開環/閉環函數波特圖的關系

為簡化問題，以單位負反饋系統為例說明。環路，loop gain，也就是我們常說的"開環傳遞函數"就是G，整體的閉環傳遞函數就是T。

在工程習慣中，G會被直接用來做loop gain環路分析，觀察其穿越頻率ωc，增益相位裕度GM，PM；而T在基于頻域設計的方法論中，很少被直接關注，但T才是最直接反應閉環后，輸入輸出對應頻率特性的。

通過開環函數G的波特圖直接設計系統性能，其實是以G間接預估閉環函數T的頻率特性，從而完成對T的設計。

（此處概念混淆，以及不清楚為何引入開環傳遞函數判斷閉環系統穩定性的讀者，請自行復習“自動控制原理”課本中關于穩定性和頻率特性的章節）

以典型一階和二階系統展示G和T的關系：

• 結論：

  1. G的增益超過0dB(增益大于1)的低頻段，由于T=G/(1+G) （注意是復數計算） ，T的增益會接近1(0dB)；越低頻增益越高，T的增益約接近1(0dB)，越能對低頻信號實現無誤差地跟蹤。

  2. 0dB以下的高頻段，G的增益越低，那么T對應的增益也會越低。

  3. G的相位體現在 T=G/(1+G) 的復數計算中，相位偏移較多時，有可能在T的該頻段造成諧振峰.

穿越頻率和帶寬的關系

回顧定義如下：

• 開環截止頻率ωc也稱為穿越頻率(crossover frequency)，是開環G幅頻特性曲線穿越0dB（增益=1）時，對應的頻率；
• 閉環截止頻率ωb也稱為帶寬頻率(bandwidth)，是閉環T幅頻特性下降到-3dB（增益=1/根號2）時，對應的頻率。

那么兩者的關系，推導如下：（注意在帶寬ωb附近，一般的控制系統都有積分環節存在（如PI），G的相角在-90°-180°，故G中α(ωb)<0成立）

• 結論：

穩定的負反饋系統，開環系統的穿越頻率和閉環系統的帶寬很接近，存在ωb>ωc且有同向性。工程上近似時，時常把兩者直接混用。

帶寬和動態： 窺一斑，能否見全豹？

由閉環系統T的帶寬推測動態性能最為直觀：帶寬越高，越多頻率分量的信號放大增益在-3dB以上，可以被有效跟蹤，因此動態性能越好。但是，尤其注意以下：

• 結論：

穿越頻率/帶寬描述的僅僅是頻域上一個點的信息，是“窺一斑而見全豹”的做法， 僅可當作指導性的規律揭示， 并不能直接用于比較兩個系統的動態！

動態響應由全頻率段的幅頻/相頻特性共同決定。

給出如下例子，讓我們加深對帶寬和動態關系的理解。

• 例子1： 帶寬小的 系統1 ，動態反而快于帶寬大的 系統2 ！！！

究其原因，正是因為恰在帶寬附近的頻段，系統2的增益高于系統1，但在其他頻段，系統1的增益均高于系統2。

• 例子2：相同的帶寬和低頻增益，導致從0到1的建立時間近似相同，但由于高頻增益不同，動態響應的速度完全不同（期間的凹凸特性）：

• 例子3：相同的帶寬和高頻增益，但由于低頻增益諧振峰的不同，動態響應的速度完全不同（包括超調）：

那么，“帶寬越大，動態越快” 這個結論是怎么來的？

• 例子4：相同的系統結構（頻率特性的全局分布一致），帶寬越高，動態越快：

可以看到，當且僅當你要做比較的若干個系統，其有相同（或相近）的系統結構，也即頻率特性的全局分布一致（或類似）時，才有老生常談的這句經典傳說，被奉為圭臬。

當設計環路的補償器時，我們在盡可能提高帶寬的同時，不可能再刻意壓低其他部分頻段的增益，因此，用這句話作指導性的設計方向仍然是有意義的。