在數字信號處理領域,快速傅里葉變換(FFT)可以說是其核心內容之一。在利用FFT分析信號頻譜的過程中,不可避免地會出現頻譜泄漏現象,因此,我們所觀察到的信號頻譜只是其真實頻譜的近似,為了減少二者之間的誤差,我們必須最小化頻譜泄漏。接下來,本文就來簡單介紹一下什么是頻譜泄漏、為什么會出現頻譜泄漏、如何最小化頻譜泄漏以及窗函數對目標信號的負面影響。
1、什么是頻譜泄漏
頻譜泄漏是指 輸入信號中的某些頻率分量的能量出現在FFT輸出的其它頻率點上 。如下圖所示,我們希望信號的能量全部集中在主瓣上,但是實際上,信號的能量存在泄漏,也就是存在旁瓣,從而使能量出現在其兩側其它頻點上,產生頻譜泄漏現象。
2、為什么會出現頻譜泄漏
頻譜泄漏現象出現的原因是 FFT的輸入序列不包含分析頻率的完整周期 。FFT計算結果中的幅頻響應可以近似理解為對sinc函數的采樣,而sinc函數的參數受輸入序列包含的分析信號的周期數的影響。
假設輸入序列包含目標信號的完整周期,其幅頻響應如下圖所示,可以看出,輸出頻譜在對sinc函數進行采樣時,采樣到的旁瓣能量均為零,因此,其旁瓣能量不會對輸出頻譜中其它頻點的能量產生影響。
若輸入序列沒有包含目標信號的完整周期,則其幅頻響應如下圖所示,輸出頻譜在對sinc函數進行采樣時,采樣到了旁瓣能量,這些能量就會疊加在其它頻點的能量上,產生頻譜泄漏現象。
3、如何最小化頻譜泄漏
最小化頻譜泄漏的核心就是 降低旁瓣的幅度 。通過前文的分析可以發現,頻譜泄漏就是因為信號旁瓣的能量影響到了其它頻點,那么,只要能夠降低旁瓣的能量,就能減弱頻譜泄漏。
旁瓣能量的降低可以通過對輸入序列加窗實現。下圖是幾種不同窗函數的頻率響應,可以看出,窗函數的類型不同,其旁瓣衰減也不同。
分別利用這幾種窗函數處理發生頻譜泄漏的信號,處理結果如下圖所示,所用窗函數不同,頻譜泄漏的程度也不同。
4、窗函數對目標信號的負面影響
如果目標信號并沒有發生頻譜泄漏現象,那么窗函數對其有什么影響呢?
(1)降低主瓣幅度;
實際上,窗函數不僅僅會降低旁瓣幅度,同時也會降低主瓣幅度,只是此時旁瓣幅度相對于主瓣幅度而言更低了,重點在 相對幅度 。
(2)降低頻率分辨率。
窗函數帶來的另一個影響就是會拓寬主瓣寬度,這將導致頻率分辨率降低。如下圖所示,加窗處理后,主瓣寬度拓寬,導致目標頻率周圍頻點幅值不為零,一旦這些頻點存在有用信號,將無法準確區分其幅值,因此,頻率分辨率降低,準確的表述為 頻率分辨率減半 。
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