這次的文章，我們來看一看三維空間直角坐標系的平移和旋轉變換，盡管這個內容早已見諸文獻資料，但自己在看書籍以及期刊論文時，總是遇到讓人百思不得其解的事情，就是不同的文獻給出的同類型的旋轉矩陣居然有不一樣的，這讓小D對文獻中的公式產生了懷疑，也不知道哪個旋轉矩陣才是對的。

于是，自己動手，豐衣足食，為了驗證公式的正確性，小D把旋轉矩陣推了個遍，包括文獻中只給出了公式而沒有過程的旋轉矩陣的推導。

三維空間直角坐標系的平移變換

文章的開頭，還是先講講坐標系的平移變換，平移變換的過程如下圖所示：

假設點P是空間中的任意一點，其在XYZ坐標系中的坐標為(x, y, z)。現在點P不動，我們將XYZ坐標系做一個平移的操作，把XYZ平移到X′Y′Z′的位置，O′是平移后的坐標的原點，要注意的是，O′在XYZ中的坐標為(x0, y0, z0)。點P在XYZ坐標系中的坐標為(x, y, z)，點P在平移后的坐標系X′Y′Z′中的坐標為(x′, y′, z′)。根據上面這個示意圖，聰明的你一下就可以發現：

通過上面的式子，我們可以求解出點P在X′Y′Z′坐標系中的坐標為：

把上面的式子轉換成矩陣的形式就是：

這就是三維空間直角坐標系的平移變換了。

三維空間直角坐標系的旋轉變換

下面我們來看看三維空間直角坐標系的旋轉變換，小D最開始在研究旋轉變換的時候，只推導了右手坐標系的旋轉變換。有一次看到了一篇文獻，它用的是左手坐標系，但小D對文獻中給出的公式的正確性感到懷疑，而我們要在代碼中用到相關的坐標轉換，這意味著我們需要知道左手坐標系旋轉矩陣的正確表達式，所以小D又把左手坐標系的旋轉矩陣推導了一遍。

右手坐標系的旋轉變換

右手坐標系的旋轉過程有三個，分別是繞X,Y,Z軸旋轉，右手坐標系在旋轉時，通常規定以逆時針旋轉方向為正方向。

①XYZ右手坐標系繞X軸逆時針旋轉θ角

先來推導右手坐標系繞X軸旋轉的旋轉矩陣，這個過程可以用下面這個示意圖表示：

假設P點為空間中任意一點，為了便于觀察與推導，我們將P點放在YOZ平面內。P點在空間中保持不動，XYZ坐標系繞X軸逆時針旋轉θ形成新的坐標系X′Y′Z′，P點在XYZ中的坐標為(x, y, z)，P點在X′Y′Z′中的坐標為(x′, y′, z′)，現在我們已知(x, y, z)、旋轉角度θ和(x′, y′, z′)，求旋轉矩陣Rx。在推導的過程中，我們還要假設一個變量，就是點P相對于Y軸正方向逆時針的夾角為φ。

很明顯，點P在XYZ坐標系中的Y,Z軸坐標可以表示為：

點P在X′Y′Z′坐標系中Y′,Z′軸坐標為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點在XYZ中X軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的X′軸坐標是相等的，所以有：

把這個表達式表示成矩陣相乘的形式為：

上面的Rx就是XYZ右手坐標系繞X軸逆時針旋轉θ角，空間中的點從XYZ坐標系變換到X′Y′Z′坐標系的旋轉矩陣，Rx的表達式為：

②XYZ右手坐標系繞Y軸逆時針旋轉θ角

有了前面的推導過程，XYZ右手坐標系繞Y軸逆時針旋轉θ角的旋轉矩陣的推導就一葫蘆畫瓢了。旋轉過程如下圖所示：

點P在XYZ右手坐標系中的X,Z軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的X,Z軸坐標為：

把x，z帶入x′，z′中，同時P點在XYZ中的Y軸坐標與X′Y′Z′坐標系中的Y′軸坐標是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ右手坐標系繞Y軸逆時針旋轉θ角的旋轉矩陣Ry為：

③XYZ右手坐標系繞Z軸逆時針旋轉θ角

XYZ右手坐標系繞Z軸逆時針旋轉θ的過程如下圖所示：

點P在XYZ右手坐標系中的X,Y軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的x,y坐標為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點在XYZ中的Z軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的Z′軸坐標是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ右手坐標系繞Z軸逆時針旋轉θ角的旋轉矩陣Rz為：

左手坐標系的旋轉變換

左手坐標系的旋轉過程也是三個，分別是繞X,Y,Z軸旋轉，左手坐標系在旋轉時，通常規定以順時針旋轉方向為正方向。

①XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉θ角

XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉θ角的過程示意圖如下所示：

上圖中，點P為空間中任意一點，點P保持不動，XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉θ角形成新的坐標系X′Y′Z′。已知點P在XYZ坐標系中的坐標為(x,y,z)，點P在X′Y′Z′中的坐標為(x′,y′,z′)，我們要求的是XYZ坐標系變換到X′Y′Z′坐標系這個過程中的旋轉矩陣。

從圖中可以看出，點P在XYZ坐標系中的Y,Z軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的Y,Z軸坐標為：

把y，z帶入y′，z′中，同時P點在XYZ中的X軸坐標與其在X′Y′Z′中的X′軸坐標是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣為：

②XYZ左手坐標系繞Y軸順時針旋轉θ角

XYZ左手坐標系繞Y軸順時針旋轉θ角形成X′Y′Z′坐標系，其過程示意圖如下所示：

點P在XYZ坐標系中的X,Z軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的X,Z軸坐標為：

把x，z帶入x′，z′中，同時P點在XYZ中的Y軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的Y′軸坐標是相等的，所以有：

以矩陣形式表示為：

所以，XYZ左手坐標系繞Y軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣Ry為：

③XYZ左手坐標系繞Z軸順時針旋轉θ角

XYZ左手坐標系繞Z軸順時針旋轉θ角形成X′Y′Z′坐標系的過程示意圖如下所示：

點P在XYZ坐標系中的X,Y軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的X,Y軸坐標為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點在XYZ中的Z軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的Z′軸坐標是相等的，所以有：

將上式表示成矩陣的形式為：

所以，XYZ左手坐標系繞Z軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣Rz為：

左手坐標系的旋轉矩陣到這里就推導完啦。

旋轉矩陣的運用

實際中，當我們要推導兩個不同的坐標系，比如地心地固坐標系和北東天、北東天坐標系和機體坐標系等坐標系之間的變換關系時，就要用到上面的旋轉矩陣。一般的方法是，根據實際的旋轉過程，按旋轉的先后順序計算旋轉矩陣。

比如對于右手坐標系，如果有一個過程是先繞Y軸逆時針旋轉α，再繞X軸順時針旋轉β，最后繞Z軸逆時針旋轉γ，那么最終的旋轉矩陣的表達就是：

在應用旋轉矩陣的過程中，小D還總結了一個經驗：不管是左手坐標系還是右手坐標系，假如繞X軸逆時針旋轉θ角，相當于繞X軸順時針旋轉2π-θ角，同時也相當于繞X軸順時針旋轉-θ角。

旋轉矩陣的驗證

推導了這么多公式，那推導結果是否正確呢？我們可以從《雷達數據處理及應用》中找到相關內容：

從書中的截圖中可以驗證，自己推導的平移變換以及右手坐標系的旋轉矩陣是沒有問題的。但是左手坐標系的推導，小D至今沒有找到相關文獻，但小D相信肯定是有的。

然后小D向gpt求證，gpt給出的答案是這樣的：

很顯然，gpt給出的右手坐標系的旋轉矩陣不是小D上面推導的結果，也跟書中的結果不一樣。于是小D又去問了gpt4，gpt4的回答是這樣的：

gpt4的回答和gpt3.5的回答如出一轍，當時小D心想，gpt腦子估計又瓦特了。直到最近，小D看到了一本英文書籍Geometric Transformations for 3D Modeling_Michael Mortenson，小D才明白，原來gpt是沒有正確理解問題，它給出的是坐標系中的點轉動，坐標軸不動的情況。這本英文書籍中坐標轉換相關的內容是這樣的：

這個時候，小D才明白為什么gpt會給出那樣的答案，因為旋轉分為兩種：

①點不動，坐標軸旋轉，就是小D推導的公式

②坐標軸不動，點旋轉，就是gpt第一次回答的公式

以另一種方式問它，它就回答對了“點不動，坐標軸旋轉”的旋轉矩陣正確的公式：

到這里，就驗證了小D推導的坐標轉換的所有公式啦。

審核編輯：湯梓紅