變壓器是一種無(wú)源交流電路設(shè)備，它執(zhí)行電壓變換以升高或降低輸入電壓。

　　基本變壓器方程

　　單個(gè)導(dǎo)電回路的法拉第定律是：

　　ε=?d?dt，ε=?d?dt， ［1］

　　其中 ε 是電動(dòng)勢(shì)或電壓，dΦ/dt 是磁通量隨時(shí)間的變化率。

　　多匝線圈相當(dāng)于串聯(lián)連接的各個(gè)回路，因此電壓相加，法拉第定律變?yōu)椋?/p>

　　ε=?Nd?dt，ε=?Nd?dt， ［2］

　　對(duì)于纏繞在同一個(gè)磁芯上且具有完美磁通耦合的兩個(gè)獨(dú)立線圈，dΦ/dt 很常見(jiàn)，因此

　　ε1=?N1d?dt，和ε1=?N1d?dt，和ε2=?N2d?dt，因此ε2=?N2d?dt，因此ε1ε2=N1N2，ε1ε2=N1N2，這表示電壓比等于匝數(shù)比，這是變壓器運(yùn)行的基本定義方程。

　　場(chǎng)強(qiáng)和頻率

　　以積分形式重寫(xiě)方程 ［1］ 給出：

　　Φ=?∫εdtΦ=?∫εdt ［3］

　　如果施加的電壓是正弦時(shí)變的，則等式 ［3］ 可以寫(xiě)為

　　Φ=?∫ε0sin（ωt）dtΦ=?∫ε0sin（ωt）dt=ε0ωcos（ωt）=ε0ωcos（ωt）這表示通量與施加電壓的頻率成反比。通量是磁場(chǎng) B 的法向分量在感興趣的橫截面上的積分。

　　Φ=∫BdAΦ=∫BdA如果 Φ 是正弦時(shí)變，幅度與頻率成反比，則 B 也必須是正弦時(shí)變，幅度與頻率成反比，可以寫(xiě)為：

　　B=B0ωcos（ωt）B=B0ωcos（ωt） ［4］

　　意義在于，隨著操作頻率的降低，磁場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)增加。

　　BH循環(huán)

　　在鐵磁材料中，材料中的總磁場(chǎng)是外加磁場(chǎng)和磁疇排列產(chǎn)生的內(nèi)部磁場(chǎng)之和。材料中的總場(chǎng)表示為 B 并且在某些線性區(qū)域上可以近似為

　　B=μoμrH，B=μoμrH，其中 μ o是自由空間的磁導(dǎo)率， μ r 是材料的相對(duì)磁導(dǎo)率，假設(shè)為線性磁行為。圖 1 顯示了一個(gè)具有代表性的 BH 回路，它繪制了施加磁場(chǎng)循環(huán)時(shí)的磁場(chǎng) B。在高磁場(chǎng)強(qiáng)度下，曲線變得非常非線性，并且據(jù)說(shuō)材料已經(jīng)達(dá)到磁飽和。隨著接近磁飽和，H 的增加導(dǎo)致 B 值的增加要低得多。

　　圖 1. 鐵磁材料的代表性 BH 回路。圖片由 Blaine Geddes 提供

　　循環(huán)磁化材料消耗的能量是磁滯損耗，并作為 BH 回路的積分給出。BH 環(huán)的面積取決于材料的剩磁，它是重新排列磁疇所需的能量的函數(shù)。具有低剩磁的鐵磁材料被稱(chēng)為軟鐵磁材料。硬鐵磁材料具有更加開(kāi)放的 BH 環(huán)，因?yàn)樗鼈円坏┐呕蜁?huì)保持其磁性狀態(tài)。對(duì)于在交流電路中的使用，顯然更優(yōu)選軟鐵磁材料。

　　當(dāng)達(dá)到磁飽和時(shí)，不僅磁滯損耗達(dá)到最大值，而且電流的任何增加都會(huì)導(dǎo)致磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加可以忽略不計(jì)，因此它只是被浪費(fèi)為繞組中的 I 2 R 損耗。

　　從等式［4］可知，磁場(chǎng)隨著施加頻率的降低而升高，因此為避免磁飽和，變壓器、電機(jī)等交流磁性設(shè)備的物理尺寸必須隨著線路頻率的降低而增大。

　　調(diào)整核心大小

　　硅電工鋼的最大工作場(chǎng)強(qiáng)通常在 1.3 – 1.7 T 范圍內(nèi)，盡管一些晶粒取向合金鋼可以支持更高的場(chǎng)強(qiáng)。M-6 電工鋼（晶粒取向 3% Si）的飽和場(chǎng)強(qiáng)規(guī)定為 1.9 T。鐵芯需要運(yùn)行的越接近磁飽和，損耗越大，因此需要一定的余量。確定磁芯尺寸的第一步是選擇磁芯中允許的最大工作磁場(chǎng)強(qiáng)度，這取決于為磁芯選擇的電工鋼等級(jí)。

　　對(duì)于給定的施加電壓和匝數(shù)，多匝線圈的法拉第定律給出 dΦ/dt。積分 dΦ/dt 將給出總通量 Φ。對(duì)于正弦電路，Φ 將是正弦曲線，其幅度為 1/ω 因子。

　　應(yīng)用 = BdA，允許確定給定核心區(qū)域的場(chǎng) B，或給定指定的最大允許場(chǎng) B 確定的區(qū)域。增加橫截面積或增加匝數(shù)將降低最大場(chǎng)強(qiáng)，因此，這些是調(diào)整的主要變量，以在尺寸、成本和性能權(quán)衡方面提供可接受的設(shè)計(jì)。變壓器尺寸與頻率成反比，因此線路頻率是一個(gè)重要參數(shù)。為 60 Hz 設(shè)計(jì)的變壓器在 120 Hz 下可以正常工作，雖然它會(huì)過(guò)大，但如果在 30 Hz 下運(yùn)行，它可能會(huì)變得非常低效和過(guò)熱。

　　一旦基于上述權(quán)衡匝數(shù)和磁芯橫截面積的考慮為初級(jí)繞組選擇了匝數(shù)以實(shí)現(xiàn)可接受的最大場(chǎng)強(qiáng) B，次級(jí)繞組的匝數(shù)簡(jiǎn)單地設(shè)置為所需的電壓比。鐵芯還需要足夠的空間來(lái)容納繞組線圈。線圈的線規(guī)將由所需的電流來(lái)設(shè)置，以將繞組中的電流密度保持在可接受的水平，從而最大限度地減少繞組中的 I 2 R 損耗。鐵芯窗口區(qū)域必須足夠大，以容納隨匝數(shù)縮放的繞組和基于最大電流的所需線規(guī)。

　　應(yīng)用所有方程和權(quán)衡使變壓器設(shè)計(jì)成為一個(gè)迭代過(guò)程，其中需要做出一些假設(shè)并重復(fù)計(jì)算。考慮到變壓器的伏安額定值、最大允許 B 場(chǎng)、最低工作頻率、鐵芯幾何參數(shù)以及可能的其他參數(shù)，如導(dǎo)線電阻率、允許導(dǎo)體損耗等，已經(jīng)開(kāi)發(fā)了各種公式來(lái)估計(jì)鐵芯尺寸。所有這些公式都是基于法拉第定律和基本幾何學(xué)的基本原理。

　　變壓器是一種看似簡(jiǎn)單的無(wú)源器件，但設(shè)計(jì)它涉及操縱許多變量以產(chǎn)生適當(dāng)優(yōu)化的設(shè)計(jì)。

　　變壓器結(jié)構(gòu)

　　用于電源線頻率和頻率高達(dá)幾千赫茲的變壓器由交錯(cuò)的電工鋼片構(gòu)成，這些電工鋼沖壓成型以提供線圈的鐵芯和繞組的窗口區(qū)域。疊層結(jié)構(gòu)減少了渦流損耗。片材的表面涂有一層薄薄的高電阻率飾面。圖 2 顯示了一個(gè)典型的變壓器，說(shuō)明了它的疊片鐵芯結(jié)構(gòu)。各種核心幾何形狀很常見(jiàn)。這個(gè)繞組以相同的形式纏繞在一起。

　　變壓器等效電路

　　圖 3 顯示了變壓器的等效電路，其所有量均以初級(jí)側(cè)為參考。來(lái)自次級(jí)側(cè)的量以 1/N 2因數(shù)反射到初級(jí)，其中 N 是次級(jí)與初級(jí)匝數(shù)比。

　　圖 3. 所有量都參考初級(jí)側(cè)的變壓器等效電路。圖片由 Blaine Geddes 提供

　　在等效電路模型中，R L 是負(fù)載電阻。R s 是次級(jí)繞組電阻。L s 是次級(jí)繞組電感。R p 和 L p 分別是初級(jí)繞組電阻和電感。Re 代表鐵芯損耗，它由渦流損耗和磁滯損耗組成。L e 表示鐵芯的循環(huán)磁化效應(yīng)，其中涉及鐵磁材料磁疇的移動(dòng)，因此將其建模為電感器。

　　由緊密的繞組間距和繞組到外殼電容產(chǎn)生的寄生電容集中在一起作為一對(duì)電容器 C w和 C e，但它們很復(fù)雜，因?yàn)樵S多繞??組會(huì)產(chǎn)生無(wú)數(shù)的寄生電容效應(yīng)。幸運(yùn)的是，這些電容效應(yīng)很小，在低頻時(shí)可以忽略不計(jì)。

　　高頻變壓器

　　由于 1/ω 對(duì)磁芯中磁通密度的影響，電感器和變壓器的物理尺寸會(huì)隨著工作頻率的增加而縮小。

　　由于圍繞 BH 回路的循環(huán)率增加，滯后損耗隨頻率增加而增加，因此，高頻需要非常軟的鐵磁材料。渦流損耗與頻率的平方成正比，因?yàn)楦鶕?jù)法拉第定律，驅(qū)動(dòng)渦流的感應(yīng)電壓與 dΦ/dt 成正比。

　　疊層電工鋼芯變壓器用于高達(dá)幾千赫茲的頻率。對(duì)于超過(guò)約 10 kHz 的頻率，通常使用鐵氧體。鐵氧體是陶瓷。它們是金屬氧化物的混合物，主要由鐵、錳、鋅和鎳的氧化物組成。鐵氧體的磁導(dǎo)率要低得多，但電阻率要高得多。感應(yīng)渦流的大小與材料的電阻成反比，因此渦流 I 2R loss 將隨著電阻率的增加而成比例地下降。