數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)上劃分，有FIR和IIR兩種。FIR的特點(diǎn)是：線性相位、消耗資源多；IIR的特點(diǎn)是：非線性相位、消耗資源少。由于FIR系統(tǒng)的線性相位特點(diǎn)，設(shè)計(jì)中絕大多數(shù)情況都采用FIR濾波器。

線性相位系統(tǒng)的意義，這里的線性相位指的是在設(shè)計(jì)者關(guān)心的通帶范圍內(nèi)，LTI系統(tǒng)滿足線性相位要求：

從延時(shí)的角度看：保證了輸入信號的相位響應(yīng)是線性的，即保證了輸入信號的延時(shí)特性。

從相位的角度看：輸入的各頻率成分的信號之間，相對相位是固定的。通過線性相位系統(tǒng)后，相對相位關(guān)系保持不變。

對于關(guān)心相位的系統(tǒng)，比如調(diào)制解調(diào)系統(tǒng)，需要使用FIR濾波器；對于只關(guān)心頻率成分的系統(tǒng)，比如只是提取某一頻率分量，為了節(jié)省資源，使用IIR濾波器即可。

FIR濾波器

FIR的最大特點(diǎn)就是其系統(tǒng)響應(yīng) h(n)是一個(gè)N點(diǎn)的有限長序列，F(xiàn)IR的輸出y(n)本質(zhì)上就是輸入信號x(n)和h(n)的卷積（根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)，時(shí)域卷積等于頻域相乘，因此卷積相當(dāng)于篩選頻譜中的各頻率分量的增益倍數(shù)，某些頻率分量保留，某些頻率分量衰減，從而實(shí)現(xiàn)濾波效果）。FIR在實(shí)現(xiàn)上的本質(zhì)是帶抽頭延遲的加法器和乘法器的組合，每一個(gè)乘法器對應(yīng)一個(gè)系數(shù)。

由理論知識可知，只有當(dāng)FIR的h(n)對稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器才具有線性相位特性。使用MATLAB等工具設(shè)計(jì)FIR時(shí)，得到的h(n)也都是具有對稱性的。

FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)主要有直接型、級聯(lián)型、頻率取樣型、格型四種。其中最適合FPGA實(shí)現(xiàn)的是直接型。“直接”是指直接由卷積公式得到：

由上圖可知，n階FIR濾波器就需要n個(gè)乘法器。如果設(shè)計(jì)的是線性相位FIR，則h(n)是對稱的，利用對稱性可以節(jié)省一半的乘法器。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率取樣法、等波紋切比雪夫逼近法（也叫最優(yōu)設(shè)計(jì)法）等等。以上所有的理論知識點(diǎn)在任意一本數(shù)字信號處理課本中都有詳細(xì)的推論，本文節(jié)省篇幅不再贅述。

MATLAB設(shè)計(jì)

雖然Quartus和Vivado的FIR IP核中都提供了設(shè)計(jì)FIR濾波器的功能，但遠(yuǎn)沒有MATLAB設(shè)計(jì)便捷和強(qiáng)大。設(shè)計(jì)中通常都是在MATLAB中設(shè)計(jì)好FIR的單位脈沖響應(yīng)h(n)，或者說濾波器系數(shù)，量化后應(yīng)用到FPGA設(shè)計(jì)中。

MATLAB提供了基于窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的fir1函數(shù)、設(shè)計(jì)任意響應(yīng)濾波器的fir2函數(shù)、最優(yōu)設(shè)計(jì)法的firpm函數(shù)，以及兩個(gè)應(yīng)用程序包“Filter Builder”和“Filter Design&Analysis”，后者通常也被稱作FDATOOL。現(xiàn)在最受歡迎的設(shè)計(jì)方式恐怕就是使用FDATOOL工具，功能強(qiáng)大、界面便捷，且可以直接導(dǎo)出xilinx公司IP核所需的coe文件。

本系列主要是講述FPGA設(shè)計(jì)，不詳細(xì)討論上述函數(shù)及工具的使用，具體情況可以的MATLAB的help中查詢。（Ps：博主目前的幾個(gè)系列都處于開篇階段，篇幅不多，暫未成體系，目前不再開新坑，等后期應(yīng)該會(huì)出一個(gè)“MATLAB數(shù)字信號處理系列”）

FPGA設(shè)計(jì)

從MATLAB到FPGA最重要的工作便是濾波器系數(shù)的量化。現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)大多都是64位的，然而為了節(jié)省資源，F(xiàn)PGA中進(jìn)行如此高位寬的運(yùn)算步進(jìn)浪費(fèi)資源而且也沒有必要。在MATLAB中將濾波器系數(shù)量化為指定位寬，會(huì)改變?yōu)V波器的頻率特性，因此需要做好仿真，確定量化后的系數(shù)也能滿足FIR的設(shè)計(jì)需求。

由上節(jié)可知FPGA最方便實(shí)現(xiàn)的是直接型結(jié)構(gòu)FIR，實(shí)現(xiàn)時(shí)可以采用并行結(jié)構(gòu)、串行結(jié)構(gòu)、分布式結(jié)構(gòu)，也可以直接使用Quartus和Vivado提供的FIR IP核。本篇先介紹并行FIR濾波器的Verilog設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)參考自杜勇老師的《數(shù)字濾波器的MATLAB與FPGA實(shí)現(xiàn)》。本設(shè)計(jì)將在Vivado環(huán)境下進(jìn)行仿真。

使用MATLAB設(shè)計(jì)一個(gè)2kHz采樣，500Hz截止的15階低通濾波器（h(n)長度為16），量化位數(shù)為12bit，輸入信號位寬也為12bit。Verilog設(shè)計(jì)代碼如下。

模塊接口：

module Xilinx_FIR_Guide_liuqi

(

input rst, //復(fù)位信號，高電平有效

input clk, //FPGA系統(tǒng)時(shí)鐘，頻率為2kHz

input signed [11:0] Xin, //數(shù)據(jù)輸入頻率為2khZ

output signed [28:0]Yout //濾波后的輸出數(shù)據(jù)

);

輸出信號的29bit位寬是全分辨率輸出，沒有截位。“并行”FIR指的是多個(gè)乘法器并行地進(jìn)行濾波器系數(shù)與輸入數(shù)據(jù)之間的乘法計(jì)算，因此代碼中我們需要緩存16個(gè)數(shù)據(jù)：

reg signed[11:0] Xin_Reg[15:0]; //[11:0]指單數(shù)據(jù)12bit位寬；[15:0]指共有16個(gè)數(shù)據(jù)

reg [3:0] i,j;

always @(posedge clk or posedge rst)

if (rst)

//初始化寄存器值為0

begin

for (i=0; i<15; i=i+1)

Xin_Reg[i]=12'd0;

end

else

begin

for (j=0; j<15; j=j+1)? //每個(gè)時(shí)鐘移位一個(gè)數(shù)據(jù)

Xin_Reg[j+1] <= Xin_Reg[j];

Xin_Reg[0] <= Xin;

end

由FIR系數(shù)的對稱性可知，16個(gè)系數(shù)只需要8個(gè)乘法器即可，因此應(yīng)該將對稱系數(shù)多對應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)相加：

reg signed [12:0] Add_Reg[7:0];

always @(posedge clk or posedge rst)

if (rst)

//初始化寄存器值為0

begin

for (i=0; i<8; i=i+1)

Add_Reg[i]=13'd0;

end

else

begin

for (i=0; i<8; i=i+1)? ?//對稱系數(shù)相加

Add_Reg[i]={Xin_Reg[i][11],Xin_Reg[i]}+{Xin_Reg[15-i][11],Xin_Reg[15-i]};

end

由于加法會(huì)增加一個(gè)bit位寬，因此相加結(jié)構(gòu)擴(kuò)充為13bit。由于輸入數(shù)據(jù)為二進(jìn)制補(bǔ)碼帶符號數(shù)，因此在相加前需要先使用Verilog中的拼接運(yùn)算符{}擴(kuò)展符號位到最高位。接下來例化8個(gè)乘法器IP核進(jìn)行乘法運(yùn)算：

wire signed [11:0] coe[7:0] ; //濾波器為12比特量化數(shù)據(jù)

wire signed [24:0] Mout[7:0]; //乘法器輸出為25比特?cái)?shù)據(jù)

assign coe[0]=12'h000;

assign coe[1]=12'hffd;

assign coe[2]=12'h00f;

assign coe[3]=12'h02e;

assign coe[4]=12'hf8b;

assign coe[5]=12'hef9;

assign coe[6]=12'h24e;

assign coe[7]=12'h7ff;

mult_gen_0Umult0 (

.CLK (clk),

.A (coe[0]),

.B (Add_Reg[0]),

.P (Mout[0]));

mult_gen_0Umult1 (

.CLK (clk),

.A (coe[1]),

.B (Add_Reg[1]),

.P (Mout[1]));

mult_gen_0Umult2 (

.CLK (clk),

.A (coe[2]),

.B (Add_Reg[2]),

.P (Mout[2]));

mult_gen_0Umult3 (

.CLK (clk),

.A (coe[3]),

.B (Add_Reg[3]),

.P (Mout[3]));

mult_gen_0Umult4 (

.CLK (clk),

.A (coe[4]),

.B (Add_Reg[4]),

.P (Mout[4]));

mult_gen_0Umult5 (

.CLK (clk),

.A (coe[5]),

.B (Add_Reg[5]),

.P (Mout[5]));

mult_gen_0Umult6 (

.CLK (clk),

.A (coe[6]),

.B (Add_Reg[6]),

.P (Mout[6]));

mult_gen_0Umult7 (

.CLK (clk),

.A (coe[7]),

.B (Add_Reg[7]),

.P (Mout[7]));

12bit的濾波器系數(shù)與13bit的輸入信號數(shù)據(jù)相乘結(jié)果為25bit。乘法結(jié)果累加即為濾波器的輸出結(jié)果：

reg signed [28:0] sum;

reg signed [28:0] yout;

reg [3:0] k;

always @(posedge clk or posedge rst)

if (rst)

begin

sum = 29'd0;

yout <= 29'd0;

end

else

begin

yout <= sum;

sum = 29'd0;

for (k=0; k<8; k=k+1)

sum = sum+Mout[k]; //相加輸出結(jié)果

end

assign Yout = yout;

8個(gè)25bit的數(shù)相加，結(jié)果可能擴(kuò)展到29bit，這也是全分辨率輸出的結(jié)果。可以看到并行結(jié)構(gòu)的FIR乘法、加法運(yùn)算都是在一個(gè)時(shí)鐘內(nèi)完成，因此每個(gè)時(shí)鐘都能獲得一個(gè)輸出。

仿真與工程下載

使用MATLAB生成一個(gè)200Hz+800Hz的混合頻率信號，寫入txt文件，再生成一個(gè)噪聲信號寫入txt文件。

對正弦信號的濾波如下圖所示：

明顯看到經(jīng)過500Hz低通濾波器濾波后，輸入的200Hz+800Hz信號只剩下200Hz的頻率分量。

對噪聲信號的濾波如下圖所示：

可以看到噪聲經(jīng)過濾波后的頻率分布情況明顯少于濾波前