1. 幾何變換

圖像的幾何變換是指將一幅圖像中的坐標位置映射到另一幅圖像中的新坐標位置，其實質是改變像素的空間位置，估算新空間位置上的像素值。幾何變換不改變圖像的像素值，只是在圖像平面上進行像素的重新安排。

以下是常用的幾種幾何變換：

旋轉：將圖像旋轉指定角度。

縮放：按縮放因子調整圖像大小，使其變大或變小。

平移：將圖像從當前位置移動到新位置。

錯切：沿特定軸傾斜圖像。

仿射變換：一個更廣泛的類別，包括單個變換中的縮放、旋轉、錯切和平移。

透視變換：此變換模擬 3D 空間中的透視效果，允許進行更復雜的操作，例如校正由攝像機角度引起的扭曲。

幾何變換通常使用數學函數和變換矩陣來實現。這些矩陣定義了原始圖像中的每個像素如何映射到轉換圖像中的新位置。

2. 仿射變換

2.1 仿射變換

圖像處理中的仿射變換是指對圖像進行一次線性變換和平移，將其映射到另一個圖像空間的過程。仿射變換可以保持圖像的“平直性”，即直線經過仿射變換后依然為直線，平行線經過仿射變換后依然為平行線。

通常，使用 2x3 大小數組 M 來進行仿射變換。數組由兩個矩陣 A、B 組成，其中矩陣 A（大小為2x2）用于矩陣乘法，矩陣 B（大小為2x1）用于向量加法。

其中：

由于縮放和旋轉是通過矩陣乘法來實現，平移是通過矩陣加法來實現的，將這幾個操作都用一個矩陣實現所以構造出上面的 2x3 矩陣 M。

仿射變換是從二維坐標到二維坐標之間的線性變換，且為了保持二維圖像的“平直性”和“平行性”。我們需要引入齊次坐標的概念，最終得到的齊次坐標矩陣表示形式為：

2.2 齊次坐標

在數學里，齊次坐標（homogeneous coordinates），或投影坐標（projective coordinates）是指一個用于投影幾何里的坐標系統，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標一般。齊次坐標可讓包括無窮遠點的點坐標以有限坐標表示。使用齊次坐標的公式通常會比用笛卡兒坐標表示更為簡單，且更為對稱。

引入齊次坐標的目的是為了更好的表示無限遠（infinity）的坐標的概念，在歐式空間中，無限大或者無限小的坐標的并不存在，不能用數值表示。數學家 August Ferdinand M?bius(1) 提出了齊次坐標系，采用 N+1 個量來表示 N 維坐標。

例如，在二維齊次坐標系中，我們引入一個量 w，將一個二維點 (x,y) 表示為 (X,Y,w) 的形式，其轉換關系為

其中，w 可以為任意值。

在笛卡爾坐標系中以(1,2)為例，在齊次坐標系中可以用(1,2,1)表示，也可以用(2,4,2)表示，還可以用 (4,8,4),(8,16,8)...表示，即 (k,2k,k),k∈ R 這些點都映射到歐式空間中的一點，即這些點具有 尺度不變性（Scale Invariant），是“齊性的”(同族的)，所以稱之為齊次坐標。

“齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用于進行仿射（線性）幾何變換。”——出自《計算機圖形學(OpenGL版)》的作者 F.S. Hill Jr.

通過齊次坐標還可以證明兩條平行線可以相交，非常有意思。

3. 仿射變換中常見的變換形式

OpenCV 提供了 warpAffine() 函數實現仿射變換。它可以用于實現各種圖像幾何變換，例如平移、縮放、旋轉、錯切等。

voidwarpAffine(InputArraysrc,OutputArraydst,
InputArrayM,Sizedsize,
intflags=INTER_LINEAR,
intborderMode=BORDER_CONSTANT,
constScalar&borderValue=Scalar());

第一個參數 src: 輸入圖像，可以是單通道或多通道圖像。

第二個參數 dst: 輸出圖像，與輸入圖像同類型和大小。

第三個參數 M: 仿射變換矩陣，2x3 的浮點數矩陣。

第四個參數 dsize: 輸出圖像的大小。

第五個參數 flags: 插值方式，默認值為 INTER_LINEAR，表示使用雙線性插值。

第六個參數 borderMode: 邊界模式，默認值為BORDER_CONSTANT，表示使用常量值填充邊界。

第七個參數 borderValue: 邊界填充值，默認值為0。

3.1 平移

圖像平移的公式：

下面的代碼，分別實現了對圖像沿著 x 軸、y 軸進行平移

#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

Matdst;
Matwarp_matrix=(cv::Mat_(2,3)<<1,?0,?400,?0,?1,?0);
????warpAffine(src,?dst,?warp_matrix,?Size(width,?height),?INTER_LINEAR);
????imshow("Shift?along?X-axis",?dst);

????warp_matrix?=?(cv::Mat_(2,3)<<1,?0,?0,?0,?1,?400);
????cv::warpAffine(src,?dst,?warp_matrix,?Size(width,?height),?INTER_LINEAR);
????cv::imshow("Shift?along?Y-axis",?dst);

????waitKey(0);
????return?0;
}

3.2 縮放

圖像縮放的公式：

下面的代碼，分別實現了對圖像進行0.75和1.25倍的縮放。

#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

//設置縮放比例
floatscale=0.75;

Matdst;
Matwarp_matrix=(cv::Mat_(2,3)<(2,3)<



縮放變換.png

	

	3.3 旋轉

	圖像旋轉的公式：



	

	OpenCV 提供了更為簡潔的 getRotationMatrix2D() 函數用于生成一個 2x3 的仿射變換矩陣，該矩陣可以用于對圖像進行旋轉操作。

	
MatgetRotationMatrix2D(Point2fcenter,doubleangle,doublescale);


	

	第一個參數 center: 圖像旋轉中心，以像素為單位。

	第二個參數 angle: 旋轉角度，以度為單位。逆時針方向為正。

	第三個參數 scale: 旋轉后的圖像縮放比例。

	下面的代碼，展示了以圖像的中心作為旋轉中心，并且逆時針方向旋轉45度。

	
#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

Pointcenter=Point(width/2,height/2);
doubleangle=45;
doublescale=1.0;
Matdst;
Matwarp_matrix=getRotationMatrix2D(center,angle,scale);
warpAffine(src,dst,warp_matrix,Size(width,height),INTER_LINEAR);
imshow("Rotate",dst);

waitKey(0);
return0;
}




旋轉變換.png

	

	3.4 錯切

	圖像錯切的公式：

	

	

	下面的例子，展示圖像的錯切。

	
#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");
imshow("src",src);

intwidth=src.cols;
intheight=src.rows;

floata=0.25;
floatb=0.5;

Matdst;
Matwarp_matrix=(cv::Mat_(2,3)<<1,?a,?0,?b,?1,?0);
????warpAffine(src,?dst,?warp_matrix,?Size(width,?height),?INTER_LINEAR);
????imshow("Shearing",?dst);

????waitKey(0);
????return?0;
}




錯切變換.png

	

	4. 總結

	圖像仿射變換是一種簡單而有效的圖像幾何變換方法，在圖像處理和計算機視覺領域有著廣泛的應用。它可以用于圖像矯正、增強、配準、合成、目標識別和跟蹤等多種任務。

	



	審核編輯：劉清