若無法得到車輛在地圖上的準確位置及周圍障礙物的位置，那么自動駕駛便無從談起。因此在自動駕駛領域，對車輛自身及周圍物體的精確定位至關重要。然而現(xiàn)實環(huán)境中存在各類噪聲，無論是激光雷達、慣性導航器件甚至衛(wèi)星定位系統(tǒng)都無法得到完全真實的車輛位置信息。為了應對此類情況，便需要采用濾波算法來過濾觀測噪聲，以得到更加精確的定位結果。

前言

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何為卡爾曼濾波

在各類濾波定位算法中，卡爾曼濾波是最為知名的一種。為了解決阿波羅登月計劃中的航天器定位及噪聲干擾問題，這種算法最初在1963年由匈牙利數(shù)學家魯?shù)婪颉た柭岢鯷1]。卡爾曼濾波不僅將過去類似的基于系統(tǒng)可觀性與可控性的控制方法做出了系統(tǒng)化的整理，并且在嚴格的數(shù)學意義上證明這種方法在線性系統(tǒng)的高斯隨機噪聲過濾方法中具有最優(yōu)性。

卡爾曼濾波的簡單舉例

為了更好的理解卡爾曼濾波的基本原理，本文首先對卡爾曼濾波的原理進行舉例說明。

試想一下，假設你要憑借地圖從A地前往B地，你要如何知道自己的位置呢？

首先，你可以通過自己的腳程判斷，“A地到B地大約10公里，憑我的腳程大約需要步行3小時左右”。

其次，還可以通過路牌和手里的地圖判斷，“這個路牌上寫著到了D鎮(zhèn)，地圖上顯示D鎮(zhèn)應該在距離B地還有3公里的地方”。

然而不論是地圖還是腳程估算都存在的較大誤差，此時我們?yōu)榱说玫礁鼫蚀_的所處位置，可以結合地圖與腳程來對當前位置進行估算。比如：A地到B地大約10公里，憑我的腳程大約需要步行3小時左右，目前已經走了2小時，那么我推測再過不久就可以到達D鎮(zhèn)，此時再對照地圖上D鎮(zhèn)的位置，就可以得到更加精確的位置信息，同時通過對比實際到達D鎮(zhèn)的時間，還可以反過來修正對于自己腳程的估計誤差。

在這個例子里，通過自己腳程估計的位置，在卡爾曼濾波里就被稱為狀態(tài)預測，其誤差則為估計誤差，估計方法為預測矩陣，地圖上自己的位置則為狀態(tài)觀測，從地圖換算到當前位置的方法則被稱為觀測矩陣。卡爾曼的關鍵就在于對即將到來的觀測進行預測，并用其對比最后實際得到的觀測，通過這兩者之間的差值進行修正。假設用一個笛卡爾坐標系來對這種方法進行表示，則可參考圖1。

圖1 卡爾曼濾波原理示意圖

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卡爾曼濾波的基本公式

根據(jù)上一節(jié)的例子，我們就可以引出卡爾曼濾波的基本公式：

（1） （2） （3） （4） （5） （6）

前兩步是根據(jù)上一個最優(yōu)估計值得出此刻的估計值和估計值的協(xié)方差，緊接著就可以得到此刻的最優(yōu)估計值和最優(yōu)估計值的協(xié)方差，然后利用此刻的最優(yōu)估計值和最優(yōu)估計值的協(xié)方差進行下一個迭代。

公式詳解

看起來有點多，但是實際上非常緊湊，推理非常嚴謹，接下來將對上述六個公式進行詳細解釋。

式（1）為系統(tǒng)的狀態(tài)預測公式，通過上一時刻的位置對當前時刻的位置進行了推測，但是由于過程噪聲的存在，這個推測出的位置不完全符合真實情況。

式（2）為系統(tǒng)的狀態(tài)誤差傳遞，類似式（1），是基于上一時刻位置可能分布的范圍對當前時刻的可能分布范圍做出預測，Q是可能的估計誤差。

式（3）則是當前時刻觀測量的預測值，代表我們根據(jù)預測出的狀態(tài)，推測出我們將會觀測到的讀數(shù)，并非真正的讀數(shù)。

式（4）為卡爾曼增益的計算方法，其物理意義為狀態(tài)預測誤差與觀測誤差的比例關系。

式（5）則為對系統(tǒng)狀態(tài)的更新，這個公式可以分為兩方面看，后半段的代表實際讀數(shù)與推測讀數(shù)之間的差值，被稱為殘差。使用式（4）求得的卡爾曼增益與殘差相乘，可以得到對狀態(tài)預測的修正量，最終式（5）可以得到圖1中的卡爾曼位置估計更新。

式（6）則為對位置估計的分布估計，可以作為下一時刻式（2）的初值使用。

實例說明

假設車輛在進行勻速運動，則可以設置其遞推運動模型為：

（7） （8）

其中式（7）代表k時刻的車輛狀態(tài)，包含車輛的坐標和在橫縱坐標軸的速度，式（8）則為勻速運動狀態(tài)轉換矩陣，可以通過將式（7）、（8）帶入式（1）求取下一時刻的狀態(tài)預測。

之后我們給出狀態(tài)誤差矩陣的迭代初值，通常設置為一個與狀態(tài)同階的單位陣，帶入式（2）即可求得下一時刻的誤差矩陣預測，這里Q需要根據(jù)估計模型的誤差來人為給定。

下一步，我們假設運動系統(tǒng)使用GPS作為觀測器，經過預處理的GPS信號可以直接輸出車輛的位置坐標，那么GPS的觀測模型可以簡化為：

（9） （10）

將式（9）與式（1）的結果帶入式（3），可以得到基于狀態(tài)預測的觀測值預測，系統(tǒng)觀測誤差的方差矩陣R可以根據(jù)傳感器的技術說明書確定。

最后，按順序將上述變量帶入式（4）、（5）、（6）即可實現(xiàn)對位置坐標的更新，同時得到的結果還可以作為下一步迭代的初值。

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非線性卡爾曼濾波

雖然卡爾曼濾波已經在數(shù)學上被嚴格證明具有最優(yōu)性，然而卻無法處理非線性系統(tǒng)。針對這種情況，現(xiàn)有的解決方法分為兩種，分別是基于泰勒展開進行線性化近似的擴展卡爾曼濾波[2]和基于多點采樣進行均值方差近似的無跡卡爾曼濾波。

擴展卡爾曼濾波

擴展卡爾曼濾波通過一組式（11）所示的n階泰勒線性展開式近似表達非線性函數(shù)：

（11）

如圖2所示，其階數(shù)越高，近似程度越高。

圖2 各級泰勒展開線性化效果

這種方法具有計算復雜度低、技術成熟的優(yōu)點，因此，目前在工程中被廣泛使用。然而由于泰勒展開式的復雜度隨著階數(shù)呈指數(shù)增長，往往在實際應用中很難實現(xiàn)三階以上的泰勒展開，這導致了這種線性化方法存在較大的截斷誤差，因此限制了算法的估計精度，并且在非線性程度較高的系統(tǒng)中容易發(fā)散。

無跡卡爾曼濾波

無跡卡爾曼濾波則通過對非線性函數(shù)在目標時刻的均值與方法進行相似擬合來實現(xiàn)線性化近似的（如圖3所示），這種方法被稱為無跡變換（UT變換）。

圖3 無跡變換原理

UT變換已被Julier和Uhlmann[3]證明具有不低于三階泰勒展開的線性化精度，因此基于UT變換的無跡卡爾曼濾波具有相對于擴展卡爾曼濾波更高的精度，同時其均值與方差的擬合不會受函數(shù)非線性化程度的影響，因此可以適用于更為非線性的系統(tǒng)。然而，由于使用無跡卡爾曼濾波需要設置較多參數(shù)，并且計算負擔較重，因此在實際工程中仍然不能完全取代擴展卡爾曼濾波。

基于上述原因，目前在非線性系統(tǒng)上需要根據(jù)系統(tǒng)特征與實際需求對濾波器的性能做出取舍，選擇最合適的方法進行計算。

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SLAM中的卡爾曼濾波與圖優(yōu)化

由于SLAM（Simultaneous Localization and Mapping，同步定位與建圖）中對于特征點、路徑與移動體的定位同卡爾曼濾波的適用范圍十分吻合，因此，早期SLAM中通常采用卡爾曼濾波在后端對輸出進行優(yōu)化。隨著計算能力的不斷加強，近年來基于圖優(yōu)化的SLAM方法也逐漸占據(jù)了一席之地。

從應用角度分析，基于卡爾曼濾波和基于圖優(yōu)化的SLAM方法各有優(yōu)勢。

卡爾曼濾波具有計算速度快、系統(tǒng)簡單的優(yōu)點，但由于其對后端輸出的優(yōu)化僅基于相鄰兩個馬爾可夫鏈的信息進行一次迭代，因此在精度上有所欠缺，更適用于高動態(tài)且對精度要求不高的場合。

相對的，因子圖優(yōu)化可以統(tǒng)籌全局信息以對各位姿輸出進行優(yōu)化，并且優(yōu)化迭代次數(shù)可以人為設置，可以得到更加精確的后端輸出。正因如此，其每次迭代及出現(xiàn)新的輸出時都需要對全局進行計算，使得計算負擔大幅增加。所以一般情況下，基于圖優(yōu)化的SLAM僅適用于對于精度要求極高的特殊場合。

隨著技術的發(fā)展，這兩種路線也在分別補齊自身的固有短板。

如基于濾波的SLAM中引入了迭代擴展卡爾曼濾波，將最小二乘法與卡爾曼濾波相結合，對誤差而不是位姿進行優(yōu)化，實現(xiàn)了更高的定位精度，并且可以實現(xiàn)動態(tài)設置迭代次數(shù)，代表算法有LINS和Fast-Lio等。

反之，為了應對圖優(yōu)化“牽一發(fā)而動全身”的問題，最近比較熱門的LIOM和LIO-SAM等算法引入了動態(tài)滑窗和關鍵幀機制，僅對少數(shù)相關的時刻進行聯(lián)系，有效降低了冗余計算，并且引入了IMU預積分等技術，進一步削減系統(tǒng)的計算負擔，獲得了更快的動態(tài)響應時間。

總體來看，基于圖優(yōu)化的SLAM是未來的發(fā)展趨勢，而目前產品化的SLAM設備仍以濾波為主流。

審核編輯 ：李倩