PID是十分優美的控制算法，在工業控制應用地十分廣泛，有的時候，無需知道系統模型的情況下，只要經驗法去調整參數P、參數I和、參數D就可以到達期望的控制效果；

不過之前一直停留在把系統當作黑盒的方式進行調試，根據系統的時間響應判斷是否達到期望的效果；

以前參與無人機研發的時候，我們遇到一個問題，外部的擾動會把飛控激勵起來造成機身的振動；

要解決掉的話，如果調飛控，又會對云臺造成影響，最終航拍效果不太好；

我們嘗試了很多工程方法，花了大量時間，都無法解決；這個項目看樣子是要黃了；

后來飛控負責人和云臺負責人激烈討論，在白板上畫伯德圖，講起相位裕度，幅值裕度；你的系統挪一下頻譜，給我留出更多的余量；退一步海闊天空；

很神奇，后來問題就順利解決了，項目順利上線；

所以我感覺有必要對部分的知識點進行復習和簡單的掃盲，因為嘗試從數學角度對系統性能進行分析，會涉及到，系統建模，零極點，穩定性，基本差不多還給老師了，所以這里不會太深入。

線性時不變系統

通常來說，對于上述的零點和極點的分析，前提是系統需要是LTI系統(linear time-invariant system)；這里簡單介紹一下，對于這種系統有兩點：1 線性；2 時不變；

線性

對于系統，任意輸入X，最終系統輸出得到Y；

那么如果輸入為K*X，那么最終輸出為K*Y；

例如：

系統增益為100；

即輸入5可以得到輸出5*100；

那么輸入5*K，可以得到輸出5*K*100；

疊加性

如果系統輸入X可以得到輸出結果f(X)，如果X=a+b；

那么必須存在 f(X) = f(a) + f(b)；

時不變

系統中，輸入信號X，則得到輸出信號Y，那么一個經過了延遲T的輸入信號X，得到的輸出信號也只是一個被延遲T的Y，而不會是其他值；

也就是說X(t-T)的輸出就是Y(t-T)；

什么是零點和極點？

在數字信號處理或者控制理論中，對于輸入量和輸出量，可以表示為：

如果對于進行拉普拉斯變換，那么可以得到：

對于連續系統，需要進行拉普拉斯變換變換，則從時域變換到頻域；

對于離散系統，則需要進行z變換；

輸入，輸出以及傳遞函數的關系如下所示；

傳遞函數

零點

上述公式中，存在使得的解，即分母的解；

極點

上述公式中，存在使得的解，即分子的解；

舉例

假設存在傳遞函數；

則零點為 ；

極點為 ；

系統的穩定的條件

從時域角度來講：

系統的穩定與否卻決于，當，系統輸出最終收斂，則認為系統是穩定的；具體如如下所示；

收斂

或者結論可以是這樣子的；

穩定性判斷：在零初始條件下，當且僅當，閉環系統的單位沖激響應為零時，系統是穩定的。

這里又引入了單位沖激響應；什么是沖激響應？

顧名思義，沖激響應，一定是一個函數，可以想象一下，感覺形狀和火柴及其相似；

這畫面感很強，具體如下所示；

單位沖激響應

所以在這里我們將上面的進行時間T進行離散化，具體如下圖所示；

所以這里我們可以發現，可以通過單位沖激響應進行幅值變化和相位移動來表示；

實際上，我們根本只需要讓這些信號都輸入系統，前面講到過線性時不變；

所以我們只需要讓這些信號（1，2，3....n）中的任意一個信號進行歸一化（單位沖激響應）；

對齊到t=0時刻，再對輸出乘以不同系數，延遲不同時間，就得到了所有的輸出.

好像有點扯遠了；

所以結論成立：在零初始條件下，當且僅當，閉環系統的單位沖激響應為零時，系統是穩定的；

從頻域角度來講：

對于高階系統無法求時域響應的時候，這時候就需要從閉環傳遞函數的零極點進行分析，從而判斷系統的穩定性；

通常來說：閉環系統的閉環傳遞函數的極點都在S平面的左半平面，則系統穩定；

所以極點為-2，-3，在左半平面，所以系統穩定；

這里和時域上穩定性的結論如何聯系起來呢？

經過拉普拉斯反變換：

在這里不難發現，從時域的角度看，當，收斂；

所以閉環傳遞函數的極點位置在S平面的左半平面，系統穩定；

根據零極點判斷系統穩定性的方法還有以下幾種；

勞斯穩定性判據；

赫爾維茨穩定性判據；

伯德圖穩定性判定法（頻響）；

奈奎斯特穩定性判據（頻響）；

結論

簡單介紹了LTI系統，系統傳遞函數和傳遞函數的零極點定義，以及時域上系統穩定性和S域的穩定性之間的關聯；

有點難，為了頭發，暫時先到這里吧。

責任編輯：lq6