_PWR=/d=U_in；K_LC為輸出濾波器傳遞函數，K_LC=。

圖2??? 電壓模式控制示意圖和相關波形

圖3??? 開關電源的電壓模式控制反饋環路圖

??? 在已知環路其他部分的傳遞函數表達式后，即可設計電壓誤差放大器了。由于K_LC提供了一個零點和兩個諧振極點，因此，一般將E/A設計成PI調節器即可，K_EA=K_P(1＋ω_z/s)。其中ω_z用于消除穩態誤差，一般取為K_LC零極點的1/10以下；K_P用于使剪切頻率處的開環增益以－20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

??? VMC方法有以下缺點：

??? 1）沒有可預測輸入電壓影響的電壓前饋機制，對瞬變的輸入電壓響應較慢，需要很高的環路增益；

??? 2）對由L和C產生的二階極點（產生180°的相移）沒有構成補償，動態響應較慢。

??? VMC的缺點可用下面將要介紹的CMC方法克服。

3??? 平均電流模式控制（Average? CMC）

??? 平均電流模式控制含有電壓外環和電流內環兩個環路，如圖4所示。電壓環提供電感電流的給定，電流環采用誤差放大器對送入的電感電流給定（V_cv）和反饋信號（i_LR_s）之差進行比較、放大，得到的誤差放大器輸出V_c再和三角波V_s進行比較，最后即得控制占空比的開關信號。圖4中R_s為采樣電阻。對于一個設計良好的電流誤差放大器，V_c不會是一個直流量，當開關導通時，電感電流上升，會導致V_c下降；開關關斷，電感電流下降時，會導致V_c上升。電流環的設計原則是，不能使V_c上升斜率超過三角波的上升斜率，兩者斜率相等時就是最優。原因是：如果V_c上升斜率超過三角波的上升斜率，會導致V_c峰值超過V_s的峰值，在下個周波時V_c和V_s就可能不會相交，造成次諧波振蕩。

圖4??? 開關電源平均電流模式控制示意圖

??? 采用斜坡匹配的方法進行最優設計后，PWM控制器的增益會隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

圖5??? PWM控制器增益與占空比變化關系圖

??? 當D很大時，較小的V_c會引起D較大的改變，而D較小時，即使V_c變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有

??? d=D/V_s（17）

??? 不妨設電壓環帶寬遠低于電流環，則在分析電流環時V_cv為常數。當V_c的上升斜率等于三角波斜率時，在開關頻率f_s處,電流誤差放大器的增益G_CA為

??? G_CA=G_CA(V_o/L)R_s=V_sf_s（18）

??? G_CA=/(R_s)=V_sf_sL/(U_oR_s)（19）

高頻下，將式（14）分子中的“1”和分母中的低階項忽略，并化簡，得

??? (s)=??? （20）

由式（17）及式（20）有

??? ==??? （21）

將式（19）與式（21）相乘，得整個電流環的開環傳遞函數為

??? ·=??? （22）

??? 將s=2πf_c代入上式，并令上式等于1時，可得環路的剪切頻率f_c=f_s/(2π)。因此，可將電流環等效為延時時間常數為一個開關周期的純慣性環節，如圖6所示。

圖6??? 電流環的傳遞函數示意圖

??? 顯然，當電流誤差放大器的增益G_CA小于最優值時，電流響應的延時將會更長。

??? G_CA中一般要在f_s處或更高頻處形成一個高頻極點，以使f_s以后的電流環開環增益以－40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環的抗干擾能力。低頻下一般要加一個零點，使電流環開環增益變大，減小穩態誤差。

??? 整個環路的結構如圖7所示。其中K_EA，K_FB定義如前。可見相對VMC而言（參見圖3），平均CMC消除了原來由濾波電感引起的極點（新增極點f_s很大，對電壓環影響很小），將環路校正成了一階系統,電壓環增益可以保持恒定，不隨輸入電壓V_in而變，外環設計變得更加容易。

圖7??? 電壓外環反饋環路圖

4??? 峰值電流模式控制（Peak? CMC）

??? 平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時顯得不太方便，因此，實踐中經常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環輸出控制量（V_c）和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(V_s)通過電壓比較器進行比較后，直接得到開關管的關斷信號（開通信號由時鐘自動給出），因此，電壓環的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

圖8??? 峰值電流模式控制示意圖

??? 峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流（經濾波后即負載電流），而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時電感電流在導通期間的電流增量設計為額定電流的10％左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5％，負載越輕誤差越大，特別是進入不連續電流（DCM）工作區后誤差將超過100％，系統有時可能會出現振蕩現象。在剪切頻率f_c以下，由圖6可知平均CMC的電流環開環增益可升到很高（可以>1000），電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環開環增益只能保持在10以內不變（峰值電流和平均值之間的誤差引起），因此，峰值CMC更適用于滿載場合。

??? 峰值CMC的缺點還包括對噪音敏感，需要進行斜坡補償解決次諧波振蕩等問題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優點，且容易通過脈沖電流互感器等簡單辦法復現電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應用。

5??? 結語

??? 采用平均狀態方程的方法可以得到Buck電路的小信號頻域模型，并可依此進行環路設計。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來進行環路設計，各有其優缺點，適用的范圍也不盡相同。