有符號數(shù)的計算在 Verilog中是一個很重要的問題（也很容易會被忽視），在使用 Verilog 語言編寫 FIR 濾波器時，需要涉及到有符號數(shù)的加法和乘法，在之前的程序中我把所有的輸入輸出和中間信號都定義成有符號數(shù)，這樣在計算時沒有出現(xiàn)問題（實際在之前的程序中遇到了問題，最后濾波結(jié)果不對，博客的程序是已經(jīng)改正過的），下面實際試驗一下 Verilog 的乘法問題；

1.編寫程序測試無符號數(shù)和有符號數(shù)的乘法

編寫程序如下，其中，乘法的兩個乘數(shù)分別是無符號、有符號的四種組合，輸出的積也是分為無符號和有符號，共計 8 種可能；

module signed_test(    input           [7:0]   data_in_unsigned_1,    input           [7:0]   data_in_unsigned_2,
    input   signed  [7:0]   data_in_signed_1,    input   signed  [7:0]   data_in_signed_2,
    output          [15:0]  data_out_000,    output          [15:0]  data_out_001,    output          [15:0]  data_out_010,    output          [15:0]  data_out_011,
    output  signed  [15:0]  data_out_100,    output  signed  [15:0]  data_out_101,    output  signed  [15:0]  data_out_110,    output  signed  [15:0]  data_out_111    );
//無符號 = 無符號 * 無符號assign data_out_000 = data_in_unsigned_1    * data_in_unsigned_2;//無符號 = 無符號 * 有符號assign data_out_001 = data_in_unsigned_1    * data_in_signed_2;//無符號 = 有符號 * 無符號assign data_out_010 = data_in_signed_1      * data_in_unsigned_2;//無符號 = 有符號 * 有符號assign data_out_011 = data_in_signed_1      * data_in_signed_2;
//有符號 = 無符號 * 無符號assign data_out_100 = data_in_unsigned_1    * data_in_unsigned_2;//有符號 = 無符號 * 有符號assign data_out_101 = data_in_unsigned_1    * data_in_signed_2;//有符號 = 有符號 * 無符號assign data_out_110 = data_in_signed_1      * data_in_unsigned_2;//有符號 = 有符號 * 有符號assign data_out_111 = data_in_signed_1      * data_in_signed_2;
endmodule

生成的 RTL 圖如下：

可以看到，輸出的積和符號無關(guān)，有符號數(shù)和無符號數(shù)實際上是同一個數(shù)，只看我們怎么定義它，比如乘積是 16 位的二進制 16’b1100_0000_0000_0011，當我們認為它是無符號數(shù)是，最高位的 1 就不是符號位，而是 2^15（2的15次方），這樣這個數(shù)代表的十進制是 2^15 + 2^14 + 2^1 + 2^0 = 49155；

如果把 16 位的二進制 16’b1100_0000_0000_0011 當成是一個有符號數(shù)來看，那么最高位是符號位，且剩下的數(shù)據(jù)時原來的數(shù)據(jù)二進制表示后取反再加1（補碼表示），要計算它對應(yīng)的十進制數(shù)

（1）先去掉符號位，保留剩下的 15-bit的 100_0000_0000_0011；

（2）把 100_0000_0000_0011 取反，得到 011_1111_1111_1100；

（3）把 011_1111_1111_1100 的最低位 + 1，得到 011_1111_1111_1101；

（4）011_1111_1111_1101 按照無符號數(shù)換算成十進制是 16381；

（5）把最高位符號位加上，0代表正數(shù)，1代表負數(shù)，所以最后換算是 -16831；

Windows計算器默認最高位是符號位；

測試數(shù)據(jù)如下：

initial begin        data_in_unsigned_1 = 8'hff;       //255data_in_unsigned_2=8'hf0;      //240data_in_signed_1=8'hff;  //-1data_in_signed_2=8'hf0;  //-16    #200;        data_in_unsigned_1 = 8'hff;       //255        data_in_unsigned_2 = 8'h0f;       //15        data_in_signed_1 = 8'hff;         //-1data_in_signed_2=8'h0f;  //15    #200;        data_in_unsigned_1 = 8'd127;      //127data_in_unsigned_2=8'd15;//15        data_in_signed_1 = -8'sd127;      //-127，十進制有符號數(shù)賦值，必須要用 sd 表示data_in_signed_2=-8'sd15;//-15    #200;             data_in_unsigned_1 = 8'd128;      //128        data_in_unsigned_2 = 8'd15;       //15               data_in_signed_1 = -8'sd128;      //-128data_in_signed_2=-8'sd15;//-15    #200;        data_in_unsigned_1 = 8'd127;       //127        data_in_unsigned_2 = 8'd15;        //15           data_in_signed_1=-8'sd127;  //-127data_in_signed_2=8'sd15;//15    #200;             data_in_unsigned_1 = 8'd128;       //128        data_in_unsigned_2 = 8'd15;        //15               data_in_signed_1=-8'sd128;  //-128data_in_signed_2=8'sd15;//15    #200;        data_in_unsigned_1 = 8'd127;       //127data_in_unsigned_2=8'd15;        //15        data_in_signed_1 = 8'sd127;        //127data_in_signed_2=-8'sd15;//-15    #200;                  data_in_unsigned_1 = 8'd127;       //127        data_in_unsigned_2 = 8'd15;        //15        data_in_signed_1 = 8'sd127;        //127data_in_signed_2=8'sd15;//15    #200;    $stop;end

2.仿真分析

計算的結(jié)果仿真如下：

對上圖分析：

（1）在 0~400 ns，仿真中使用十六進制賦值相同的十六進制數(shù)據(jù)給乘數(shù)，讓乘數(shù)分別以無符號數(shù)和有符號數(shù)進行讀取，可以看到對 8’hff（對應(yīng)二進制 8’b1111_1111）以無符號數(shù)讀取時是按照 原碼讀取，對應(yīng)十進制 255，以有符號數(shù)讀取時是按照補碼讀取，按照上文所說的去掉符號位后取反、加1再計算十進制得 -1;

（2）直接賦值十進制數(shù)據(jù)，乘數(shù)在以無符號數(shù)讀取時時按照原碼讀取，127就對應(yīng) 8 位二進制數(shù) 8’b0111_1111，十進制 128 就對應(yīng) 8 位二進制 8’b1000_0000；而以有符號數(shù)讀取的時候是會直接轉(zhuǎn)換為補碼形式，如 -127，先去掉符號位是 127，對應(yīng) 7 位二進制數(shù) 7’b111_1111，取反為 7’b000_0000，加 1 為 7’b000_0001，將符號位補回到最高位為 8’b1000_0001；對于 -128 的表示比較特殊，8-bit的二進制數(shù)最高位是符號位，表示正負，剩下的 7-bit 能夠表示的數(shù)的范圍是 0 ~ 127，前面加上 ±就能表示 -127 ~ 127，其中有 2 個數(shù)很特殊就是 8’b0000_0000 和 8’b1000_0000，按照上面會出現(xiàn) +0 和 -0，為了區(qū)分出這兩個數(shù)，前人定義 8’b0000_0000 表示 0，而 8’b1000_0000 表示 -128，這樣不僅能區(qū)分開兩個數(shù)，還多表示了一個數(shù) -128（整個計算機體系通用，其他位數(shù)時類似表示一個負數(shù)）；

（3）實際上，觀察下圖數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，只有data_out_000 和 data_out_111 的數(shù)據(jù)時全部計算正確的，這也符合常理：

無符號 * 無符號 =無符號；

有符號 * 有符號 =有符號；

其它的計算為什么會出錯呢？實際上這里遵循一個原則：

如果表達式中有一個無符號數(shù)，則所有的操作數(shù)都會被強行轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)；

這樣也就解釋了 0~400 ns時的 data_out_001 和 data_out_010 的計算結(jié)果和 data_out_000 完全一致，它們都是把賦值的 8 位十六進制數(shù)當做無符號數(shù)計算的（這里不存在十進制到二進制原碼、補碼換算的問題，因為給的是十六進制）；

當后面設(shè)計輸入輸出時，如果是有符號，那么將相關(guān)計算的輸入/輸出和中間量都顯式的用 signed定義；

3.有符號數(shù)乘法的另一種計算

前面說的計算時將涉及到的相關(guān)量全部定義為有符號數(shù)是一種計算方法，此外，通常情況下可能會定義的無符號數(shù)，但是實際傳入的是有符號數(shù)，比如下面的輸入和輸出都沒有指定成 signed有符號數(shù)，計算時默認是按照無符號數(shù)計算（實際上我感覺是把讀取到的 8 位二進制數(shù)當做原碼去算），此時若外部傳入的數(shù)據(jù)實際上是有符號數(shù)（比如 FIR 濾波器傳入了正負均有的待濾波信號），那么需要對符號位進行擴展來計算乘法和加法；

module signed_test_2(    input   [7:0]   data_in_1,    input   [7:0]   data_in_2,    output  [15:0]  data_out_1,    output  [15:0]  data_out_2);

對于乘法，需要擴展符號位 到 和積的位數(shù)相等，比如乘數(shù)a為 N-bit，乘數(shù) b 為M-bit，兩個相乘得到 N+M 位數(shù)據(jù)，此時需要對 a擴展 M-bit到 N+M 位，對 b擴展 N-bit到 N+M 位；

下面，使用位拼接符 {}來做演示，位拼接符可以按照二進制的位來進行高低位的拼接，假設(shè) data_in_1=8’b1000_0011，對于 {{8{data_in_1[7]}},data_in_1} 可以這樣理解：

（1）先看 8{data_in_1[7]}，表示取出 8-bit數(shù)據(jù) data_in_1 的最高位 data_in_1[7]，重復(fù) 8 次，相當于 { data_in_1[7], data_in_1[7], data_in_1[7], data_in_1[7], data_in_1[7], data_in_1[7], data_in_1[7], data_in_1[7] }，即高位擴展 8-bit的 1

（2）{{8{data_in_1[7]}},data_in_1} 相當于在 data_in_1 的前面補上 8 個 data_in_1[7]，即 結(jié)果為 16-bit 的 16’b1111_1111_1000_0011；

//不做符號位擴展，直接相乘assign data_out_1 = data_in_1 * data_in_2;//做符號位擴展，再相乘assign data_out_2 = {{8{data_in_1[7]}},data_in_1} * {{8{data_in_2[7]}},data_in_2};

仿真測試數(shù)據(jù)如下，1處用十六進制給出數(shù)據(jù)，2處用有符號的十進制賦值，3處是為了和 2處對比，看最后賦值是否一樣（看到有博客說 3 的賦值是錯的，所以測試一下）；

仿真結(jié)果如下，可以看到上圖 2 處和 3 處的賦值在仿真時是同樣的數(shù)據(jù)，把所有數(shù)據(jù)都用有符號的十進制數(shù)顯示（右鍵數(shù)據(jù) Radix-> Signed Decimal）；

可以看到，data_out_1的結(jié)果是錯的（沒有補符號位），data_out_2的結(jié)果是對的（補符號位）；

對有符號數(shù)的加法，同樣的，要么相關(guān)的運算全部定義成有符號數(shù)，要么進行符號位的擴展，對于加法操作，只需要每個被加數(shù)擴展 1 位符號位即可；

除此之外，還可以調(diào)用乘法器的 IP 來代替 乘法符號 *，或者加法器的 IP 來代替 加法符號 +，在 IP 核中配置輸入輸出為有符號數(shù)即可。