從粉筆到軟件代碼，數(shù)學(xué)家和科學(xué)家使用各種方法來(lái)表達(dá)方程式和公式，他們對(duì)數(shù)字文章背后的含義有不同的想法。

粉紅色背景的數(shù)學(xué)方程式

在過(guò)去的幾十年里，當(dāng)研究人員不得不敲打打字機(jī)來(lái)撰寫他們的科學(xué)論文時(shí)，他們經(jīng)常會(huì)遇到障礙。這些機(jī)器，包括1960年代至1980年代流行的IBM Selectric系列，不包含數(shù)學(xué)符號(hào)的鍵，例如用于表示微積分的長(zhǎng)“S”。當(dāng)需要輸入等式時(shí)，研究人員不得不尋找高爾夫球大小的銀色球體，其中包含適當(dāng)?shù)淖址钥ㄈ氪蜃謾C(jī)。有些人尋求解決方法來(lái)避免麻煩。

“我沒(méi)有耐心使用IBM Selectric并切換球，”理查德·費(fèi)曼理論物理學(xué)教授John Preskill（約翰·普雷斯基爾）說(shuō)。“當(dāng)我還是一名本科生時(shí)，我打出我的畢業(yè)論文，但為方程式留出了空間，然后用手寫了出來(lái)。在我的博士論文中，一位技術(shù)打字員用手寫出了我寫的東西。

今天，打字機(jī)已經(jīng)讓位于PC個(gè)人計(jì)算機(jī)和其他現(xiàn)代技術(shù)，數(shù)學(xué)家和科學(xué)家更容易將他們的數(shù)學(xué)方程式傳達(dá)給合作者和世界其他地區(qū)。研究人員在虛擬白板上分享他們的公式，用智能手機(jī)拍攝方程式的照片，并使用一種名為LaTeX（發(fā)音為lay-tech）的備受贊譽(yù)的軟件程序在文檔中寫出方程式。在整個(gè)加州理工學(xué)院校園里，科學(xué)家和數(shù)學(xué)家都有各種用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫作的方法。有些人已經(jīng)數(shù)字化，而另一些人仍然更喜歡黑板的堅(jiān)毅觸覺(jué)。布倫理論物理學(xué)教授Fernando Brand?o（費(fèi)爾南多·布蘭多）說(shuō)，他已經(jīng)改用數(shù)字筆和平板來(lái)寫方程式。

“我曾經(jīng)把方程式寫在到處都是的紙上，”他說(shuō)。“現(xiàn)在我節(jié)約紙張和樹(shù)木”。

并非所有研究人員都以相同的方式看待這些手寫符號(hào)和軟件代碼。有些人稱數(shù)學(xué)為自然的語(yǔ)言，而另一些人則將其描述為抽象推理的工具。盡管如此，研究人員一致認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號(hào)使他們能夠揭示我們世界中與股票市場(chǎng)，計(jì)算機(jī)，黑洞甚至生物相關(guān)的隱藏模式和結(jié)構(gòu)。

“數(shù)學(xué)可以讓你一次封裝很多想法。它可以讓你找到切入問(wèn)題核心的精辟解決方案，“數(shù)學(xué)教授Tom Hutchcroft（湯姆·哈奇克羅夫特）說(shuō)。“想象一下下棋，每走一步棋都得寫下一段記錄一下。這就是在沒(méi)有方程式的情況下做數(shù)學(xué)的樣子。

古代算術(shù)

第一個(gè)書(shū)面的數(shù)學(xué)符號(hào)可以追溯到幾千年前，可以發(fā)現(xiàn)雕刻在黏土片、石頭和木頭上。古埃及人用符號(hào)或象形文字描繪了以10的冪排序的數(shù)字，例如蓮花，手指和青蛙。

我們所知道的現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)直到14世紀(jì)開(kāi)始的文藝復(fù)興時(shí)期才開(kāi)始流行起來(lái)。例如，在引入符號(hào)之前，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過(guò)使用六邊形來(lái)近似圓來(lái)推導(dǎo)出pi的值，但是在不使用pi符號(hào)——π的情況下這樣做，而π直到18世紀(jì)初才被引入來(lái)表示數(shù)學(xué)常數(shù)。

左圖：公元前2000年的巴比倫黏土片，上面刻有算術(shù)表。

圖片提供：Osama Shukir Muhammed Amin FRCP(Glasg)

右圖：一個(gè)信封，上面有阿爾伯特·愛(ài)因斯坦在1919年手寫的計(jì)算結(jié)果。

圖片提供：阿爾伯特·愛(ài)因斯坦檔案館，希伯來(lái)大學(xué)。

隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)家和科學(xué)家寫下方程式的需求也在增加。19 世紀(jì) 70 年代打字機(jī)的出現(xiàn)使這項(xiàng)工作變得更容易，但這仍然是一項(xiàng)繁瑣的任務(wù)。事實(shí)上，許多已發(fā)表的論文，包括阿爾伯特·愛(ài)因斯坦（Albert Einstein）的論文，他曾三次擔(dān)任加州理工學(xué)院的客座教授，以及加州理工學(xué)院長(zhǎng)期擔(dān)任物理學(xué)教授理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）的論文，都包含夾在打字文本之間的手寫方程。

愛(ài)因斯坦實(shí)際上在信封的正面和背面寫字以進(jìn)行計(jì)算，加州理工學(xué)院的Robert M. Abbey（羅伯特·艾比）歷史教授兼愛(ài)因斯坦論文項(xiàng)目主任Diana Kormos-Buchwald（戴安娜·科爾莫斯-布赫瓦爾德）解釋說(shuō)。該檔案包括一個(gè)1919年的信封，愛(ài)因斯坦在上面記下了未確認(rèn)的計(jì)算。“這是第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后的一年，紙張嚴(yán)重短缺。在紙張回收被發(fā)明之前，人們?cè)倮昧怂械募垙垺保f(shuō)。

LaTeX革命

Preskill和其他加州理工學(xué)院的研究人員回憶起這項(xiàng)發(fā)明，這項(xiàng)發(fā)明最終減輕了研究人員更換打字機(jī)球的負(fù)擔(dān)。從1970年代后期開(kāi)始，唐納德·高德納（Donald Knuth，1963年博士）開(kāi)發(fā)了一種名為TeX的排版語(yǔ)言，使研究人員能夠更輕松地打出數(shù)學(xué)符號(hào)。萊斯利·蘭波特（Leslie Lamport）是一名計(jì)算機(jī)科學(xué)家，當(dāng)時(shí)在加利福尼亞州門洛帕克的SRI國(guó)際公司工作，他讓TeX更進(jìn)一步，創(chuàng)建了一個(gè)名為LaTeX的文檔準(zhǔn)備系統(tǒng)，該系統(tǒng)使用TeX的語(yǔ)言。例如，要在文檔中鍵入符號(hào)π，研究人員會(huì)將命令“$pi$”寫入LaTeX程序。

“LaTeX改變了我們彼此交流的方式，”理論物理教授Xie Chen（謝晨）說(shuō)，她和許多其他科學(xué)家一樣，在撰寫技術(shù)論文甚至給同事的電子郵件時(shí)使用TeX語(yǔ)言來(lái)表示數(shù)學(xué)符號(hào)。她說(shuō)，有時(shí)，他們甚至懶得把代碼翻譯回?cái)?shù)學(xué)符號(hào)，因?yàn)檫@些代碼在他們的腦海中根深蒂固。

智能手機(jī)也改變了科學(xué)家交流數(shù)學(xué)的方式。很容易拍攝圖片并將公式的照片發(fā)送給彼此。虛擬白板也變得越來(lái)越流行，John D. MacArthur（約翰·麥克阿瑟）理論物理和數(shù)學(xué)教授Sergei Gukov（謝爾蓋·古科夫）說(shuō)。Gukov和許多其他研究人員在新冠大流行期間參加了在線數(shù)學(xué)社區(qū)，使他們能夠在類似教室的環(huán)境中虛擬地相互聯(lián)系，并解決各種數(shù)學(xué)和科學(xué)問(wèn)題。這些社區(qū)由美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)資助的美國(guó)數(shù)學(xué)研究所（AIM）開(kāi)發(fā)，該研究所將于2023年將其總部遷至加州理工學(xué)院。“虛擬白板是這些在線社區(qū)的關(guān)鍵，感覺(jué)非常像真正的黑板，”Gukov說(shuō)。

視頻會(huì)議的日益普及為數(shù)學(xué)家們彼此交流增加了另一個(gè)工具，Preskill說(shuō)：“有時(shí)在Zoom上，你只需在紙上寫一個(gè)方程式，然后把它舉到相機(jī)前。

模擬之美

即使隨著新的通信工具的出現(xiàn)，一些研究人員也更喜歡老派。Sherman Fairchild（謝爾曼·費(fèi)爾柴爾德）博士后理論物理學(xué)研究助理Monica Jinwoo Kang（莫妮卡·金宇·康）說(shuō)，她喜歡在黑板上寫方程。“黑板這么大，這有助于我更清楚地思考，”她說(shuō)。她甚至還有一個(gè)最喜歡的粉筆：一個(gè)叫羽衣（Hagoromo）的韓國(guó)品牌。

“其他粉筆和羽衣之間的區(qū)別是驚人的：抓力，手感和有效性，”她說(shuō)。粉筆有點(diǎn)厚，握持感人，同時(shí)防止黑板上出現(xiàn)任何刮擦聲。此外，粉筆毫不費(fèi)力地書(shū)寫，無(wú)需施加太大的壓力，也不會(huì)弄得一團(tuán)糟。

馬蒂爾德·馬可利（Matilde Marcolli）是羅伯特·克里斯蒂（Robert F. Christy）數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)學(xué)科學(xué)教授，她喜歡通過(guò)在她的方程上繪畫來(lái)創(chuàng)作彩色水彩畫。她說(shuō)，創(chuàng)作過(guò)程有助于她專注于數(shù)學(xué)研究。“從某種意義上說(shuō)，這是一種冥想，你正在看你剛剛寫的計(jì)算并思考它們;繪畫的過(guò)程有助于在頭腦中形成聯(lián)系。這就像一種聯(lián)覺(jué)形式（synesthesia），數(shù)學(xué)思想帶有附加的顏色和形狀。

數(shù)學(xué)家馬蒂爾德·馬可利的水彩畫，以她寫的方程為特色。

圖片提供：馬蒂爾德·馬可利

里奇·阿博特（Rich Abbott）是激光干涉儀引力波天文臺(tái)（LIGO）的工程師，他對(duì)手寫方程也有類似的親和力，他總是在官方工程文件上手寫方程。“看到方程式寫出來(lái)真是太好了，”他說(shuō)。“他們更人性化，更引人注目。你想了解他們。

新詞典

數(shù)學(xué)也可以用文字交流。當(dāng)阿基米德向他的同齡人解釋他如何計(jì)算圓周率的值時(shí)，他沒(méi)有引入一種數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言。相反，他使用圖片和文字。“我很難理解阿基米德是如何做到這一點(diǎn)的，”Hutchcroft（哈奇克羅夫特）說(shuō)。“對(duì)你認(rèn)為事情如何運(yùn)作有個(gè)人的理解是一回事，但向人們解釋你的想法是另一回事。

今天，文字仍然是數(shù)學(xué)研究的關(guān)鍵部分。經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)教授奧馬爾·塔穆茲（Omer Tamuz）對(duì)人們發(fā)明的用于解釋數(shù)學(xué)的單詞很感興趣。

“數(shù)學(xué)不僅僅是方程式，”他說(shuō)。“'x=0'，可以寫成'x消失'。數(shù)以千計(jì)的單詞被發(fā)明來(lái)表示數(shù)學(xué)中的對(duì)象或函數(shù)。有時(shí)，發(fā)明的單詞很聰明，可以幫助你記住含義。

想想“matroid”（擬陣）這個(gè)詞，塔穆茲說(shuō)。擬陣（matroid）類似于稱為矩陣（matrix）的數(shù)學(xué)對(duì)象，并將向量和圖形等不同概念聯(lián)系在一起。“有人編造了這個(gè)愚蠢的詞，但它很有用，因?yàn)槟阌浀盟怯械览淼模彼f(shuō)。“pointless topology”（無(wú)點(diǎn)拓?fù)?/strong>）是塔穆茲喜歡的另一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，因?yàn)樗莻€(gè)好的“文字游戲”。他說(shuō)，無(wú)點(diǎn)拓?fù)涫侵敢环N思考沒(méi)有點(diǎn)的幾何物體的性質(zhì)的方式，并補(bǔ)充道，他認(rèn)為將發(fā)明的一個(gè)數(shù)學(xué)概念標(biāo)記為“pointless”（無(wú)意義，該單詞的另一含義）是幽默的。