物以類聚， 「聚類算法」 使用最優化的算法來計算數據點之間的距離，并將它們分組到最近的簇中。

Scipy的聚類模塊中，進一步分為兩個聚類子模塊：

1. vq（vector quantization）：提供了一種基于向量量化的聚類算法。

「vq模塊」 支持多種向量量化算法，包括K-means、GMM（高斯混合模型）和WAVG（均勻分布）。

2. hierarchy：提供了一種基于層次聚類的聚類算法。

「hierarchy模塊」 支持多種層次聚類算法，包括ward、elbow和centroid。

總之，Scipy中的vq和hierarchy模塊都提供了一種基于最小化平方誤差的聚類算法，
它們可以幫助我們快速地對大型數據集進行分組，從而更好地理解數據的分布和模式。

1. vq 聚類

vq聚類算法的原理是將數據點映射到一組稱為“超空間”的低維向量空間中，然后將它們分組到最近的簇中。

首先，我們創建一些測試數據：（創建3個類別的測試數據）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data1 = np.random.randint(0, 30, (100, 3))
data2 = np.random.randint(30, 60, (100, 3))
data3 = np.random.randint(60, 100, (100, 3))

data = np.concatenate([data1, data2, data3])

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2])
plt.show()

data1，data2，data3分布在3個區域，
每個數據集有 「100條」 數據，每條數據有 「3個屬性」 。

1.1. 白化數據

「聚類」 之前，一般會對數據進行 「白化」 ，所謂 「白化數據」 ，是指將數據集中的每個特征或每個樣本的值都統一為同一個范圍。
這樣做的目的是為了消除特征之間的量綱和數值大小差異，使得不同特征具有相似的重要性，從而更容易進行聚類算法。

在聚類之前對數據進行 「白化處理」 也被稱為 「預處理」 階段。

from scipy.cluster.vq import whiten

# 白化數據
normal_data = whiten(data)

# 繪制白化后的數據
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.scatter(normal_data[:, 0], normal_data[:, 1], normal_data[:, 2])
plt.show()

從圖中可以看出，數據的分布情況沒有改變，只是數據的范圍從0~100變成0.0~3.5。
這就是白化的效果。

1.2. K-means

白化之后，就可以用K-meas方法來進行聚類運算了。
scipy的vq模塊中有2個聚類函數：kmeans和kmeans2。

kmeans函數最少只要傳入兩個 「參數」 即可：

1. 需要聚類的數據，也就是上一步白化的數據
2. 聚類的數目

「返回值」 有2部分：

1. 各個聚類的中心點
2. 各個點距離聚類中心點的歐式距離的平均值

from scipy.cluster.vq import kmeans 

center_points, distortion = kmeans(normal_data, 3)
print(center_points)
print(distortion)
# 運行結果
[[1.632802   1.56429847 1.51635413]
 [0.48357948 0.55988559 0.48842058]
 [2.81305235 2.84443275 2.78072325]]
0.5675874109728244

把三個聚類點繪制在圖中來看更加清楚：

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.scatter(normal_data[:, 0], 
           normal_data[:, 1], 
           normal_data[:, 2])
ax.scatter(
    center_points[:, 0],
    center_points[:, 1],
    center_points[:, 2],
    color="r",
    marker="^",
    linewidths=5,
)

plt.show()

圖中3個紅色的點就是聚類的中心點。

1.3. K-means2

kmeans2函數使用起來和kmeans類似，但是返回值有區別，
kmeans2的返回的是：

1. 聚類的中心點坐標
2. 每個聚類中所有點的索引

from scipy.cluster.vq import kmeans2

center_points, labels = kmeans2(normal_data, 3)
print(center_points)
print(labels)
# 運行結果
[[2.81305235 2.84443275 2.78072325]
 [1.632802   1.56429847 1.51635413]
 [0.48357948 0.55988559 0.48842058]]
[2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 ... ...
 0 0 0 0]

可以看出，計算出的聚類中心點center_points和kmeans一樣（只是順序不一樣），
labels有0,1,2三種值，代表normal_data中每個點屬于哪個分類。

kmeans2除了返回了聚類中心點，還有每個數據點屬于哪個聚類的信息，
所以我們繪圖時，可以將屬于不同聚類的點標記不同的顏色。

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
arr_data = [[], [], []]
for idx, nd in enumerate(normal_data):
    arr_data[labels[idx]].append(nd)

data = np.array(arr_data[0])
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2], color='lightblue')
data = np.array(arr_data[1])
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2], color='lightgreen')
data = np.array(arr_data[2])
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2], color='lightyellow')

ax.scatter(
    center_points[:, 0],
    center_points[:, 1],
    center_points[:, 2],
    color="r",
    marker="^",
    linewidths=5,
)

plt.show()

2. hierarchy 聚類

hierarchy聚類算法的步驟比較簡單：

1. 將每個樣本視為一個簇
2. 計算各個簇之間的距離，將距離最近的兩個簇合并為一個簇
3. 重復第二個步驟，直至到最后一個簇

from scipy.cluster.hierarchy import ward, fcluster, dendrogram
from scipy.spatial.distance import pdist

# 計算樣本數據之間的距離
# normal_data是之前白化之后的數據
dist = pdist(normal_data)

# 在距離上創建Ward連接矩陣
Z = ward(dist)

# 層次聚類之后的平面聚類
S = fcluster(Z, t=0.9, criterion='distance')
print(S)
# 運行結果
[20 26 23 18 18 22 18 28 21 22 28 26 27 27 20 17 23 20 26 23 17 25 20 22
 ... ...
  5 13  3  4  2  9  9 13 13  8 11  6]

返回的S中有 「300個數據」 ，和normal_data中的數據一樣多，S中數值接近的點，分類越接近。

從數值看聚類結果不那么明顯，scipy的層次聚類提供了一個dendrogram方法，內置了matpltlib的功能，
可以把層次聚類的結果用圖形展示出來。

P = dendrogram(Z, no_labels=True)
plt.show()

從這個圖可以看出每個數據分別屬于哪個層次的聚類。
最底層的葉子節點就是normal_data中的各個數據，這些數據的索引信息可以從 P 中獲取。

# P是一個字典，包含聚類之后的信息
# key=ivl 是圖中最底層葉子節點在 normal_data 中的索引
print(P["ivl"])
# 運行結果
['236', '269', '244', ... ... '181', '175', '156', '157']

3. 總結

聚類分析可以幫助我們發現數據集中的內在結構、模式和相似性，從而更好地理解數據。
使用Scipy庫，可以幫助我們高效的完成數據的聚類分析，而不用去具體了解聚類分析算法的實現方式。