開(kāi)關(guān)電源（Buck電路）的小信號(hào)模型及環(huán)路設(shè)計(jì)

摘要：建立了Buck電路在連續(xù)電流模式下的小信號(hào)數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)穩(wěn)定性原則分析了電壓模式和電流模式控制下的環(huán)路設(shè)計(jì)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：開(kāi)關(guān)電源；小信號(hào)模型；電壓模式控制；電流模式控制

0??? 引言

??? 設(shè)計(jì)一個(gè)具有良好動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能的開(kāi)關(guān)電源時(shí)，控制環(huán)路的設(shè)計(jì)是很重要的一個(gè)部分。而環(huán)路的設(shè)計(jì)與主電路的拓?fù)浜?a target="_blank">參數(shù)有極大關(guān)系。為了進(jìn)行穩(wěn)定性分析，有必要建立開(kāi)關(guān)電源完整的小信號(hào)數(shù)學(xué)模型。在頻域模型下，波特圖提供了一種簡(jiǎn)單方便的工程分析方法，可用來(lái)進(jìn)行環(huán)路增益的計(jì)算和穩(wěn)定性分析。由于開(kāi)關(guān)電源本質(zhì)上是一個(gè)非線性的控制對(duì)象，因此，用解析的辦法建模只能近似建立其在穩(wěn)態(tài)時(shí)的小信號(hào)擾動(dòng)模型，而用該模型來(lái)解釋大范圍的擾動(dòng)（例如啟動(dòng)過(guò)程和負(fù)載劇烈變化過(guò)程）并不完全準(zhǔn)確。好在開(kāi)關(guān)電源一般工作在穩(wěn)態(tài)，實(shí)踐表明，依據(jù)小信號(hào)擾動(dòng)模型設(shè)計(jì)出的控制電路，配合軟啟動(dòng)電路、限流電路、鉗位電路和其他輔助部分后，完全能使開(kāi)關(guān)電源的性能滿足要求。開(kāi)關(guān)電源一般采用Buck電路，工作在定頻PWM控制方式，本文以此為基礎(chǔ)進(jìn)行分析。采用其他拓?fù)涞拈_(kāi)關(guān)電源分析方法類似。

1??? Buck電路電感電流連續(xù)時(shí)的小信號(hào)模型

??? 圖1為典型的Buck電路，為了簡(jiǎn)化分析，假定功率開(kāi)關(guān)管S和D₁為理想開(kāi)關(guān)，濾波電感L為理想電感（電阻為0），電路工作在連續(xù)電流模式（CCM）下。R_e為濾波電容C的等效串聯(lián)電阻，R_o為負(fù)載電阻。各狀態(tài)變量的正方向定義如圖1中所示。

圖1??? 典型Buck電路

??? S導(dǎo)通時(shí)，對(duì)電感列狀態(tài)方程有

??? L=U_in－ U_o??? （1）

??? S斷開(kāi)，D₁續(xù)流導(dǎo)通時(shí)，狀態(tài)方程變?yōu)?

??? L=－U_o??? （2）

??? 占空比為D時(shí)，一個(gè)開(kāi)關(guān)周期過(guò)程中，式（1）及式（2）分別持續(xù)了DT_s和（1－D）T_s的時(shí)間（T_s為開(kāi)關(guān)周期），因此，一個(gè)周期內(nèi)電感的平均狀態(tài)方程為

??? L=D(U_in－U_o)＋(1－D)(－U_o)=DU_in－U_o??? （3）

??? 穩(wěn)態(tài)時(shí)，=0，則DU_in=U_o。這說(shuō)明穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出電壓是一個(gè)常數(shù)，其大小與占空比D和輸入電壓U_in成正比。

??? 由于電路各狀態(tài)變量總是圍繞穩(wěn)態(tài)值波動(dòng)，因此，由式（3）得

??? L=(D＋d)(U_in＋)－(U_o＋)??? （4）

??? 式（4）由式（3）的穩(wěn)態(tài)值加小信號(hào)波動(dòng)值形成。上標(biāo)為波浪符的量為波動(dòng)量，d為D的波動(dòng)量。式（4）減式（3）并略去了兩個(gè)波動(dòng)量的乘積項(xiàng)得

??? L=D＋dU_in－??? （5）

由圖1，又有

??? i_L=C＋??? （6）

??? U_o=U_c＋R_eC??? （7）

式（6）及式（7）不論電路工作在哪種狀態(tài)均成立。由式（6）及式（7）可得

??? i_L＋R_eC=(U_o＋CR_o)??? （8）

??? 式（8）的推導(dǎo)中假設(shè)R_e<<R_o。由于穩(wěn)態(tài)時(shí)=0，=0，由式（8）得穩(wěn)態(tài)方程為i_L=U_o/R_o。

這說(shuō)明穩(wěn)態(tài)時(shí)電感電流平均值全部流過(guò)負(fù)載。對(duì)式（8）中各變量附加小信號(hào)波動(dòng)量得

??? i_L＋＋R_eC=〔U_o＋＋CR_o〕（9）

式（9）減式（8）得

??? ＋R_eC=(＋CR_o)（10）

將式（10）進(jìn)行拉氏變換得

??? (s)=??? （11）

??? 一般認(rèn)為在開(kāi)關(guān)頻率的頻帶范圍內(nèi)輸入電壓是恒定的，即可假設(shè)=0并將其代入式（5），將式（5）進(jìn)行拉氏變換得

??? sL(s)=d(s)U_in－(s)??? （12）

由式（11），式（12）得

??? =U_in??? （13）

??? =·??? （14）

式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續(xù)時(shí)的控制－輸出小信號(hào)傳遞函數(shù)。

2??? 電壓模式控制（VMC）

??? 電壓模式控制方法僅采用單電壓環(huán)進(jìn)行校正，比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，可以滿足大多數(shù)情況下的性能要求，如圖2所示。

??? 圖2中，當(dāng)電壓誤差放大器（E/A）增益較低、帶寬很窄時(shí)，V_c波形近似直流電平，并有

??? D=V_c/V_s（15）

??? d=/Vs（16）

式（16）為式（15）的小信號(hào)波動(dòng)方程。整個(gè)電路的環(huán)路結(jié)構(gòu)如圖3所示。

??? 圖3沒(méi)有考慮輸入電壓的變化，即假設(shè)=0。圖3中，（一般為0）及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號(hào)波動(dòng)；K_FB=U_REF/U_o，為反饋系數(shù)；誤差e為輸出采樣值偏離穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的波動(dòng)值，經(jīng)電壓誤差放大器K_EA放大后，得；K_MOD為脈沖寬度調(diào)制器增益，K_MOD=d/=1/V_s；K_PWR為主電路增益，K_PWR=/d=U_in；K_LC為輸出濾波器傳遞函數(shù)，K_LC=。

圖2??? 電壓模式控制示意圖和相關(guān)波形

圖3??? 開(kāi)關(guān)電源的電壓模式控制反饋環(huán)路圖

??? 在已知環(huán)路其他部分的傳遞函數(shù)表達(dá)式后，即可設(shè)計(jì)電壓誤差放大器了。由于K_LC提供了一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)諧振極點(diǎn)，因此，一般將E/A設(shè)計(jì)成PI調(diào)節(jié)器即可，K_EA=K_P(1＋ω_z/s)。其中ω_z用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，一般取為K_LC零極點(diǎn)的1/10以下；K_P用于使剪切頻率處的開(kāi)環(huán)增益以－20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

??? VMC方法有以下缺點(diǎn)：

??? 1）沒(méi)有可預(yù)測(cè)輸入電壓影響的電壓前饋機(jī)制，對(duì)瞬變的輸入電壓響應(yīng)較慢，需要很高的環(huán)路增益；

??? 2）對(duì)由L和C產(chǎn)生的二階極點(diǎn)（產(chǎn)生180°的相移）沒(méi)有構(gòu)成補(bǔ)償，動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢。

??? VMC的缺點(diǎn)可用下面將要介紹的CMC方法克服。

3??? 平均電流模式控制（Average? CMC）

??? 平均電流模式控制含有電壓外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)兩個(gè)環(huán)路，如圖4所示。電壓環(huán)提供電感電流的給定，電流環(huán)采用誤差放大器對(duì)送入的電感電流給定（V_cv）和反饋信號(hào)（i_LR_s）之差進(jìn)行比較、放大，得到的誤差放大器輸出V_c再和三角波V_s進(jìn)行比較，最后即得控制占空比的開(kāi)關(guān)信號(hào)。圖4中R_s為采樣電阻。對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)良好的電流誤差放大器，V_c不會(huì)是一個(gè)直流量，當(dāng)開(kāi)關(guān)導(dǎo)通時(shí)，電感電流上升，會(huì)導(dǎo)致V_c下降；開(kāi)關(guān)關(guān)斷，電感電流下降時(shí)，會(huì)導(dǎo)致V_c上升。電流環(huán)的設(shè)計(jì)原則是，不能使V_c上升斜率超過(guò)三角波的上升斜率，兩者斜率相等時(shí)就是最優(yōu)。原因是：如果V_c上升斜率超過(guò)三角波的上升斜率，會(huì)導(dǎo)致V_c峰值超過(guò)V_s的峰值，在下個(gè)周波時(shí)V_c和V_s就可能不會(huì)相交，造成次諧波振蕩。

圖4??? 開(kāi)關(guān)電源平均電流模式控制示意圖

??? 采用斜坡匹配的方法進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)后，PWM控制器的增益會(huì)隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

圖5??? PWM控制器增益與占空比變化關(guān)系圖

??? 當(dāng)D很大時(shí)，較小的V_c會(huì)引起D較大的改變，而D較小時(shí)，即使V_c變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有

??? d=D/V_s（17）

??? 不妨設(shè)電壓環(huán)帶寬遠(yuǎn)低于電流環(huán)，則在分析電流環(huán)時(shí)V_cv為常數(shù)。當(dāng)V_c的上升斜率等于三角波斜率時(shí)，在開(kāi)關(guān)頻率f_s處,電流誤差放大器的增益G_CA為

??? G_CA=G_CA(V_o/L)R_s=V_sf_s（18）

??? G_CA=/(R_s)=V_sf_sL/(U_oR_s)（19）

高頻下，將式（14）分子中的“1”和分母中的低階項(xiàng)忽略，并化簡(jiǎn)，得

??? (s)=??? （20）

由式（17）及式（20）有

??? ==??? （21）

將式（19）與式（21）相乘，得整個(gè)電流環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

??? ·=??? （22）

??? 將s=2πf_c代入上式，并令上式等于1時(shí)，可得環(huán)路的剪切頻率f_c=f_s/(2π)。因此，可將電流環(huán)等效為延時(shí)時(shí)間常數(shù)為一個(gè)開(kāi)關(guān)周期的純慣性環(huán)節(jié)，如圖6所示。

圖6??? 電流環(huán)的傳遞函數(shù)示意圖

??? 顯然，當(dāng)電流誤差放大器的增益G_CA小于最優(yōu)值時(shí)，電流響應(yīng)的延時(shí)將會(huì)更長(zhǎng)。

??? G_CA中一般要在f_s處或更高頻處形成一個(gè)高頻極點(diǎn)，以使f_s以后的電流環(huán)開(kāi)環(huán)增益以－40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環(huán)的抗干擾能力。低頻下一般要加一個(gè)零點(diǎn)，使電流環(huán)開(kāi)環(huán)增益變大，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

??? 整個(gè)環(huán)路的結(jié)構(gòu)如圖7所示。其中K_EA，K_FB定義如前。可見(jiàn)相對(duì)VMC而言（參見(jiàn)圖3），平均CMC消除了原來(lái)由濾波電感引起的極點(diǎn)（新增極點(diǎn)f_s很大，對(duì)電壓環(huán)影響很小），將環(huán)路校正成了一階系統(tǒng),電壓環(huán)增益可以保持恒定，不隨輸入電壓V_in而變，外環(huán)設(shè)計(jì)變得更加容易。

圖7??? 電壓外環(huán)反饋環(huán)路圖

4??? 峰值電流模式控制（Peak? CMC）

??? 平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時(shí)顯得不太方便，因此，實(shí)踐中經(jīng)常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環(huán)輸出控制量（V_c）和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(V_s)通過(guò)電壓比較器進(jìn)行比較后，直接得到開(kāi)關(guān)管的關(guān)斷信號(hào)（開(kāi)通信號(hào)由時(shí)鐘自動(dòng)給出），因此，電壓環(huán)的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

圖8??? 峰值電流模式控制示意圖

??? 峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流（經(jīng)濾波后即負(fù)載電流），而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時(shí)電感電流在導(dǎo)通期間的電流增量設(shè)計(jì)為額定電流的10％左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5％，負(fù)載越輕誤差越大，特別是進(jìn)入不連續(xù)電流（DCM）工作區(qū)后誤差將超過(guò)100％，系統(tǒng)有時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。在剪切頻率f_c以下，由圖6可知平均CMC的電流環(huán)開(kāi)環(huán)增益可升到很高（可以>1000），電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環(huán)開(kāi)環(huán)增益只能保持在10以內(nèi)不變（峰值電流和平均值之間的誤差引起），因此，峰值CMC更適用于滿載場(chǎng)合。

??? 峰值CMC的缺點(diǎn)還包括對(duì)噪音敏感，需要進(jìn)行斜坡補(bǔ)償解決次諧波振蕩等問(wèn)題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優(yōu)點(diǎn)，且容易通過(guò)脈沖電流互感器等簡(jiǎn)單辦法復(fù)現(xiàn)電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應(yīng)用。

5??? 結(jié)語(yǔ)

??? 采用平均狀態(tài)方程的方法可以得到Buck電路的小信號(hào)頻域模型，并可依此進(jìn)行環(huán)路設(shè)計(jì)。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來(lái)進(jìn)行環(huán)路設(shè)計(jì)，各有其優(yōu)缺點(diǎn)，適用的范圍也不盡相同。