20 世紀(jì) 40 年代，研究原子彈的科學(xué)家應(yīng)用 Monte Carlo 模擬計算了一個裂變鈾原子引起另一個裂變反應(yīng)的概率，這是該模擬的首次應(yīng)用，自此以來已經(jīng)取得了很大進(jìn)展。今天我們將介紹如何使用 Minitab 為已知的工程公式和 DOE 方程創(chuàng)建 Monte Carlo 模擬。

由于當(dāng)時鈾供應(yīng)短缺，試驗(yàn)的試錯空間很小，因此 Monte Carlo 模擬一直專注于根據(jù)模擬數(shù)據(jù)計算可靠的概率。如今，從材料工程到醫(yī)療設(shè)備包裝密封再到煉鋼，模擬數(shù)據(jù)經(jīng)常用于許多場景，例如資源有限的場景，或者收集真實(shí)數(shù)據(jù)過于昂貴或不切實(shí)際的場景。使用 Engage 或 Workspace 的 Monte Carlo 模擬工具可以：

（1）模擬可能結(jié)果的范圍以幫助做出決策

（2）預(yù)測財務(wù)結(jié)果或估計項(xiàng)目時間表

（3）了解過程或系統(tǒng)中的變異性

（4）在過程或系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)問題

（5）通過了解成本/效益關(guān)系來管理風(fēng)險

開始使用任何 Monte Carlo 模擬的4 個步驟

模擬可能非常復(fù)雜，具體取決于所涉及因子的數(shù)量。但所有 Monte Carlo 模擬基本上都有四個簡單的步驟：

? 確定傳輸方程

要創(chuàng)建 Monte Carlo 模擬，您需要一個包含要探索的業(yè)務(wù)活動、計劃或過程的定量模型。過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為“傳輸方程”。這可以是已知的工程或業(yè)務(wù)公式，也可以基于根據(jù)設(shè)計試驗(yàn) (DOE) 或回歸分析創(chuàng)建的模型。借助 Minitab Engage 和 Minitab Workspace 等軟件，您能夠創(chuàng)建復(fù)雜的方程，甚至是具有多個可能相互依賴的響應(yīng)的方程。

? 定義輸入?yún)?shù)

對于傳輸方程中的每個因子，確定其數(shù)據(jù)的分布方式。一些輸入可能遵循正態(tài)分布，而另一些則遵循三角分布或均勻分布。然后，您需要確定每個輸入的分布參數(shù)。例如，需要為遵循正態(tài)分布的輸入指定均值和標(biāo)準(zhǔn)差。如果您不確定數(shù)據(jù)遵循哪種分布，可以使用 Engage 和 Workspace 提供的工具來確定。

? 設(shè)置模擬

要進(jìn)行有效的模擬，您必須為每個輸入創(chuàng)建一個非常大的隨機(jī)數(shù)據(jù)集（大約包含 100,000 個實(shí)例）。這些隨機(jī)數(shù)據(jù)點(diǎn)模擬在很長一段時間內(nèi)，對于每個輸入將看到的值。盡管聽起來工作量很大，但這正是 Engage 和 Workspace 的亮點(diǎn)。一旦我們提交輸入和模型，一切都會得到處理。

? 分析過程輸出

有了模擬數(shù)據(jù)，您就可以使用傳輸方程來計算模擬結(jié)果。考慮到輸入中的預(yù)期變異，通過模型運(yùn)行足夠多的模擬輸入數(shù)據(jù)將可靠地指出該過程將在一段時間內(nèi)輸出的內(nèi)容。

Monte Carlo 使用已知工程公式的4 個步驟

一家制造公司需要評估所提議產(chǎn)品的設(shè)計，這是一款每分鐘必須泵送 12 毫升流體的小型活塞泵。考慮到活塞直徑 (D)、沖程長度 (L) 和每分鐘沖程數(shù) (RPM) 的自然變異，您想要估計數(shù)千個泵的可能性能。理想情況下，數(shù)千個泵的泵流量將具有不大于 0.2 毫升的標(biāo)準(zhǔn)差。

? 確定傳輸方程

進(jìn)行 Monte Carlo 模擬的第一步是確定傳輸方程。在本例中，您只需使用已知的工程公式來測量泵流量：

流量（以毫升為單位）= π(D/2)2 ? L ? RPM

? 定義輸入?yún)?shù)

現(xiàn)在，必須定義傳輸方程中使用的每個輸入的分布和參數(shù)。泵的活塞直徑和沖程長度是已知的，但必須計算達(dá)到所需 12 毫升/分鐘流速所需的每分鐘沖程數(shù) (RPM)。每個沖程泵送的體積按以下方程計算：π(D/2)2 * L

如果 D = 0.8，L = 2.5，則每個沖程排出 1.256 毫升流體。因此，要達(dá)到 12 毫升/分鐘的流速，RPM 為 9.549。

根據(jù)貴廠制造的其他泵的性能，您可以假定活塞直徑呈正態(tài)分布，均值為 0.8 厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.003 厘米。沖程長度呈正態(tài)分布，均值為 2.5 厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.15 厘米。最后，每分鐘沖程數(shù)呈正態(tài)分布，均值為 9.549 RPM，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.17 RPM。

? 在 Engage 或 Workspace 中設(shè)置模擬

單擊頂部功能區(qū)中的插入選項(xiàng)卡，然后選擇 Monte Carlo 模擬。

我們將它變得非常簡單 — 您只需為每個變量提供名稱，從下拉菜單中選擇一個分布，然后輸入?yún)?shù)。我們將按照上面所述的內(nèi)容進(jìn)行操作。如果您不確定數(shù)據(jù)遵循哪種分布，可以選擇使用數(shù)據(jù)確定。這將提示您上傳數(shù)據(jù)的 .csv 文件，可從以下幾個選項(xiàng)中進(jìn)行選擇：

? 模擬和分析過程輸出

下一步是給出方程。在這里，操作非常簡單，只需為您的輸出提供名稱（我們提供的名稱是 Flow），然后鍵入我們在上面確定的正確傳輸方程。您還可以添加規(guī)格上限和規(guī)格下限以查看模擬的比較情況。

然后，在功能區(qū)中，選擇要運(yùn)行的模擬數(shù)量（100,000 是不錯的基準(zhǔn)），然后單擊用來運(yùn)行模擬的按鈕。

對于為了撰寫本文而生成的隨機(jī)數(shù)據(jù)，基于 100,000 個樣本的平均流速為 11.996。從平均值來看，我們達(dá)到了目標(biāo)，但最小值為 8.7817，最大值為 15.7057。這是一個相當(dāng)大的范圍。（所有組件的）傳輸變異導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)差為 0.756 毫升，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過目標(biāo)值 0.2 毫升。

看起來這種泵的設(shè)計變異太大，需要在投入生產(chǎn)之前進(jìn)一步完善。從這里，我們看到模擬所帶來的好處。如果我們直接投入生產(chǎn)，很可能會生產(chǎn)出太多被退貨的泵。借助 Monte Carlo 模擬，我們能夠解決所有這些問題，而不會因制造和測試數(shù)千個原型或過早投入生產(chǎn)而產(chǎn)生費(fèi)用。

您可能想了解這些模擬結(jié)果是否站得住腳，不妨自己嘗試一下吧！運(yùn)行不同的模擬將導(dǎo)致輕微的變化，但每次的最終結(jié)果（流速變異量不可接受）都會保持一致。這就是 Monte Carlo 方法的強(qiáng)大之處。

另一個可選步驟：參數(shù)優(yōu)化

了解到標(biāo)準(zhǔn)差過高非常有價值，但 Engage 和 Workspace 真正突出的地方在于它們能夠幫助改善狀況。這就是參數(shù)優(yōu)化的用武之地。

讓我們看看第一個輸入：活塞直徑。平均值為 0.8，大部分?jǐn)?shù)據(jù)將接近該值，或者在平均值的一兩個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。但是，如果活塞直徑越小，流動效率越高，該怎么辦？參數(shù)優(yōu)化有助于我們回答這個問題。

為了進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，我們需要為每個輸入指定搜索范圍。在本例中，為簡單起見，我指定的算法搜索范圍是 +/- 3 個標(biāo)準(zhǔn)差。然后，Engage 或 Workspace 將幫助我們?yōu)槊總€輸入找到要實(shí)現(xiàn)目標(biāo)（在本例中是減小標(biāo)準(zhǔn)差）的最佳設(shè)置。選擇合適的范圍至關(guān)重要；確保您輸入的整個范圍都可以運(yùn)行；如果找到的最佳解決方案無法在生產(chǎn)環(huán)境中復(fù)制，則毫無用處。

如果您在 Minitab Statistical Software 中用過響應(yīng)優(yōu)化器，則原理類似。下面是我們的結(jié)果：

基于以上結(jié)果，如果要減小標(biāo)準(zhǔn)差，則應(yīng)當(dāng)減小沖程長度和每分鐘沖程數(shù)。活塞直徑可以保持類似大小。請記住，Monte Carlo 模擬的關(guān)鍵之處在于，能夠在不構(gòu)建單個新原型或進(jìn)行新試驗(yàn)的情況下找出所有這些結(jié)果。

Monte Carlo 使用試驗(yàn)設(shè)計 (DOE) 響應(yīng)方程

如果您不知道要使用什么方程，或者您正在嘗試模擬獨(dú)特過程的結(jié)果，該怎么辦？此時，我們可以將 Minitab Statistical Software 的設(shè)計試驗(yàn)功能與 Engage 或 Workspace 的模擬功能相結(jié)合。

一家電子制造商已指派您改進(jìn)其電極清潔操作，該操作為電鍍金屬部件做準(zhǔn)備。制造商通過電鍍在原材料上涂上一層不同的金屬，以實(shí)現(xiàn)所需的特性。電鍍不會附著在骯臟的表面上，因此該公司有一個連接到自動電鍍機(jī)的連續(xù)流電極清洗系統(tǒng)。傳送帶將每個部件浸入槽中，槽中的電壓通過部件傳送，從而對部件進(jìn)行清潔。如果清潔不充分，會導(dǎo)致平均粗糙度的均方根（簡稱 RMS）值太高以及表面光潔度較差。經(jīng)過正確清潔的部件具有光滑的表面和較低的 RMS。

為了優(yōu)化該過程，可以調(diào)整兩個關(guān)鍵輸入：電壓 (Vdc) 和電流密度 (ASF)。對于電極清潔方法，Vdc 的典型工程限值為 3 至 12 伏。電流密度限值為 10 至 150 安培/平方英尺 (ASF)。

? 確定傳輸方程

您不能針對該過程使用教材上的已知公式，但可以在 Minitab 中設(shè)置響應(yīng)曲面 DOE 以確定傳輸方程。響應(yīng)曲面 DOE 通常用于通過為“關(guān)鍵少數(shù)”可控因子尋找最佳設(shè)置來優(yōu)化響應(yīng)。

在本例中，響應(yīng)將是部件在清潔后的表面質(zhì)量。

要在 Minitab 中創(chuàng)建響應(yīng)曲面試驗(yàn)，請選擇統(tǒng)計 > DOE > 響應(yīng)曲面 > 創(chuàng)建響應(yīng)曲面設(shè)計。由于我們有兩個因子（電壓 (Vdc) 和電流密度 (ASF)），因此我們將選擇試驗(yàn)次數(shù)為 13 的雙因子中心復(fù)合設(shè)計。

Minitab 創(chuàng)建設(shè)計試驗(yàn)后，您需要執(zhí)行 13 次試驗(yàn)、收集數(shù)據(jù)并記錄 13 個清潔后部件的表面粗糙度。通過 Minitab，可輕松分析 DOE 結(jié)果、簡化模型和使用殘差圖檢查假定。使用最終模型和 Minitab 的響應(yīng)優(yōu)化器，可以找到變量的最佳設(shè)置。在本例中，您將電壓設(shè)置為 7.74，將 ASF 設(shè)置為 77.8，所獲得的粗糙度值為 39.4。

響應(yīng)曲面 DOE 為 Monte Carlo 模擬生成以下傳輸方程：

粗糙度 = 957.8 ? 189.4(Vdc) ? 4.81(ASF) + 12.26(Vdc2) + 0.0309(ASF2)

? 定義輸入?yún)?shù)

現(xiàn)在，您可以為Monte Carlo模擬輸入設(shè)置參數(shù)定義，并將它們帶入Engage或Workspace 中。

請注意，標(biāo)準(zhǔn)差必須已知或基于現(xiàn)有的過程知識進(jìn)行估計。這適用于所有 Monte Carlo 輸入。電壓呈正態(tài)分布，均值為 7.74 Vdc，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.14 Vdc。每平方英尺安培數(shù) (ASF) 呈正態(tài)分布，均值為 77.8 ASF，標(biāo)準(zhǔn)差為 3 ASF。

? 在 Engage 或 Workspace 中設(shè)置模擬

這與步驟 3 完全相同。單擊功能區(qū)中的插入 > Monte Carlo 模擬，添加您的輸入并定義其參數(shù)，然后輸入您的模型。在本例中，如果您擁有最新版本的 Minitab，則可以單擊鼠標(biāo)右鍵，然后點(diǎn)擊發(fā)送到 Engage或發(fā)送到 Minitab Workspace。如果您沒有，則可以從 Minitab 輸出中手動復(fù)制它并將其粘貼到 Engage 或 Workspace 的模型字段中。

? 模擬和分析過程輸出

匯總表明，即使基礎(chǔ)輸入呈正態(tài)分布，RMS 粗糙度的分布也不是正態(tài)的。該匯總還顯示所有組件的傳輸變異導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)差為 0.521，根據(jù)您掌握的過程知識判斷，這是不錯的過程結(jié)果。基于試驗(yàn)次數(shù)僅為 13 的 DOE，我們可以確定在該過程中將看到的實(shí)際情況。同樣，由于這基于模擬數(shù)據(jù)，您的答案會略有不同，但通常而言答案應(yīng)該是正確的。如有必要，我們可以查看參數(shù)優(yōu)化以微調(diào)我們的答案并找到最佳解決方案。

審核編輯 黃昊宇