雷達(dá)方程大家一直是既熟悉又陌生的狀態(tài)，熟悉在于其形式之簡(jiǎn)，無(wú)非就是幾個(gè)物理量的乘除，物理模型及概念又清楚明了；陌生在于雖其形式之簡(jiǎn)，但使用起來(lái)終究有種食之無(wú)味，棄之可惜之感，之后就束之高閣了。原因在于，雷達(dá)方程本質(zhì)是一個(gè)將環(huán)境電磁傳播，目標(biāo)散射屬性，雷達(dá)射頻硬件，信號(hào)處理算法等緊密聯(lián)系起來(lái)的方程式。換句話說(shuō)，雷達(dá)方程是一個(gè)將物理組件實(shí)體和軟件信號(hào)虛體緊密聯(lián)系的偉大方程。

方程同時(shí)涉及硬件，射頻天線及軟件算法。負(fù)責(zé)硬件的同學(xué)，可能熟悉PCB特性，比如怎么樣的板材的介電常數(shù)比較穩(wěn)定，損耗較小，從而實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量電磁輻射。負(fù)責(zé)射頻天線的，對(duì)天線增益，阻抗匹配，傳輸線損耗比較熟悉。做軟件算法的，對(duì)信噪比估計(jì)，F(xiàn)FT算法等比較擅長(zhǎng)。但是，這三位同學(xué)如果只是限于自身領(lǐng)域，是不可能對(duì)雷達(dá)方程有更深層次認(rèn)識(shí)的，始終會(huì)處于似懂非懂的境地，用起來(lái)也就味同嚼蠟了。

▲ radar equation

事實(shí)上，深入了解雷達(dá)方程并不需要硬件，射頻天線及軟件算法方面的艱深知識(shí)，只要這三個(gè)領(lǐng)域一些基本的知識(shí)概念即可，我嘗試拋磚引玉，分享一種我的理解思路及分析邏輯。并且我也會(huì)分享關(guān)于雷達(dá)方程在工程中的作用以及使用注意點(diǎn)等。

需要說(shuō)明，關(guān)于雷達(dá)方程模型解釋方面的資料多如牛毛，考慮篇幅以及文章定位，不再贅述，讀者可以自行查閱其他資料，這樣做雖使得文章略欠系統(tǒng)性，但我希望主要把雷達(dá)方程最本質(zhì)的東西呈現(xiàn)于你。

另外指出，雷達(dá)方程常用的還有對(duì)數(shù)形式，對(duì)于單發(fā)單收（SISO），方程如下，

▲ radar equation(log type)

我以一個(gè)具體的例子貫穿全文闡述雷達(dá)方程，并且聯(lián)系實(shí)際。

大家可能看過(guò)TI radar chip的datasheet，比如AWR1642（如下圖）

▲ 器件概述（局部）

其中藍(lán)框內(nèi)有個(gè)重要的參數(shù)指標(biāo)RX噪聲系數(shù)（Noise Figure，NF），在76-77GHz內(nèi)可以做到14dB。噪聲系數(shù)如何定義以及計(jì)算大家可以自行查閱資料。這個(gè)參數(shù)極為重要，并且越小越好。那么TI設(shè)計(jì)為14dB是否有什么依據(jù)，或者說(shuō)TI將噪聲系數(shù)設(shè)置為14dB有什么思考邏輯，又或者說(shuō)這個(gè)數(shù)值是不是芯片性能與成本的某種平衡。我嘗試從雷達(dá)方程的角度提供一個(gè)解釋，從中也可以反應(yīng)雷達(dá)方程的作用以及加深你對(duì)雷達(dá)方程的認(rèn)識(shí)。

TI公司設(shè)計(jì)的AWR1642，功能框圖如下。

▲ AWR1642功能框圖

其中，RX接收共有4路，如功能框圖圖藍(lán)框所示，每一路可以稱為接收模擬鏈路（RX analog chain）,該鏈路包含兩大核心組件，RF(如LNA，mixer)，以及baseband(如IF，VGA，HPF等)，需要指出，前述的噪聲系數(shù)并不是鏈路中某個(gè)器件的噪聲系數(shù)，而是整個(gè)模擬接收鏈路（rx analog chain）的整體噪聲系數(shù)。因此，噪聲系數(shù)(NF)可以理解為，對(duì)應(yīng)于每個(gè)channel，接收信號(hào)在LNA輸入到ADC輸入這個(gè)過(guò)程中的信噪比損失。

那么這個(gè)信噪比損失也就是噪聲系數(shù)設(shè)置為多少合適呢，如果太小，當(dāng)然是極好的，好是好估計(jì)要費(fèi)好多錢(qián)和頭發(fā)，成本扛不住。如果太大，算法中有用信號(hào)被噪聲淹沒(méi)了，雷達(dá)就廢了。不過(guò)，借助雷達(dá)方程，我們可以粗略估計(jì)其數(shù)值。

▲ 雷達(dá)電磁傳播

首先，在確定NF之前，我們暫時(shí)先回到天線設(shè)計(jì)，我們?cè)O(shè)計(jì)的天線必須達(dá)到足夠的靈敏度（Sensitivity），所謂靈敏度就是雷達(dá)天線能夠接收微弱信號(hào)的能力表征。這與功能需求有關(guān)，比如，要求載頻77GHz雷達(dá)在80m處檢測(cè)到一個(gè)成人（rcs=0dBsm），并且雷達(dá)的輻射功率為12dBm，收發(fā)天線增益為12dBi。忽略一些損耗，根據(jù)前述雷達(dá)對(duì)數(shù)方程，在接收端某個(gè)channel，LNA輸入前的雷達(dá)接收信號(hào)能量為-121dBm(Pr = rcs - R + Gt + Gr + Pt + K)，這些量都是對(duì)數(shù)形式，K為方程中常數(shù)項(xiàng)的對(duì)數(shù)，所以Pr = 0 - 40*log10(80)+12 + 12 + 12 + 10 log10((0.00392.^2)/((4pi).^3)) =-121dBm。

假設(shè)rx端靈敏度足夠高，能夠檢測(cè)接收-121dbm的信號(hào)功率，也就是說(shuō)LNA端的輸入是-121dBm，若不考慮通道增益不平衡以及環(huán)境雜波，每個(gè)channel的-121dBm能量將通過(guò)各自的rx analog chain 以及ADC處理。之后就是算法上距離維，速度維，角度維的處理。這個(gè)過(guò)程中，rx analog chain若干組件會(huì)放大接收信號(hào)，也就是接收信號(hào)獲得增益，但同時(shí)也會(huì)引入噪聲（通常是熱噪聲）。算法上的處理，如FFT處理同樣引入信號(hào)處理增益。那上述這些增益及噪聲與NF有何關(guān)聯(lián)？繼續(xù)分析。

▲ Receive Subsystem (Per Channel）

信號(hào)目標(biāo)判決通常在算法層實(shí)施，如在range-Doppler map 進(jìn)行閾值判斷以及CFAR處理從而確定有效檢測(cè)，這里有個(gè)算法上的核心工作： 確定全局信噪比 。信噪比的確定方法有很多，不過(guò)不在本文討論之列，假設(shè)我確定了該信噪比SNR為17dB，也就是說(shuō)，任何低于17dB的目標(biāo)檢測(cè)都視作無(wú)效目標(biāo)檢測(cè)點(diǎn)。

將前述增益，噪聲，NF，以及SNR這幾個(gè)量統(tǒng)一的方式就是修正后的雷達(dá)方程。其對(duì)數(shù)形式為，

其中SNR中的Pr是在算法中做完距離維，多普勒維FFT后估計(jì)的接收功率。如果Pr是LNA前的接收信號(hào)功率，那么上式將修正為，

本文開(kāi)頭的雷達(dá)方程止于接收端LNA之前的信號(hào)分析。如果再考慮rx analog chain以及信號(hào)處理算法鏈路，并引入檢測(cè)信噪比，那么雷達(dá)方程的形式將得到修正，也就是得到式(1)。

修正后的雷達(dá)方程非常有用。我們首先用它來(lái)估計(jì)NF。

比如接收端的檢測(cè)信噪比為17dB，上式kTNF表征熱噪聲，在微波頻率上，噪聲通常是在接收機(jī)內(nèi)部產(chǎn)生的。在接收機(jī)輸入級(jí)的電阻部分會(huì)由于導(dǎo)電電子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生噪聲，稱為“熱噪聲”或“約翰遜噪聲”，k為玻耳茲曼常數(shù)，數(shù)值上等于1.38e-23。T為熱力學(xué)溫度。NF為噪聲系數(shù)。NTr中N為chirp個(gè)數(shù)，Tr為chirp時(shí)寬。

那么若NTr為10ms，也就是累計(jì)時(shí)間為10ms，該數(shù)據(jù)代入方程(1)后得到，

NF = -40*log10(80)+12+12+12-81+174-20-17 = 15.8dB

通常，NTr要遠(yuǎn)大于10ms，對(duì)NF的要求更低。所以式中的數(shù)據(jù)相對(duì)苛刻些。至此我們完成了NF的合理估計(jì)。那么你可能還有疑惑，方程(1)如何來(lái)的？

事實(shí)上，式(1)的非對(duì)數(shù)形式為，

其中的NTr = NMTs，其中M為chirp采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，Ts為快時(shí)間維采樣間隔。所以，上式可以進(jìn)一步得到，

其中P_algo是算法中估計(jì)信號(hào)功率，P_beforeADC是信號(hào)輸入ADC之前的功率，P_LNA是LNA前測(cè)量的信號(hào)功率。由此可見(jiàn)，式(1)與本文開(kāi)頭的雷達(dá)方程也是統(tǒng)一的，只不過(guò)經(jīng)過(guò)算法處理后需要補(bǔ)償FFT的增益而已。

以上分析以及計(jì)算都是基于一定的前提條件，包括但不限于

1 收發(fā)天線無(wú)波束傾斜（no Antenna beam tilt measurement）,也就是天線輻射boresight.必須對(duì)準(zhǔn)0°。天線波束tilt與多種因素有關(guān)，比如PCB，天線與饋電設(shè)計(jì)，RF，殼體與天線罩。像一些高增益天線以及低成本PCB材料容易發(fā)生波束tilt，需要詳細(xì)測(cè)試或校準(zhǔn)。

2 無(wú)多通道天線增益不平衡以及無(wú)相位失配（mismatch），如果存在問(wèn)題，需校準(zhǔn)。

3 忽略PCB傳導(dǎo)損耗（Conductor Loss）,介電常數(shù)變化，銅箔不平整等問(wèn)題。

4 不考慮溫度影響，否則需要溫度校準(zhǔn)。比如溫度對(duì)相位的校準(zhǔn)表。

5 環(huán)境路徑損耗，天氣引起的各類損耗，可以作為修正項(xiàng)引入。

事實(shí)上，式（1）的作用包括但不限于，

*TX-RX 回環(huán)SNR測(cè)量計(jì)算，并與RF鏈路理論分析結(jié)果對(duì)比，從而評(píng)估SNR合理性

*將TX輸出功率以及RX端噪聲系數(shù)整合，能夠識(shí)別整個(gè)鏈路中發(fā)射端天線增益，輸出功率，接收端天線增益可能存在的問(wèn)題。

也就是說(shuō)，如果你的雷達(dá)測(cè)距范圍在算法上已經(jīng)窮途末路，那不妨試試?yán)走_(dá)方程鏈路分析手段，或許你會(huì)發(fā)現(xiàn)一些鏈路組件值得改進(jìn)優(yōu)化的點(diǎn)，從而進(jìn)一步增強(qiáng)你的雷達(dá)測(cè)距性能。