學習信號時域和頻域、快速傅立葉變換（FFT）、加窗，以及如何通過這些操作來加深對信號的認識。

理解時域、頻域、FFT

傅立葉變換有助于理解常見的信號，以及如何辨別信號中的錯誤。盡管傅立葉變換是一個復(fù)雜的數(shù)學函數(shù)，但是通過一個測量信號來理解傅立葉變換的概念并不復(fù)雜。從根本上說，傅立葉變換將一個信號分解為不同幅值和頻率的正弦波。我們繼續(xù)來分析這句話的意義所在。

所有信號都是若干正弦波的和

我們通常把一個實際信號看作是根據(jù)時間變化的電壓值。這是從時域的角度來觀察信號。

傅立葉定律指出，任意波形在時域中都可以由若干個正弦波和余弦波的加權(quán)和來表示。例如，有兩個正弦波，其中一個的頻率是另一個的3倍。將兩個正弦波相加，就得到了一個不同的信號。

圖1 兩個信號相加，得到一個新的信號

假設(shè)第二號波形幅值也是第一個波形的1/3。此時，只有波峰受影響。

圖2 信號相加時調(diào)整幅值影響波峰

假加上一個幅值和頻率只有原信號1/5的信號。按這種方式一直加，直到觸碰到噪聲邊界，您可能會認出結(jié)果波形。

圖3 方波是若干正弦波的和

您創(chuàng)建了一個方波。通過這種方法，所有時域中的信號都可表示為一組正弦波。

即使可以通過這種方法構(gòu)造信號，那意味著什么呢？ 因為可以通過正弦波構(gòu)造信號，同理也可以將信號分解為正弦波。

一旦信號被分解，可查看和分析原信號中不同頻率的信號。請參考信號分解的下列使用實例：

分解廣播信號，可選擇要收聽的特定頻率（電臺）。

將聲頻信號分解為不同頻率的信號（例如，低音、高音），可增強特定頻段，移除噪聲。

根據(jù)速度和強度分解地震波形，可優(yōu)化樓宇設(shè)計，避免強烈震動。

分解計算機數(shù)據(jù)時，可忽略頻率重要性最低的數(shù)據(jù)，這樣就能更緊湊地利用內(nèi)存。這就是文件壓縮的原理。

使用FFT分解信號

傅立葉變換將一個時域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號。頻域信號顯示了不同頻率對應(yīng)的電壓。頻域是另一種觀察信號的角度。

數(shù)字化儀對波形進行采樣，然后將采樣轉(zhuǎn)換為離散的值。因為發(fā)生了轉(zhuǎn)換，傅立葉轉(zhuǎn)換在這些數(shù)據(jù)上無法進行。可使用離散傅立葉變換（DFT），其結(jié)果是離散形式的頻域信號。FFT是DFT的一種優(yōu)化實現(xiàn)，計算量較少，但是本質(zhì)上是對信號的分解。

請查看上圖1中的信號。有兩個頻率不同的信號。在該情況下，頻域中就會顯示兩條表示不同頻率的豎線。

圖4 當相同幅值的兩個正弦波相加，在頻域中就顯示為兩條頻率豎線

原信號的幅值在豎軸上表示。圖2中有個不同幅值的信號。頻域中最高的豎線對應(yīng)于最高電壓的正弦信號。在頻域里觀察信號，可直觀地看出最高電壓發(fā)生在哪個頻率上。

圖5 最高的豎線是幅值最大的頻率

在頻域里也可觀察到信號的形狀。例如，頻域中方波信號的形狀。使用不同頻率的正弦波創(chuàng)建一個方波。即可預(yù)見，在頻域中，這些信號都會被表示為一根豎線，每一根豎線都表示組成方波的正弦波。如頻域中，豎線顯示為一個梯度，就可知道原信號是一個方波信號。

圖6 頻域中表示正弦波的豎線呈現(xiàn)為一個梯度

現(xiàn)實生活中，情況是怎樣的呢？ 許多混合信號示波器（MSO）都有FFT功能。下圖中，你可以觀察到混合信號圖中，方波FFT是如何顯示的。放大后可觀察到頻域中的尖峰。

圖7 上圖為原正弦波和FFT，下圖是放大的FFT，可觀察到表示頻率的尖峰

在頻域中觀察信號有助于驗證和發(fā)現(xiàn)信號中的問題。例如，假設(shè)有一個輸出正弦波的電路?？稍谑静ㄆ魃喜榭磿r域輸出信號，如圖8所示?？瓷先]有任何問題！

圖8 如果將兩個很相似的波形相加，仍然會得到一個完美的正弦波

在頻域中查看信號時，如果輸出的正弦波頻率穩(wěn)定，應(yīng)該只在頻率中顯示為一條豎線。但是，可以看到在更高的頻率上仍然有一條豎線，表示正弦波并不如觀察到的那么完美?？蓢L試優(yōu)化電路，去除特定頻率的噪聲。在頻域中顯示信號有助于發(fā)現(xiàn)信號中的干擾、噪聲和抖動。

圖9 查看圖8中看似完美的正弦波，可以看出波形中有一個抖動

信號加窗

FFT提供了觀察信號的新視角，但是FFT也有各種限制，可通過加窗增加信號的清晰度。

什么是加窗？

使用FFT分析信號的頻率成分時，分析的是有限的數(shù)據(jù)集合。FFT認為波形是一組有限數(shù)據(jù)的集合，一個連續(xù)的波形是由若干段小波形組成的。對于FFT而言，時域和頻域都是環(huán)形的拓撲結(jié)構(gòu)。時間上，波形的前后兩個端點是相連的。如測量的信號是周期信號，采集時間內(nèi)剛好有整數(shù)個周期，那么FFT的上述假設(shè)合理。

圖10 測量整數(shù)個周期（上圖）可以得到理想的FFT（下圖）

在很多情況下，并不能測量到整數(shù)個周期。因此，測量到的信號就會被從周期中間切斷，與時間連續(xù)的原信號顯示出不同的特征。有限數(shù)據(jù)采樣會使測量信號產(chǎn)生劇烈的變化。這種劇烈的變化稱為不連續(xù)性。

采集到的周期為非整數(shù)時，端點是不連續(xù)的。這些不連續(xù)片段在FFT中顯示為高頻成分。這些高頻成分不存在于原信號中。這些頻率可能遠高于奈奎斯特頻率，在0～采樣率的一半的頻率區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生混疊。使用FFT獲得的頻率，不是原信號的實際頻率，而是一個改變過的頻率。類似于某個頻率的能量泄漏至其他頻率。這種現(xiàn)象叫做頻譜泄漏。頻率泄漏使好的頻譜線擴散到更寬的信號范圍中。

圖11 測量非整數(shù)個周期（上圖）將頻譜泄漏添加至FFT（下圖）

可通過加窗來盡可能減少在非整數(shù)個周期上進行FFT產(chǎn)生的誤差。數(shù)字化儀采集到的有限序列的邊界會呈現(xiàn)不連續(xù)性。加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值。加窗包括將時間記錄乘以有限長度的窗，窗的幅值逐漸變小，在邊沿處為0。加窗的結(jié)果是盡可能呈現(xiàn)出一個連續(xù)的波形，減少劇烈的變化。這種方法也叫應(yīng)用一個加窗。

圖12 加窗可盡可能減少頻譜泄漏

加窗函數(shù)

根據(jù)信號的不同，可選擇不同類型的加窗函數(shù)。要理解窗對信號頻率產(chǎn)生怎樣的影響，就要先理解窗的頻率特性。

窗的波形圖顯示了窗本身為一個連續(xù)的頻譜，有一個主瓣，若干旁瓣。主瓣是時域信號頻率成分的中央，旁瓣接近于0。旁瓣的高度顯示了加窗函數(shù)對于主瓣周圍頻率的影響。對強正弦信號的旁瓣響應(yīng)可能會超過對較近的弱正弦信號主瓣響應(yīng)。

一般而言，低旁瓣會減少FFT的泄漏，但是增加主瓣的帶寬。旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的漸進衰減速率。增加旁瓣的跌落速率，可減少頻譜泄漏。

選擇加窗函數(shù)并非易事。每一種加窗函數(shù)都有其特征和適用范圍。要選擇加窗函數(shù)，必須先估計信號的頻率成分。

如果您的信號具有強干擾頻率分量，與感興趣分量相距較遠，那么就應(yīng)選擇具有高旁瓣下降率的平滑窗。

如果您的信號具有強干擾頻率分量，與感興趣分量相距較近，那么就應(yīng)選擇具有低最大旁瓣的窗。

如果感興趣頻率包含兩種或多種很距離很近的信號，這時頻譜分辨率就非常重要。在這種情況下，最好選用具有窄主瓣的平滑窗。

如果一個頻率成分的幅值精度比信號成分在某個頻率區(qū)間內(nèi)精確位置更重要，選擇寬主瓣的窗。

如信號頻譜較平或頻率成分較寬，使用統(tǒng)一窗，或不使用窗。

總之，Hanning窗適用于95%的情況。它不僅具有較好的頻率分辨率，還可減少頻譜泄露。如果您不知道信號特征但是又想使用平滑窗，那么就選擇Hanning窗。

即使不使用任何窗，信號也會與高度一致的長方形窗進行卷積運算。本質(zhì)上相當于對時域輸入信號進行截屏，對離散信號也有效。該卷積有一個正弦波函數(shù)特性的頻譜?；谠撛?，沒有窗叫做統(tǒng)一窗或長方形窗。

Hamming窗和Hanning窗都有正弦波的外形。兩個窗都會產(chǎn)生寬波峰低旁瓣的結(jié)果。Hanning窗在窗口的兩端都為0，杜絕了所有不連續(xù)性。Hamming窗的窗口兩端不為0，信號中仍然會呈現(xiàn)不連續(xù)性。Hamming窗擅長減少最近的旁瓣，但是不擅長減少其他旁瓣。Hamming窗和Hanning適用于對頻率精度要求較高對旁瓣要求較低的噪聲測量。

圖13 Hamming和Hanning都會產(chǎn)生寬波峰低旁瓣的結(jié)果

Blackman-Harris窗類似于Hamming和Hanning窗。得到的頻譜有較寬的波峰，旁瓣有壓縮。該窗主要有兩種類型。4階Blackman-Harris是一種通用窗，在高90s dB處具有旁瓣抑制功能，有較寬的主瓣。 7階Blackman-Harris窗函數(shù)有寬廣的動態(tài)范圍，有較寬的主瓣。

圖14 Blackman-Harris窗的結(jié)果是較寬的波峰，旁瓣有壓縮

Kaiser-Bessel窗在幅值精度、旁瓣距離和旁瓣高度之間取得了較好的平衡。Kaiser-Bessel窗與Blackman-Harris窗類似，對于相同的主瓣寬度而言，較近的旁瓣更高，較遠的旁瓣更低。選擇該窗通常會將信號泄漏至離噪聲較近的位置。

Flat top窗也是一個正弦波，穿過0線。Flat top窗的結(jié)果是在頻域中產(chǎn)生一個顯著寬廣的波峰，與其他窗相比離信號的實際幅值更近。

圖15 Flat top窗具有更精確的幅值信息

上面列舉了幾種常見的窗函數(shù)。選擇窗函數(shù)并沒有一個通行的方法。下表可幫助您做出初步選擇。請始終比較窗函數(shù)的性能，從而找到最適合的一種窗函數(shù)。

總結(jié)

所有時域中的信號都可表示為一組正弦波。

FFT變換將一個時域信號分解為在頻域中表示，并分析信號中的不同頻率成分。

在頻域中顯示信號有助于發(fā)現(xiàn)信號中的干擾、噪聲和抖動。

信號中如果包含非整數(shù)個周期，會發(fā)生頻率泄漏?？赏ㄟ^加窗來改善該情況。

數(shù)字化儀采集到的有限序列的邊界會呈現(xiàn)不連續(xù)性。加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值。

沒有窗叫做統(tǒng)一窗或長方形窗，因為加窗效果仍然存在。

一般情況下，Hanning窗適用于95%的情況。它不僅具有較好的頻率分辨率，還可減少頻譜泄露。

請始終比較窗函數(shù)的性能，從而找到最適合的一種窗函數(shù)。