【導讀】線性代數(shù)是一種連續(xù)的、非離散的數(shù)學形式，許多計算機科學家對此缺乏應用經(jīng)驗，掌握線性代數(shù)對理解深度學習算法至關(guān)重要。今天AI科技大本營就為大家整理了學習過程中需要必備的線性代數(shù)知識，并附上代碼實現(xiàn)，幫助大家加深理解。

為什么數(shù)學是必要的？

線性代數(shù)、概率論和微積分都是機器學習的“語言”。學習這些科目將有助于深入了解底層的算法機制和開發(fā)新的算法。從較低的層級來看，深度學習背后的一切都是以數(shù)學為基礎(chǔ)的。因此，理解基礎(chǔ)的線性代數(shù)對于探索深度學習和上手與深度學習相關(guān)的編程來說是必要的。

深度學習中的核心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)由標量、向量、矩陣和張量組成。從編程的角度來說，我們只需運用這些知識就能解決所有基本的線性代數(shù)問題。

參考閱讀：

https://hadrienj.github.io/posts/Deep-Learning-Book-Series-2.1-Scalars-Vectors-Matrices-and-Tensors/

標量

標量僅用于表達值的大小，也是零階張量的一個例子。符號 x ∈ ? 表示標量 x 屬于實數(shù)值數(shù)組“ ? ”。

在深度學習中我們比較關(guān)注以下幾個數(shù)集，?、?和?。? 表示正整數(shù)集（1,2,3，...）。 ? 表示整數(shù)集，它包含了正值、負值和零值。 ? 表示可以由兩個整數(shù)所構(gòu)成的分數(shù)進行表達的有理數(shù)數(shù)集。

Python 中內(nèi)置了少數(shù)幾種標量類型，如 int，float，complex，bytes，Unicode。而在 Python 庫 NumPy中，有 24 種新的基本數(shù)據(jù)類型來描述不同類型的標量。

參考閱讀：

https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.14.0/reference/arrays.scalars.html

如何在Python中定義和運算標量？

以下代碼片段解釋了基礎(chǔ)的標量（Scalars）運算。

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/fbd3406bd9ba2402465fb1c8f3d8b3a6#file-scalars-py

返回如下：

以下代碼片段用于檢驗所給的變量類型是否為標量。

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/b9ef648d47c1cb3db977f13fd3071dc6#file-is_scalar-py

返回如下：

向量

向量是由多個單個數(shù)字組成的有序數(shù)組，也是一階張量的一個例子。向量是向量空間中的片段。向量空間則可以被認為是在特定長度（或維度）中所有可能存在的向量集合。我們通常說的現(xiàn)實世界中的三維空間，在數(shù)學里可以用向量空間表達為 ? ^ 3。

為了清晰明確地標示向量中的必要成分，向量中的第 i 個標量元素被記做 x[i] 。

在深度學習中，向量通常表示特征向量，它的原始成分則表示特定特征的相關(guān)程度。這些元素可以包括如二維圖像中一組像素的強度的相關(guān)重要性，或是金融工具的橫截面的歷史價格值。

如何在 Python 中定義和運算向量？

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/7ede36aa2f5ba5e7f70960225a2d351e#file-vectors-py

返回如下：

矩陣

矩陣是由數(shù)字構(gòu)成的矩形陣列，是二階張量的一個例子。若 m 和 n 為正整數(shù)（ m，n ∈ N ），則 m × n的矩陣中包含 m * n 個元素，由m 行和 n 列構(gòu)成。

完整的 m × n 矩陣可寫做：

我們通常會將上面的矩陣縮寫為以下的表達式：

在 Python 里，我們會使用 numpy 庫來幫助我們創(chuàng)建 n 維的數(shù)組，這基本上可以被認作為矩陣。我們將列表傳入名為 matrix 方法來定義一個矩陣。

如何在 Python 中定義和運算矩陣？

▌矩陣加法

矩陣可以與標量、向量或其他的矩陣進行相加。每一種加法都有一個精確的定義。這些技巧在機習和深度學習有著非常廣泛而頻繁的使用，所以它們值得你去熟悉。

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/1bdc39d126b4772f5a8e9d0b5185625f#file-matrix_addition-py

▌矩陣與矩陣的加法

C = A + B（ A 和 B 的形狀應當一致）

方法 shape 能夠返回矩陣的形狀，方法 add 會將傳入的兩個作為參數(shù)的矩陣相加，并返回相加的總和。若兩個作為參數(shù)的矩陣的形狀不一致，該方法則會提示存在“不能相加”的錯誤。

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/b25716665d72d5e6b50c9149718df076#file-m_m_addition-py

▌矩陣與標量的加法

將給定矩陣中的各個元素都與給定的標量進行相加

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/ba689ec9a07b1c50f69269454373359a#file-matrix_s_addition-py

▌矩陣與標量的乘法

將給定矩陣中的各個元素都與給定的標量進行相乘

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/5dcc0beeb7e48f0f271a75108401d34c#file-m_s_multiplication-py

▌矩陣之間的乘法

形狀為 m x n 的矩陣 A 與形狀為 n x p 的矩陣 B 相乘則會得到 形狀為 m x p 的矩陣 C

參考閱讀：

https://hadrienj.github.io/posts/Deep-Learning-Book-Series-2.2-Multiplying-Matrices-and-Vectors/

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/1510e248a117f0af6a3843a4307de7b2#file-matrix_mul-py

▌矩陣的轉(zhuǎn)置

矩陣的轉(zhuǎn)置可以使一個行向量變成一個列向量，或反方向操作亦成立作亦成立：

A = [aij]m x n

AT = [aji]n × m

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/3f2091377b3a1f36c402a203f25ffe33#file-martix_transpose-py

張量

籠統(tǒng)的來講，張量包含了標量，向量，矩陣。有些時候，例如在物理及機器學習中，使用超過二階的張量是非常必要的。

參考閱讀：

https://refactored.ai/track/python-for-machine-learning/courses/linear-algebra.ipynb

我們通常不會將矩陣進行嵌套來表示張量，而是會使用像 tensoTflow 或者 PyTorch 這樣的 Python 庫來對張量進行表示張量 PyTorche 中定義一個簡單的張量

參考閱讀：

https://gist.github.com/vihar/eb78a6171de9740b128cbff21fc0b6ea#file-tensors-py

一些在 Python 中其他的張量的運算操作

src：

https://gist.github.com/vihar/7b03ca54e4fe811e1053e09bdc1278b5#file-tensor_operations-py