1. 幾何變換

圖像的幾何變換是指將一幅圖像中的坐標(biāo)位置映射到另一幅圖像中的新坐標(biāo)位置，其實(shí)質(zhì)是改變像素的空間位置，估算新空間位置上的像素值。幾何變換不改變圖像的像素值，只是在圖像平面上進(jìn)行像素的重新安排。

以下是常用的幾種幾何變換：

旋轉(zhuǎn)：將圖像旋轉(zhuǎn)指定角度。

縮放：按縮放因子調(diào)整圖像大小，使其變大或變小。

平移：將圖像從當(dāng)前位置移動到新位置。

錯切：沿特定軸傾斜圖像。

仿射變換：一個更廣泛的類別，包括單個變換中的縮放、旋轉(zhuǎn)、錯切和平移。

透視變換：此變換模擬 3D 空間中的透視效果，允許進(jìn)行更復(fù)雜的操作，例如校正由攝像機(jī)角度引起的扭曲。

幾何變換通常使用數(shù)學(xué)函數(shù)和變換矩陣來實(shí)現(xiàn)。這些矩陣定義了原始圖像中的每個像素如何映射到轉(zhuǎn)換圖像中的新位置。

2. 仿射變換

2.1 仿射變換

圖像處理中的仿射變換是指對圖像進(jìn)行一次線性變換和平移，將其映射到另一個圖像空間的過程。仿射變換可以保持圖像的“平直性”，即直線經(jīng)過仿射變換后依然為直線，平行線經(jīng)過仿射變換后依然為平行線。

通常，使用 2x3 大小數(shù)組 M 來進(jìn)行仿射變換。數(shù)組由兩個矩陣 A、B 組成，其中矩陣 A（大小為2x2）用于矩陣乘法，矩陣 B（大小為2x1）用于向量加法。

其中：

由于縮放和旋轉(zhuǎn)是通過矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)，平移是通過矩陣加法來實(shí)現(xiàn)的，將這幾個操作都用一個矩陣實(shí)現(xiàn)所以構(gòu)造出上面的 2x3 矩陣 M。

仿射變換是從二維坐標(biāo)到二維坐標(biāo)之間的線性變換，且為了保持二維圖像的“平直性”和“平行性”。我們需要引入齊次坐標(biāo)的概念，最終得到的齊次坐標(biāo)矩陣表示形式為：

2.2 齊次坐標(biāo)

在數(shù)學(xué)里，齊次坐標(biāo)（homogeneous coordinates），或投影坐標(biāo)（projective coordinates）是指一個用于投影幾何里的坐標(biāo)系統(tǒng)，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標(biāo)一般。齊次坐標(biāo)可讓包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)以有限坐標(biāo)表示。使用齊次坐標(biāo)的公式通常會比用笛卡兒坐標(biāo)表示更為簡單，且更為對稱。

引入齊次坐標(biāo)的目的是為了更好的表示無限遠(yuǎn)（infinity）的坐標(biāo)的概念，在歐式空間中，無限大或者無限小的坐標(biāo)的并不存在，不能用數(shù)值表示。數(shù)學(xué)家 August Ferdinand M?bius(1) 提出了齊次坐標(biāo)系，采用 N+1 個量來表示 N 維坐標(biāo)。

例如，在二維齊次坐標(biāo)系中，我們引入一個量 w，將一個二維點(diǎn) (x,y) 表示為 (X,Y,w) 的形式，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中，w 可以為任意值。

在笛卡爾坐標(biāo)系中以(1,2)為例，在齊次坐標(biāo)系中可以用(1,2,1)表示，也可以用(2,4,2)表示，還可以用 (4,8,4),(8,16,8)...表示，即 (k,2k,k),k∈ R 這些點(diǎn)都映射到歐式空間中的一點(diǎn)，即這些點(diǎn)具有 尺度不變性（Scale Invariant），是“齊性的”(同族的)，所以稱之為齊次坐標(biāo)。

“齊次坐標(biāo)表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要手段之一，它既能夠用來明確區(qū)分向量和點(diǎn)，同時也更易用于進(jìn)行仿射（線性）幾何變換。”——出自《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(OpenGL版)》的作者 F.S. Hill Jr.

通過齊次坐標(biāo)還可以證明兩條平行線可以相交，非常有意思。

3. 仿射變換中常見的變換形式

OpenCV 提供了 warpAffine() 函數(shù)實(shí)現(xiàn)仿射變換。它可以用于實(shí)現(xiàn)各種圖像幾何變換，例如平移、縮放、旋轉(zhuǎn)、錯切等。

voidwarpAffine(InputArraysrc,OutputArraydst,
InputArrayM,Sizedsize,
intflags=INTER_LINEAR,
intborderMode=BORDER_CONSTANT,
constScalar&borderValue=Scalar());

第一個參數(shù) src: 輸入圖像，可以是單通道或多通道圖像。

第二個參數(shù) dst: 輸出圖像，與輸入圖像同類型和大小。

第三個參數(shù) M: 仿射變換矩陣，2x3 的浮點(diǎn)數(shù)矩陣。

第四個參數(shù) dsize: 輸出圖像的大小。

第五個參數(shù) flags: 插值方式，默認(rèn)值為 INTER_LINEAR，表示使用雙線性插值。

第六個參數(shù) borderMode: 邊界模式，默認(rèn)值為BORDER_CONSTANT，表示使用常量值填充邊界。

第七個參數(shù) borderValue: 邊界填充值，默認(rèn)值為0。

3.1 平移

圖像平移的公式：

下面的代碼，分別實(shí)現(xiàn)了對圖像沿著 x 軸、y 軸進(jìn)行平移

#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

Matdst;
Matwarp_matrix=(cv::Mat_(2,3)<<1,?0,?400,?0,?1,?0);
????warpAffine(src,?dst,?warp_matrix,?Size(width,?height),?INTER_LINEAR);
????imshow("Shift?along?X-axis",?dst);

????warp_matrix?=?(cv::Mat_(2,3)<<1,?0,?0,?0,?1,?400);
????cv::warpAffine(src,?dst,?warp_matrix,?Size(width,?height),?INTER_LINEAR);
????cv::imshow("Shift?along?Y-axis",?dst);

????waitKey(0);
????return?0;
}

3.2 縮放

圖像縮放的公式：

下面的代碼，分別實(shí)現(xiàn)了對圖像進(jìn)行0.75和1.25倍的縮放。

#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

//設(shè)置縮放比例
floatscale=0.75;

Matdst;
Matwarp_matrix=(cv::Mat_(2,3)<(2,3)<



縮放變換.png

	

	3.3 旋轉(zhuǎn)

	圖像旋轉(zhuǎn)的公式：



	

	OpenCV 提供了更為簡潔的 getRotationMatrix2D() 函數(shù)用于生成一個 2x3 的仿射變換矩陣，該矩陣可以用于對圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作。

	
MatgetRotationMatrix2D(Point2fcenter,doubleangle,doublescale);


	

	第一個參數(shù) center: 圖像旋轉(zhuǎn)中心，以像素為單位。

	第二個參數(shù) angle: 旋轉(zhuǎn)角度，以度為單位。逆時針方向?yàn)檎?/p>

	第三個參數(shù) scale: 旋轉(zhuǎn)后的圖像縮放比例。

	下面的代碼，展示了以圖像的中心作為旋轉(zhuǎn)中心，并且逆時針方向旋轉(zhuǎn)45度。

	
#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

Pointcenter=Point(width/2,height/2);
doubleangle=45;
doublescale=1.0;
Matdst;
Matwarp_matrix=getRotationMatrix2D(center,angle,scale);
warpAffine(src,dst,warp_matrix,Size(width,height),INTER_LINEAR);
imshow("Rotate",dst);

waitKey(0);
return0;
}




旋轉(zhuǎn)變換.png

	

	3.4 錯切

	圖像錯切的公式：

	

	

	下面的例子，展示圖像的錯切。

	
#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

floata=0.25;
floatb=0.5;

Matdst;
Matwarp_matrix=(cv::Mat_(2,3)<<1,?a,?0,?b,?1,?0);
????warpAffine(src,?dst,?warp_matrix,?Size(width,?height),?INTER_LINEAR);
????imshow("Shearing",?dst);

????waitKey(0);
????return?0;
}




錯切變換.png

	

	4. 總結(jié)

	圖像仿射變換是一種簡單而有效的圖像幾何變換方法，在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它可以用于圖像矯正、增強(qiáng)、配準(zhǔn)、合成、目標(biāo)識別和跟蹤等多種任務(wù)。

	



	審核編輯：劉清