相量法是線性電路正弦穩(wěn)態(tài)分析的一種簡易方法。

01 復(fù) 數(shù)

復(fù)數(shù)及其運算是應(yīng)用相量法的基礎(chǔ)。

一個復(fù)數(shù)有多種表示形式。 復(fù)數(shù)F的代數(shù)形式為：

其中為虛單位。 a稱為復(fù)數(shù)F的實部，b成為復(fù)數(shù)F的虛部。 復(fù)數(shù)F在復(fù)平面上是一個坐標(biāo)點，常用原點至該點的向量表示，如下圖所示。

圖1 復(fù)數(shù)的表現(xiàn)形式

根據(jù)上圖，可得到復(fù)數(shù)F的三角形式為：

復(fù)數(shù)F的指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式為：

式中| F|為復(fù)數(shù)的模值，θ為復(fù)數(shù)的輻角，可以用弧度或度表示。 他們之間的關(guān)系為：

有時候還使用Re[F]=a表示取復(fù)數(shù)F的實部，Im[F]=b表示F的虛部;

F*表示復(fù)數(shù)F的共軛復(fù)數(shù)，即

注：兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。

1.1復(fù)數(shù)加減運算

復(fù)數(shù)的相加和相減。

復(fù)數(shù)的加減運算可以使用平行四邊形法在復(fù)平面上用向量的相加和相減求得。

1.2復(fù)數(shù)的乘除運算

復(fù)數(shù)相乘使用指數(shù)形式較為方便

故

用代數(shù)形式表示為：

復(fù)數(shù)相除運算為：

故有

代數(shù)形式：

后續(xù)可以上下同乘以F2的共軛復(fù)數(shù)進行有理化運算。 復(fù)數(shù)乘以共軛復(fù)數(shù)為實數(shù)。

復(fù)數(shù)乘除運算圖解如下圖所示：

從上圖可以看出：復(fù)數(shù)乘、除表示為模的放大或縮小，輻角表示為逆時針旋轉(zhuǎn)或順時針旋轉(zhuǎn)。

復(fù)數(shù)

是一個模等于1，輻角為θ的復(fù)數(shù)。 任意復(fù)數(shù)

乘以于把復(fù)數(shù)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，而A的模不變，故稱為旋轉(zhuǎn)因子。

根據(jù)歐拉公式，

。 因此“±j“和”-1“都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。

例如一個復(fù)數(shù)乘以j等于把該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上逆時針旋轉(zhuǎn)π; 要給復(fù)數(shù)除以j等于把該復(fù)數(shù)乘以-j，因此等于把它順時針旋轉(zhuǎn)π/2。

02 正 弦 量

電路中按照正弦規(guī)律變化的電壓或電流，統(tǒng)稱為正弦量。

若在電路中有正弦電流i,指定參考方向下，其數(shù)學(xué)表達式如下：

式中的3個常數(shù)

稱為正弦量的三要素。

Im稱為正弦量的振幅，它是正弦量在整個振蕩過程中達到的最大值，也是正弦量的極大值。

隨時間變化的角度稱為正弦量的相位，或相角。 ω稱為正弦量的角頻率，它是正弦量的相位隨時間變化的角頻率，即：

單位為rad/s(弧度/秒)。 它與正弦量的周期和頻率f之間的關(guān)系為：

頻率f的單位為1/s(1/秒)，稱為Hz(赫茲，簡稱赫)。

?i是正弦量在t=0時刻的相位，稱為正弦量的初相位(角)，簡稱初相，即

初相的單位用弧度或度表示，通常在主值范圍內(nèi)取值，即|?i|≤180°。 初相與計時零點的選擇有關(guān)。

對于同一電路系統(tǒng)中的許多相關(guān)的正弦量，只能相對于一個共同的計時零點確定各自的相位。

正弦量的三要素是正弦量之間進行比較和區(qū)分的依據(jù)。

正弦量隨時間的變化的圖形稱為正弦波。 下圖為正弦電流i的波形圖(?i>0),橫軸可以用時間t或wt(rad)兩種方式表示。

正弦量乘以常數(shù)，正弦量的微分、積分，同頻正弦量的代數(shù)和等運算，其結(jié)果仍為一個同頻率的正弦量。

工程中常將周期電流或電壓在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應(yīng)換算為等效的直流量，以衡量和比較周期電流或電壓的效應(yīng)，這一等效的直流量就稱為周期量的有效值，用相應(yīng)大寫字母表示。

如周期量i的有效值I定義如下：

即周期量的有效值等于其瞬時值的平方在一個周期內(nèi)積分的平均值的平方根，因此有效值也稱均方根值。

有效值和峰值的關(guān)系：

兩個同頻正弦量的相位差等于它們相位相減的結(jié)果。

同頻正弦量的相位差等于初相位之差，是一個與時間無關(guān)的常數(shù)。 電路中常用“超前”和“滯后”來表示兩個正弦量之間的相位關(guān)系。

當(dāng)?12>0時，稱為1超前2，或2滯后于1; 當(dāng)?12=0時，稱為1和2同相;|?12|=π/2時，稱1和2相交;|?12|=π時，稱1和2反相。

03 相量法的基礎(chǔ)

相量法是分析正弦電路穩(wěn)定狀態(tài)的一種簡易方法。

根據(jù)電路定律VCR、KCL和KVL，編寫含有儲能元件的線性非時變電路的電路方程，如下所示。

當(dāng)us為正弦量時，上述方程中的電流i的特解(響應(yīng)的強制分量)一定是與us同一頻率的正弦量。 即線性非時變電路在正弦電源激勵下，各支路電壓、電流的特解都是與激勵同頻率的正弦量，當(dāng)電路中存在有多個同頻率的正弦激勵時，該結(jié)論同樣成立。

工程中將電路的這一特解狀態(tài)稱為正弦電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱正弦穩(wěn)態(tài)。 電路處于正弦穩(wěn)態(tài)時，同頻率的各正弦量之間，僅在有效值、初相上存在“差異和聯(lián)系”。

電路中正弦電壓us和正弦電流i對應(yīng)的向量可以表示為：

即正弦量的對應(yīng)相量是一個復(fù)數(shù)，它的模為正弦量的有效值，它的輻角為正弦量的初相。

相量在復(fù)平面上表示的圖形稱為相量圖，如下圖所示。

電路中有時也用正弦量的振幅表示相量的模，稱為振幅相量。

04 電路定律的相量形式

用相量通過復(fù)數(shù)形式的電路方程描述電路的基本定律VCR(電壓、電流和電阻關(guān)系)、KCL(基爾霍夫電流定律)和KVL(基爾霍夫電壓定律)，稱為電路定律的相量形式。

注：電路的運行規(guī)則由電路的結(jié)構(gòu)和元件的特性共同決定，KCL和KVL描述電路結(jié)構(gòu)，VCR描述元件特性。

KCL的相量形式：

對電路中任一節(jié)點有：

當(dāng)式中的電流全部都是同頻率的正弦量時，則可變換為相量形式為：

即任一節(jié)點上同頻率的正弦電流的對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

KVL的相量形式：

對電路中任一回路有：

即任一結(jié)點上同頻的正弦電流的對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

當(dāng)式中的電壓全都是同頻的正弦量時，可變換稱相量形式為：

即任一回路中同頻的正弦電壓的對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

電阻、電感和電容元件的VCR的相量形式：當(dāng)有正弦電流

通過時，根據(jù)歐姆定律，電壓-電流的時域關(guān)系為

說明電阻上的電壓、電流都是同頻的正弦量。 令電壓相量為

，則相量形式有

他們的有效值依然符合歐姆定律，輻角相等，即電壓電流同相。

若是電感電路中，有正弦電流

通過時，根據(jù)電感的電壓-電流的時域關(guān)系有

說明電感L上的電壓、電流為同頻正弦量。 令電壓相量為

，uL的表達式變換后的相量形式為

電壓、電流有效值之間的關(guān)系類似于歐姆定律，但與角頻率ω有關(guān)，其中與頻率成正比的ωL具有與電阻相同的量綱[Ω]，稱為感抗， -1/ωL稱為感納;

電感L上的電壓將跟隨頻率變化，當(dāng)ω=0時(直流), ωL=0,uL=0，電感相當(dāng)于短路; 當(dāng)ω=∞時,
ωLà∞,i=0，電感相當(dāng)于k開路，在相位上電壓超前電流90°。

對于電容電路而言，有和電感相似的特性，只不過剛好相反。

其結(jié)論如下：

電壓、電流有效值之間的關(guān)系類似于歐姆定律，但與角頻率ω有關(guān)，其中與頻率成正比的-1/ωC具有與電阻相同的量綱[Ω]，稱為容抗，ωC稱為容納;

電容C上的電壓將跟隨頻率變化，當(dāng)ω=0時(直流),1/ωC =∞,iC=0，電容相當(dāng)于開路; 當(dāng)ω=∞時,1/ωC à0,
uL=0，電容相當(dāng)于短路，在相位上電壓滯后電流90°。