信號的抽樣我們都知道了：

圖1

上圖最后一步沖激抽樣信號的頻譜的推導用到了這個公式：

這個公式的推導可以參考：

就是

我們注意到圖1中抽樣函數的頻譜

是由無窮個等間隔重復的頻譜函數F(w)組成，這就是時域的離散導致的頻域周期現象，如下圖所示：

由于相同的頻譜函數等間隔重復，就由可能導致頻譜混疊現象，如下圖：

為了能由頻譜函數有效地恢復出原來的時域信號，就必須消除頻譜混疊現象。在不存在頻譜混疊的前提下，采用一個頻域中的矩形濾波器H(w)將第一個周期的頻譜函數取出，如下圖：

圖2

由上圖可以看到，頻域中的矩形函數，在時域中是一個sinc函數。關于門函數，我們有：

對于單個門函數：

其頻譜(傅里葉變換，積分限實際上是無窮)為：

由以上分析看出，單個的門函數其頻譜函數sa是連續的非周期函數，在w=0時取得最大值1。

下面通過圖2中的低通濾波器H(w)進行信號恢復：

H(w)的時域函數為

證明如下：

由于頻域的乘積

等于時域的卷積，得到：

上圖表明，恢復出的時域信號f(t)是抽樣點上的值f(nTs)與sinc(sa)函數在最大值點1(t=nTs)的乘積之和。

圖解恢復過程：

上圖表明，最后恢復出的時域信號f(t)，是由一個個以nTS為中心點的sinc(sa)函數的最大值點構成的包絡線。顯然，TS越小，ws越大，恢復的效果越好。

也可以圖解如下：

同樣可以看出f(t)的構成過程。

簡單總結：

1：時域信號抽樣以后，得到按周期拓展的頻域信號;

2：用一個頻域的低通濾波器H(w)進行濾波，得到需要恢復的時域信號的頻譜函數;

3：由于頻域的乘積等于時域的卷積，得到待恢復信號與sinc(sa)函數的關系，從而確定f(t)是由一個個以nTS為中心點的sinc(sa)函數的最大值點構成的包絡線，顯然，TS越小，恢復的效果越好。

4：恢復出的時域信號f(t)實際上是由一個個sinc(sa)函數合成。

審核編輯：湯梓紅