1.定義

階躍響應性能指標主要包括穩態值、上升時間、峰值時間和超調量，定義如下：

**穩態值ys**：當時間趨近于無窮大時，階躍響應的輸出值，ys=y(∞)。

** 上升時** 間tr ：輸出階躍響應達到90%穩態值時所對應的時刻。

**峰值時間tm** ：輸出階躍響應峰值ym所對應的時刻。

** 超調量σ** ：輸出階躍響應峰值ym與穩態值ys之差所占穩態值ys的百分比, σ%= (ym-ys)/ys。

** 調整時間ts** ：輸出階躍響應進入穩態值ys±Δ誤差帶范圍內所對應的時刻, 一般取Δ=0.02或Δ=0.05。

2. 函數

按照階躍響應性能指標的定義，筆者使用Matlab開發了函數 Fun_Step_Performance.m ，使用數值算法求出各類階躍響應的性能指標值，函數簡單、易用、通用性好。

function [ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y,drawflag)
% [ys,tr,ts,ov] = Fun_Step_Performance(t,y) 標準階躍響應的性能指標求解
% 本程序適用于標準階躍響應曲線，末尾時間必須已經接近穩態值
% t-y 為階躍響應的時間-輸出配對序列，可由[y,t] = step(sys)求得
% drawflag為時候作圖標志，不輸入或輸入非0值時，默認作圖，輸入0時不做圖
% ys 穩態值
% tr 上升時間，默認為0-90%的上升時間
% ts 調整時間，默認為2%的調整時間
% tm 為峰值時間
% ov 超調量 %
% e.g.
%  sys = tf(1,[1 2*0.5*1 1]);
%  [y,t] = step(sys,15);
%  [ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y,1);

3. 演示

**3.1 **一階系統階躍響應性能指標

% Eg 1 一階系統
sys = tf(1,[3 1]);
[y,t] = step(sys,25);
[ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y);

%% 階躍響應指標結果：

上升時間：7s

調整時間：11.5s

峰值時間：25s , 超調量：0%

穩態值：1

%% 階躍響應指標結果顯示結束

**3.2 **求復雜系統階躍響應性能指標

% 5階系統
sys = tf(1,[1 2*0.20*1 1]) * tf(1,[2 1]) * tf([1.5 1],[1 2*0.25*3 9]); 
[y,t] = step(sys,35);
[ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y);

%% 階躍響應指標結果：

上升時間：2.0877s

調整時間：17.3158s

峰值時間：3.5614s，超調量：40.1285%

穩態值：0.111

%% 階躍響應指標結果顯示結束

**3.3 **不同阻尼比時二階系統的階躍響應性能指標

% Eg 3 求解不同阻尼比時二階系統的階躍響應特性
wn = 1;    % 固有頻率
kes_vet = [0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2];   % 阻尼比序列
figure
hold on
for ii = 1:length(kes_vet)
    kes = kes_vet(ii);
    sys = tf(1,[1 2*kes*wn wn^2]);   % 二階系統傳遞函數
    [y,t] = step(sys,50);            % 階躍響應
    [ys(ii),tr(ii),ts(ii),tm(ii),ov(ii)] = Fun_Step_Performance(t,y,0);  % 求解階躍響應,不繪圖
    plot(t,y)
    Str{ii} = [ 'xi = '  num2str(kes)];
end
legend(Str)
xlabel('時間t/s')
ylabel('輸出響應y')

tr =

1.8349    2.0737    2.4540    2.9954    4.0000    4.9407

ts =

19.2661 8.2949 5.8282 3.6866 5.5000 7.9051

tm =

3.2110    3.4562    3.9877    5.1843   40.0000   50.0000

ov =

52.6622 25.3725 9.4610 1.5144 0 0

對于二階系統，阻尼比的變化不影響輸出穩態值，隨著阻尼比增加，上升時間逐步增大、調整時間先減小再增大、峰值時間逐步變大、超調量逐步變小；當阻尼比在0.707左右時，上升時間和調整時間較快，且超調量很小，系統綜合性能較好，工程上通常設計阻尼比在0.707左右，稱之為最佳阻尼比。