在反饋電路的分析中，如果前向放大倍數為Aopen，反饋系數為β，則閉環傳遞函數Aclose=Aopen/(1+Aopenβ)，其中Aopenβ為環路增益。 但是，在Aopen和β的計算中均要考慮負載效應，即反饋網絡會成為前饋放大器的負載，前饋放大器也會成為反饋電路的負載。 負載效應會使Aopen和β的計算變得復雜。 另外，在計算環路增益時，也要特別考慮應該在何處斷開反饋，使環路增益的計算更加準確。

本文介紹一種不需要斷開反饋環路的反饋分析方法——Bode 分析法。 此方法由H. W. Bode 在他的書Network Analysis and
Feedback Amplifier Design 中提出。

首先，我們觀察這樣一件事情。 在前饋放大器中肯定會有晶體管存在，也許在反饋網絡中也有晶體管(也有可能沒有)，如果將其中一個晶體管的小信號模型重點畫出，則其構成的反饋電路如圖1所示。 在圖1中，反饋電路被建模為一個二端口網絡，其中的壓控電流源就是其中的一個晶體管。 由于小信號模型是線性模型，因此vout與vin的關系可以寫為vout=Av,closevin，其中Av,close為閉環電壓增益。

圖1 反饋電路的二端口模型

2 Bode分析法

如果將晶體管的模型進行修改，將受控源修改為獨立源，則其構成的反饋電路如圖2所示。 此時，電路中的激勵除了vin之外還有i1，因此有

圖2 將晶體管模型替換為獨立源后的反饋電路二端口模型

其中，系數A、B、C和D可以由下面四個式子算出：

從上面的四個式子可以看出，系數A和C是在將晶體管電流強制置零時計算得出的，系數B和D是在輸入置零時得出的。 進一步分析可以得出，系數A代表電路的直接饋通增益，因為它是在將晶體管撤銷后的電路增益，這個增益主要是由于反饋網絡的直接饋通效應所引入的; 系數D與該晶體管的返回比(return
ratio)有關，因為它是輸入為0情況下晶體管柵源電壓v1與電流i1的比值，如果將v1乘上晶體管的跨導gm，則gmv1這個量代表柵源電壓v1應當使晶體管產生多大的漏源電流，猶如i1經過反饋環路一圈后在原位置處又產生的電流大小，因此?gmv1/i1=–gmD可以理解為是“環路增益”(–gmD=環路增益是有條件的，稍后會通過例子說明) ，更準確的說法是該晶體管的return
ratio。

實際上i1并不是獨立源，而是受控源，其大小為i1=gmv1。 將i1=gmv1代入vout=Avin+Bi1和v1=Cvin+Di1，可以得到閉環增益的表達式

上式即為使用Bode分析法得出的閉環增益公式。 我們觀察上式可以得出如下結論：

(1)當gm=0時(gm=0代表將該晶體管撤掉)，vout/vin=A。 這更加直觀地說明了系數A代表電路的直接饋通增益。

(2)如果A=0，則vout/vin=gmBC/(1–gmD)，這個表達式十分類似于通過傳統的反饋分析方法得出的閉環增益表達式vout/vin=Aopen/(1+loop
gain)。 事實上，如果電路中只存在一種反饋機制，并且我們所選擇的晶體管處于反饋環路中，則gmBC就是開環增益，–gmD就是環路增益。 另外，閉環增益表達式vout/vin=Aopen/(1+loop
gain)實際上忽略了反饋網絡的前饋效應，即忽略了系數A。

例1.利用Bode分析法計算圖3所示電路的閉環電壓增益(1種反饋機制，M2在反饋環路中，M1不參與反饋)

圖3

該電路為兩級放大結構，第一級為source follower，第二級為CS
stage。第一級的電阻RS引入了電流-電壓反饋，M2在該反饋環路中，而M1在反饋環路外。我們首先選擇晶體管M1進行分析。將M1的小信號電流i1置零，電阻RD上的電流為0，因此vout=0，系數A為

借助source follower的增益公式，可以得到

將vin置零，可以得到

另外，M1的return ratio為

閉環電壓增益

如果選擇晶體管M2進行分析，則M2的電流i2置零時，流經RS的電流為0，因此v1=0，id1=0，vout=0，則有

當vin置零時，有

M2的return ratio為

閉環電壓增益

通過以上計算，并對比選擇M1和選擇M2計算的結果，可以得到如下結論：

(1)盡管選擇不同晶體管計算得到的系數A~D可能不同，但是閉環增益的結果是相同的。

(2)不同晶體管的return
ratio可能不同，這是由于不同的晶體管可能引入不同的反饋，或者一些晶體管不參與反饋(如本例子中的M1)。當晶體管處于反饋環路中時，則該晶體管的return
ratio為該反饋環路的環路增益。如果某個晶體管的return
ratio=0，則該晶體管不參與反饋。本例子中M2引入電流-電壓反饋，將輸出電流iout反饋為電壓vf，與輸入電壓vin作差后得到電壓ve，如圖4所示。其中，前向放大倍數Aopen=iout/ve=gm2，反饋系數β=vf/iout=RS，因此環路增益loop
gain=Aopenβ=gm2RS，與M2的return ratio相等。

圖4 M2引入的電流-電壓反饋

例2.利用Bode分析法計算圖5所示電路的閉環增益(2種反饋機制，M1和M2處于不同反饋環路中)

圖5

該電路中，M1既參與局部的電流-電壓反饋(與前一個例子中的source
follower引入的反饋一樣)，又參與全局的電壓-電流反饋，同時處在兩個反饋環路中;而M2只參與全局的電壓-電流反饋。

如果選擇M1進行計算，當i1=0時，流經電阻RS的電流為iin，可以得到A和C的值

將iin置零，可以得到B和D的值

M1的return ratio為

其中的gm1RS項與局部的電流-電壓反饋有關，gm1RSgm2RD項與全局的電壓-電流反饋有關。閉環增益為

選擇M2進行計算可以得到系數A~D的值為

M2的return ratio為

閉環增益為

3 Blackman 阻抗定理

借助之前Bode 分析法的思想，如果我們將輸出量定義為端口電壓vin，將輸入量定義為同一端口的電流iin，如圖6所示，則有

圖6 Blackman 阻抗定理推導所用的電路模型

這個端口的阻抗Zin=vin/iin，也可以看作是一種vin對于iin的“增益”，因此有

為了使上式變得更加直觀，我們定義開路環路增益(open-circuit loop gain，TOC)和短路環路增益(short-circuit
loop gain，TSC)兩個量。開路環路增益的定義為：當iin=0(端口開路)時，?gmv1/i1的值(回憶在第2節中，return
ratio=?gmv1/i1可以理解為是環路增益)，如圖7所示。由于iin=0，則有

由此可以得到開路環路增益

圖7 開路環路增益的計算

類似地，短路環路增益的定義為：當vin=0(端口短路)時，?gmv1/i1的值，如圖8所示。由于vin=0，則有

由此可以得到短路環路增益

圖8 短路環路增益的計算

結合Zin、TOC和TSC的表達式，可以得到Blackman 阻抗定理：

其中A是當晶體管被撤掉時的端口阻抗，即開環端口阻抗。因此要想計算端口阻抗，只需要計算A、TOC和TSC即可。另外，我們知道：

(1)當反饋類型為電壓-電壓反饋或者電流-電壓反饋時，反饋網絡向輸入端反饋電壓信號，其與輸入端串聯，輸入阻抗Zin=Zin,open(1+T)，其中T為環路增益。

(2)當反饋類型為電壓-電流反饋或者電流-電流反饋時，反饋網絡向輸入端反饋電流信號，其與輸入端并聯，輸入阻抗Zin=Zin,open/(1+T)。

(3)當反饋類型為電壓-電壓反饋或者電壓-電流反饋時，反饋網絡檢測輸出端電壓信號，其與輸出端并聯，輸出阻抗Zout=Zout,open/(1+T)。

(4)當反饋類型為電流-電壓反饋或者電流-電流反饋時，反饋網絡檢測輸出端電流信號，其與輸出端串聯，輸出阻抗Zout=Zout,open(1+T)。

將這四個阻抗表達式與Blackman 阻抗定理相比較，可知：

(1)在計算輸入阻抗時，如果TOC=0，則反饋網絡只向輸入端反饋電壓信號，反饋網絡與輸入端純串聯;如果TSC=0，則反饋網絡只向輸入端反饋電流信號，反饋網絡與輸入端純并聯。

(2)在計算輸出阻抗時，如果TSC=0，則反饋網絡只檢測輸出電壓信號，反饋網絡與輸入端純并聯;如果TOC=0，則反饋網絡只檢測輸出電流信號，反饋網絡與輸入端純串聯。

(3)如果TOC和TSC均不為0，則既有電壓反饋，又有電流反饋。

4 漸進形式的閉環增益(Asymptotic Gain Form)

由第2節中推導得到的閉環增益表達式

再進行延伸。當gm=0時，vout/vin=A，因此將A記為H0。下標0代表其為gm=0時的閉環增益。當gm→∞時，vout/vin=A–BC/D，因此將A–BC/D記為H∞，下標∞代表其為gm→∞時的閉環增益。又有return
ratio的值T=–gmD，因此閉環增益可以表示為

因此得到閉環增益的漸進形式：

其中，H0的意義為直接饋通增益，H∞的意義為理想增益(即將放大器作虛短和虛斷處理后，得到的增益1/β)。忽略反饋網絡的直接饋通時(H0=0)，vout/vin=H∞T/(1+T)，這與我們所熟知的公式vout/vin=A/(1+T)=(1/β)×T/(1+T)十分符合。